2015届高三数学北师大版（通用理）总复习讲义第八章

1、8.4垂直关系1 直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法定义法利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面(2)直线和平面垂直的性质直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一条直线的两平面平行2 二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角3 平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的

2、判定方法定义法利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直()(3)异面直线所成的角与二面角的取值范围均为(0，()(4)直线a，b，则ab.()(5)若，aa.()(6)a，a.()2 (2013广东)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若，m，n，则mn B若，m，n，则mnC若mn，m，n，则 D若m，m

3、n，n，则答案D解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若，仍然满足mn，m，n，故C错误；故D正确3 设a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，则ab的一个充分条件是()Aac，bc B，a，bCa，b Da，b答案C解析对于选项C，在平面内作cb，因为a，所以ac，故ab；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，也可能是异面直线；D选项中一定有ab.4 将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A相交且垂直 B相交但不垂直C异面且垂直 D异面但不垂直答案C解析在

4、题图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则ADBC，翻折后如题图2，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD垂直，即ADBD，ADCD，故AD平面BCD，所以ADBC.5 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题：若m，则m；若，m，则m；若n，n，m，则m；若m，m，则.其中正确命题的序号是_答案解析根据题意若m，则mP或m，故错误；若，m，则m，故正确；若n，n，则，又m，所以m，故正确；若m，m，则或l，故不正确.题型一直线与平面垂直的判定与性质例1如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，

5、ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.思维启迪第(1)问通过DC平面PAC证明；也可通过AE平面PCD得到结论；第(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直证明(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)，知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB.又ABAD且PAADA，AB平

6、面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.思维升华(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直如图，在ABC中，ABC90，D是AC的中点，S是ABC所在平面外一点，且SASBSC.(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.证明(1)因为SASC，D是AC的中点，所以SDAC.在RtABC中，ADB

7、D，又SASB，SDSD，所以ADSBDS，所以SDBD.又ACBDD，所以SD平面ABC.(2)因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC.由(1)知SDBD，又SDACD，所以BD平面SAC.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2(2013北京)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD、PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.思维启迪(1)平面PAD底面ABCD，可由面面垂直的性质证PA底面ABCD；(2)由BEAD可得线面平行；(3)证明直线CD平面BEF.证明(1)平面

8、PAD平面ABCDAD.又平面PAD平面ABCD，且PAAD.PA底面ABCD.(2)ABCD，CD2AB，E为CD的中点，ABDE，且ABDE.四边形ABED为平行四边形BEAD.又BE平面PAD，AD平面PAD，BE平面PAD.(3)ABAD，且四边形ABED为平行四边形BECD，ADCD.由(1)知PA平面ABCD，则PACD，CD平面PAD，从而CDPD，又E、F分别为CD、CP的中点，EFPD，故CDEF.由EF，BE在平面BEF内，且EFBEE，CD平面BEF.平面BEF平面PCD.思维升华(1)判定面面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知平面垂直时

9、，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直(2012江西)如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，E、F是线段AB上的两点，且DEAB，CFAB，AB12，AD5，BC4，DE4.现将ADE，CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积(1)证明因为DEEF，CFEF，所以四边形CDEF为矩形由GD5，DE4，得GE3.由GC4，CF4，得FG4，所以EF5.在EFG中，有EF2GE2FG2，所以EGGF.又因为CFEF，CFFG，所以CF平面EFG.所

10、以CFEG，所以EG平面CFG.又EG平面DEG，所以平面DEG平面CFG.(2)解如图，在平面EGF中，过点G作GHEF于点H，则GH.因为平面CDEF平面EFG，所以GH平面CDEF，所以V多面体CDEFGS矩形CDEFGH16.题型三直线、平面垂直的综合应用例3如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD2AD8，AB2DC4.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD平面PAD；(2)求四棱锥PABCD的体积思维启迪(1)因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD，考虑证明BD平面PAD.(2)四棱锥

11、底面为一梯形，高为P到面ABCD的距离(1)证明在ABD中，AD4，BD8，AB4，AD2BD2AB2.ADBD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，BD平面PAD.又BD平面MBD，平面MBD平面PAD.(2)解过P作POAD，平面PAD平面ABCD，PO平面ABCD，即PO为四棱锥PABCD的高又PAD是边长为4的等边三角形，PO2.在底面四边形ABCD中，ABDC，AB2DC，四边形ABCD为梯形在RtADB中，斜边AB边上的高为，此即为梯形的高S四边形ABCD24.VPABCD24216.思维升华垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题，一

12、般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积(2013江西)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，AD，AA13，E为CD上一点，DE1，EC3.(1)证明：BE平面BB1C1C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离(1)证明过B作CD的垂线交CD于F，则BFAD，EFABDE1，FC2.在RtBFE中，BE.在RtCFB中，BC.在BEC中，因为BE2BC29EC2，故BEBC.由BB1平面ABCD得BEBB

13、1，所以BE平面BB1C1C.(2)解三棱锥EA1B1C1的体积VAA1SA1B1C1.在RtA1D1C1中，A1C13.同理，EC13，A1E2.故SA1C1E3.设点B1到平面A1C1E的距离为d，则三棱锥B1A1C1E的体积VdSA1C1Ed，从而d，d.题型四线面角、二面角的求法例4如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值思维启迪(1)先找出PB和平面PAD所成的角，线面角的定义要能灵活运用；(2)可以利用线面垂直根据二面角

14、的定义作角(1)解在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，AB平面ABCD，故PAAB.又ABAD，PAADA，从而AB平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而APB为PB和平面PAD所成的角在RtPAB中，ABPA，故APB45.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45.(2)证明在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA.由条件CDAC，PAACA，CD平面PAC.又AE平面PAC，AECD.由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.又PCCDC，综上得AE平面PCD.(3)解过点E作EMPD，垂足为M，连接AM，如图所

15、示由(2)知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则可证得AMPD.因此AME是二面角APDC的平面角由已知，可得CAD30.设ACa，可得PAa，ADa，PDa，AEa.在RtADP中，AMPD，AMPDPAAD，则AMa.在RtAEM中，sinAME.所以二面角APDC的正弦值为.思维升华求线面角、二面角的常用方法(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量平面角的作法常见的有定义法；垂面法注意利用等腰、等边三角形的性质(2012浙江)如图，在四棱锥PABCD中，底面是边

16、长为2的菱形，BAD120，且PA平面ABCD，PA2，M，N分别为PB，PD的中点(1)证明：MN平面ABCD；(2)过点A作AQPC，垂足为点Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值(1)证明连接BD，因为M，N分别是PB，PD的中点，所以MN是PBD的中位线，所以MNBD.又因为MN平面ABCD，BD平面ABCD，所以MN平面ABCD.(2)解如图所示，在菱形ABCD中，BAD120，得ACABBCCDDA，BDAB.又因为PA平面ABCD，所以PAAB，PAAC，PAAD.所以PBPCPD.所以PBCPDC.而M，N分别是PB，PD的中点，所以MQNQ，且AMPBPDAN.取线段MN的中点

17、E，连接AE，EQ，则AEMN，QEMN，所以AEQ为二面角AMNQ的平面角由AB2，PA2，故在AMN中，AMAN3，MNBD3，得AE.在RtPAC中，AQPC，得AQ2，QC2，PQ4.在PBC中，cosBPC，得MQ.在等腰MQN中，MQNQ，MN3，得QE.在AEQ中，AE，QE，AQ2，得cosAEQ.所以二面角AMNQ的平面角的余弦值为.立体几何证明问题中的转化思想典例：(12分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点求证：(1)AN平面A1MK；(2)平面A1B1C平面A1MK.思维启迪(1)要证线面平行，需证线线平行(2)要证面

18、面垂直，需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直规范解答证明(1)如图所示，连接NK.在正方体ABCDA1B1C1D1中，四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，AA1DD1，AA1DD1，C1D1CD，C1D1CD.2分N，K分别为CD，C1D1的中点，DND1K，DND1K，四边形DD1KN为平行四边形3分KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN.四边形AA1KN为平行四边形ANA1K.4分A1K平面A1MK，AN平面A1MK，AN平面A1MK.6分(2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，ABC1D1，ABC1D1.M，K分别为AB，C1D1的中点，BMC

19、1K，BMC1K.四边形BC1KM为平行四边形MKBC1.8分在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，A1B1BC1.MKBC1，A1B1MK.四边形BB1C1C为正方形，BC1B1C.10分MKB1C.A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，A1B1B1CB1，MK平面A1B1C.又MK平面A1MK，平面A1B1C平面A1MK.12分温馨提醒(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行

20、时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范方法与技巧1 证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；(2)判定定理1：l；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面平行的性质：，aa；(5)面面垂直的性质：，l，a，ala.2 证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a，bab；(4)线面垂直的性质：a，bab.3 证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.4

21、转化思想：垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决失误与防范1 在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化2 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1 已知m是平面的一条斜线，点A，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是()Alm，l Blm，lClm，l Dlm，l答案C解析设m在平面内的

22、射影为n，当ln且与无公共点时，lm，l.2 如图，已知ABC为直角三角形，其中ACB90，M为AB的中点，PM垂直于ABC所在平面，那么()APAPBPCBPAPBPCCPAPBPCDPAPBPC答案C解析M为AB的中点，ACB为直角三角形，BMAMCM，又PM平面ABC，RtPMBRtPMARtPMC，故PAPBPC.3 在空间内，设l，m，n是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是()A，l，则lBl，l，m，则lmCl，m，n，若lm，则lnD，则或答案D解析对于A，如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，该命题是真命题；对于B，如果一条

23、直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，该命题是真命题；对于C，如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，该命题是真命题；对于D，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，D是假命题综上所述，选D.4 正方体ABCDABCD中，E为AC的中点，则直线CE垂直于()AAC BBD CAD DAA答案B解析连接BD，BDAC，BDCC，且ACCCC，BD平面CCE.而CE平面CCE，BDCE.又BDBD，BDCE.5 如图所示，直线PA垂直于O所在的平面，ABC内接于O，且AB为O的直径，点M为线段PB的中点现有结论：BCPC；OM平面A

24、PC；点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，其中正确的是()ABCD答案B解析对于，PA平面ABC，PABC，AB为O的直径，BCAC，BC平面PAC，又PC平面PAC，BCPC；对于，点M为线段PB的中点，OMPA，PA平面PAC，OM平面PAC；对于，由知BC平面PAC，线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故都正确二、填空题6 已知P为ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正确的个数是_答案3解析如图所示PAPC、PAPB，PCPBP，PA平面PBC.又BC平面PBC，PABC.同理PBAC、PCAB.但AB不一定垂

25、直于BC.7 在正三棱锥PABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：ACPB；AC平面PDE；AB平面PDE.其中正确论断的序号为_答案解析如图，PABC为正三棱锥，PBAC；又DEAC，DE平面PDE，AC平面PDE，AC平面PDE.故正确8 正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为_答案解析画出图形，如图，BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角，在三棱锥DACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H，连接D1H，DH，则DD1H为DD1与平面ACD1所成的角，设正方体的棱长为a

26、，则cosDD1H.三、解答题9 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，ADBC，ABBC，AD2，AB3，BCBE7，DCE是边长为6的正三角形(1)求证：平面DEC平面BDE；(2)求点A到平面BDE的距离(1)证明因为四边形ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，AD2，AB3，所以BD，又因为BC7，CD6，所以根据勾股定理可得BDCD，因为BE7，DE6，同理可得BDDE.因为DECDD，DE平面DEC，CD平面DEC，所以BD平面DEC.因为BD平面BDE，所以平面DEC平面BDE.(2)解如图，取CD的中点O，连接OE，因为DCE是边长为6的正三角形，所以EOCD，EO

27、3，易知EO平面ABCD，则VEABD2333，又因为直角三角形BDE的面积为63，设点A到平面BDE的距离为h，则由VEABDVABDE，得3h3，所以h，所以点A到平面BDE的距离为.10(2012江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.证明(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.

28、又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.B组专项能力提升(时间：30分钟)1 已知平面与平面相交，直线m，则()A内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D内

29、必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直答案C解析如图，在平面内的直线若与，的交线a平行，则有m与之垂直但却不一定在内有与m平行的直线，只有当时才存在2 (2012江苏)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为_ cm3.答案6解析连接AC交BD于O，在长方体中，ABAD3，BD3且ACBD.又BB1底面ABCD，BB1AC.又DBBB1B，AC平面BB1D1D，AO为四棱锥ABB1D1D的高且AOBD.S矩形BB1D1DBDBB1326，VABB1D1DS矩形BB1D1DAO66(cm3)3 如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论中：PBAE；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；PDA45.其中正确的有_(