毕业设计（论文）关于广义幂等矩阵的性质的探讨

1、关于广义幂等矩阵的性质的探讨左航（导师：谢涛）（湖北师范学院 数学与统计学院 湖北 黄石 435002）1.引言 在高等代数中，矩阵是代数学的一个重要研究对象，也是数学研究中不可缺少的工具。我们把满足的矩阵a叫做幂等矩阵，把满足的线性变换叫做幂等变换。文【1，2】已给出了幂等矩阵与幂等变换的性质和等价条件。本文试图通过引入k次幂等矩阵和k次幂等变换的概念，来推广幂等矩阵和幂等变换，并讨论它们的性质。同时由于可逆矩阵对处理矩阵问题的重要性，文中在可逆幂等矩阵的基础上给出可逆n阶k次幂等矩阵的定义，并总结出相关的一些性质。而且在计量经济学中对于大多数经济现象进行比较静态分析的结果，都可以合理地归结

2、为一个线性经济模型ax=b，其中的系数矩阵a往往是一个幂等矩阵。为此，也有必要对幂等矩阵展开理论方面的深入研究。1.幂等矩阵定义1.1 任何一个满足幂等关系的矩阵称为幂等矩阵。显然，n阶零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵。关于幂等矩阵，目前已有一些结论，我们选择其中一些性质列举如下：1.1.1幂等矩阵的特征值只取0和1两个数值；1.1.2所有的幂等矩阵（单位矩阵除外）都是奇异矩阵；1.1.3所有幂等矩阵的秩与迹相等，即；1.1.4若为幂等矩阵，则也为幂等矩阵；1.1.5若为幂等矩阵，则也为幂等矩阵所有对称的幂等矩阵（单位矩阵除外）都是半正定的；1.1.6令nn幂等矩阵的秩为r,则有个特征1和个特征值

3、0；1.1.7所有的幂等矩阵都可对角化的：；1.1.8一个对称的幂等矩阵可以表示为，其中满足；1.1.9设有全矩阵，则是一个幂等矩阵；1.1.10若方阵b是幂等矩阵，则和也是幂等矩阵；1.1.11若n阶方阵a为幂等矩阵，则它的秩满足r(a)+r(e-a)=n。2.k次幂等变换与k次幂等矩阵 定义2.1 把满足的矩阵a叫做k次幂等矩阵，把满足的线性变换叫做k次幂等变换。显然，幂等矩阵(变换)必是2次幂等矩阵(变换)，对合矩阵是3次幂等矩阵，所以，k次幂等矩阵(变换)是幂等矩阵(变换)与对合矩阵(变换)的统一和推广。另外，容易验证以下命题：命题2.1 设是以n维线性空间v的基，那么，v上的任意k次

4、幂等变换关于该基的矩阵是k次幂等矩阵。反过来，任意k次幂等矩阵都是某个k次幂等变换关于该基的矩阵。从而，k次幂等矩阵与k次幂等变换有平行的性质。定义2.2 设a是k次幂等矩阵，把叫做a的k-余矩阵，记为。把的k-余矩阵记为。设是k次幂等变换，把叫做a的k-余变换，记为。把的k-余变换记为。之所以把叫做的余变换，我们会在定理3之后说明原因。为了论述方便，我们把本文需要的有关概念和结论陈述如下：定义2.3【3】 设是线性空间v上的线性变换，把叫做的核，把的维数叫做的零度。把叫做的值域，把的维数叫做的秩，记为。定义2.4【4】 设w1,是线性空间v的子空间，如果，我们称是的余子空间。引理2.1【3】

5、 设a是n级矩阵，r(a)表示a的秩，则 （1）； （2）如果ab=0,那么 引理2.2【3,4】 设是以n维线性空间v的基，线性变换关于该基的矩阵是a，那么 的列空间； 其次线性方程组。性质 定理2.1 如果是v上的线性变换，那么，是k次幂等变换。证明 显然设有所以使得从而即故设，由于所以即于是定理2.2 如果是v上的线性变换，那么，是k次幂等变换。证明 设有即所以反过来，使得，从而即故从而 设 故即有定理2.3 如果是v上的线性变换，那么是k次幂等变换。并且如果是k次幂等变换，那么有证明 设由故有定理2.1可知，故且从而于是设于是故即再由定理2.1和定理2.2易得 定理3说明，如果是v上的

6、k次幂等变换，那么是的k-余子空间【4】，是的余子空间，这正是定义4中把叫做余变换的原因。 定理2.4 n级矩阵a为最次幂等矩阵。平行地，n维线性空间v上的线性变换为k幂等变换。证明 设在基下的矩阵为a，则在基下的矩阵为，则由引理2.2又知，：由定理2.3和引理2.2直接得到，：设即由于故但故由定理3便知，为k次幂等变换，从而a为k次幂等矩阵。 定理2.5 设a为k次幂等矩阵，则a的任意正整数次幂也为k次幂等矩阵。平行地，设为k次幂等变换，则的任意正整数次幂也为k次幂等变换。 证明 设m为任意正整数，。 定理2.6 设a为k次幂等矩阵，则。平行地，设为n维线性空间v上的k次幂等变换，则。证明

7、由定理5可知，为k幂等矩阵，故，由引理1得。但显然，所以。 定理2.7 设a为k次幂等矩阵，则有。 证明 由定理4得，。由定理6得，。故有。定理8 a是k次幂等矩阵平行地，如果是k次幂等变换。 证明 设，有，同理得，设。即，所以a是k次幂等矩阵。3. 可逆n阶k次幂等矩阵的性质3.1 预备知识性质3.15 定义3.1 设a，b，若存在可逆矩阵p，使得，则称a与b相似。 定义3.2 设a，若存在最小正整数kn-0，1，使得则称a为n阶k次幂等矩阵(简称k次幂等矩阵)。若a可逆，则称a为可逆n阶k次幂等矩阵。3.2 n阶k次幂等矩阵的性质 性质3.2 可逆n阶k次幂等矩阵的转置也是可逆n阶k次幂等

8、矩阵。 证明 证明设a是k次幂等矩阵，则存在最小正整数kn-0，1)，使得，则。假设存在mn-0，1且mk，有则 于是即这与k的最小性发生矛盾，因此矩阵a与其转置同为k次幂等矩阵，由此可得也是可逆的n阶k次幂等矩阵。性质3.3 可逆n阶k次幂等矩阵的次幂是可逆n阶p(pn-0，1，pk)次幂等矩阵。 证明 设ac 且是k次幂等矩阵，则存在最小正整数kn-0，1，使得则，由最小数原理可知，一定存在pn-0，1且pk，使得。因此是p次幂等矩阵。又a是可逆矩阵，则| a |0，而，那么，即是可逆p次幂等矩阵。 性质3.4 可逆n阶k次幂等矩阵的特征值a是k一1次单位根。 证明 设a是k次幂等矩阵，则

9、存在最小正整数kn-0，1，使得。 设是a的任意一个特征值，是a的属于特征值的一个特征向量，因而有0且，由于则即因为 o，所以，即=0或a=1，因此，a的特征值为0和k-1次单位根。又根据可逆矩阵的性质可知，可逆k次幂等矩阵的特征值是k-1次单位根。 性质3.5 可逆k次幂等矩阵的逆仍是可逆k次幂等矩阵。 证明 设a是可逆k次幂等矩阵，则存在最小正整数 kn-0，1，使得则有假设存在m n-0，1且mk，使得将其两边同时取逆，有于是即。这与最小性矛盾，从而得知 k为使得成立的最小正整数，因此a的逆是k次幂等矩阵，又a是可逆矩阵，则| a |0，而，即，因此也是可逆k次幂等矩阵。 性质3.6 可

10、逆k次幂等矩阵的k-1次是单位矩阵。 证明 设a是可逆k次幂等矩阵，则存在最小正整数 kn-0，1，使得又a是可逆矩阵，将其左右同乘以，得即因此，可逆k次幂等矩阵的k-1次是单位矩阵。 性质3.7 如果可逆k次幂等矩阵a与可逆次幂等矩阵b可交换，则ab是可逆p(pn-0，l，pk-1，-1+1)次幂等矩阵。 证明 由已知，知存在最小正整数k，n-0，1分别使得因为ab=ba，所以取t=k一1，一1(其中a，b表示a，b的最小公倍数)，则均为正整数。令，从而 又a可逆，为此有于是 根据最小数原理，一定存在pn-0，1且pt+1，使得再根据k次幂等矩阵的定义，可知ab是p次幂等矩阵。又a，b均是可

11、逆矩阵，则|a|0，|b|0，而|ab|=|a|b|，那么|ab|o，即ab是可逆p次幂等矩阵。 推论1 如果是可逆次幂等矩阵且两两可交换，则是可逆p(p n-0，1，p一1，1， 一1+1)次幂等矩阵。 证明 由已知，知存在最小正整数n-0，1( i=1，2，k），分别使得。又因为两两可交换，所以 取t=一1，1， 一1(其中a，b， 表示a，b，的最小公倍数)，则均为正整数。不妨设。从而又均可逆，为此有于是 即。根据最小数原理，一定存在pn-0，1且pt+1，使得再依据定义有，是p次幂等矩阵。又均是可逆矩阵，则而那么，即是p次幂等矩阵。 性质3.8 与可逆k次幂等矩阵相似的矩阵仍为可逆k次

12、幂等矩阵。 证明 设a是k次幂等矩阵，b是与a相似的矩阵，则存在最小正整数kn一0，1，使得又由于b与a相似，则存在n阶可逆矩阵q，使得，则 假设存在mn-0，1且mk ，使得。于是。 即,这与最小性矛盾。从而，得知此k为使得的最小正整数。所以b也是k次幂等矩阵。又a是可逆矩阵，则则，即因此b也是可逆k次幂等矩阵。 性质3.9 任意可逆矩阵a都可以分解成一个可逆矩阵与一个2次幂等矩阵的乘积。 证明 因为a是可逆矩阵，则存在可逆矩阵p，q使得a=peq，因而a=(pq)(q -1eq)=bc，其中b=pq为可逆矩阵，c=q -1eq，然而c2 =c，即c为可逆2次幂等矩阵。命题得证。 性质3.1

13、0 设a是可逆k次幂矩阵与一个2次幂等矩阵可逆的充要条件m+n0。 证明 因为a是k次可逆矩阵，由性质6得所以 则有(m+n)e可逆的充要条件是m+n0，即可逆的充要条件是m+n0。 性质3.11 已知a是数域f上可逆矩阵，则存在mn-0，使得的充要条件是a是p(pn-0，1，pm+1)次幂等矩阵。 证明 充分性：因为a是p次幂等矩阵，则存在最小正整数pn一0，l，使得。又a是可逆矩阵，将上式左右同乘以，即得，此时令m=p-1，即有，也就是存在mn-0，使得 必要性：因为存在mn-0，使得将其左右同乘以a，有。由最小数原理可知，一定存在pn-0，1且pm+1，使得，所以a是p次幂等矩阵。命题得

14、证。 性质3.12 若a为可逆k次幂等矩阵，则a的全体实系数多项式构成实数域上的不超过k-1维线性空间。 证明 因为a为可逆k次幂等矩阵，由性质6知(kn-0，1)，那么等价于。又因为的秩小于等于k-1，故a的全体实系数多项式构成实数域上的不超过k-1维的线性空间。3.3 小结 本文在可逆幂等矩阵的有关概念与性质的基础上，把一般矩阵的性质推广到特殊的可逆n阶k次幂等矩阵，极大的丰富了代数这门课的内涵，推广了可逆幂等矩阵研究的相关理论。至于这种推广的理论与实际应用价值如何，其他科学研究将产生何种影响，还有待科研工作者进一步探索与发掘。4. 幂等矩阵的相似标准型与分解形式 4.1 幂等矩阵的相似标

15、准型 对角矩阵可以认为是形式最简单的一种矩阵，对角矩阵的特征值就是其主对角线上的全部元素，对角矩阵的秩就等于主对角线上非零元素的个数。接下来我们以幂等矩阵的特征值为线索，探求幂等矩阵的具有对角形式的相似标准型。 定理4.1 若n阶方阵a为幂等矩阵，并且a的秩r(a)=r，则存在可逆矩阵p使得 。 证明 在n维线性空间v中任取一组基，定义线性变换在基下的矩阵为a。即 假设其中x0，则由，得，所以幂等矩阵特征值为l或0。由于矩阵a的秩r(a)=r，故a的n个特征值中有n个l以及n-r个0，则其特征多项式：从而y可以分解为特征子空间的和： 先在特征子空间取一组基，然后在特征子空间取一组基届，则就是v

16、的一组基，显然这就是说 由于线性变换在不同基下的矩阵都是相似的，因此存在可逆矩阵p使得 此时，我们也称为幂等矩阵a的相似标准型。值得指出的是，根据harniltoncaylay定理，线性空间可以分解为特征子空间的和： 其中恰好构成了线性空间v的值域恰好构成了线性空间v的核 根据幂等矩阵的相似标准型，幂等矩阵可以具体分为以下三种类型，并且，其中除了单位矩阵，其他类型的幂等矩阵都是不可逆的。 当r=0时，即a为零矩阵； 当r=n时，即a为单位矩阵； 当0rn时，。 4.2 幂等矩阵的秩和迹 矩阵的秩和迹，是描述矩阵的两个基本数字特征，幂等矩阵的秩与迹之间还有如下的重要关系。 定理2：设n阶方阵a为

17、幂等矩阵，则a的秩恰好等于它的迹，即 证明：设a为幂等矩阵，且其秩r(a)=r，则a存在可逆矩阵p使得 根据矩阵的秩的基本性质，可知 与此同时，考虑到矩阵的特征方程中特征根与系数的关系，可知 所以 4.2 幂等矩阵的分解形式 众所周知，任意可逆n的阶实矩阵m都可以分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积：m=qt，其中q为正交矩阵，t为上三角矩阵【18】。受此启发，我们来探究幂等矩阵在矩阵分解中的作用。 定理3：任意n阶方阵m的都可以分解为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵的乘积，即 其中 证明：假设n阶方阵m的秩r(m)=r，则存在可逆矩阵p与q使得从而如果令则，其中定理4：若n阶方阵a为幂等矩阵，

18、则可以分解为两个对称矩阵的乘积，即其中证明：根据幂等矩阵的相似标准型，存在可逆矩阵p，使得如果令那么，其中4.5 结束语我们以幂等矩阵的特征值为线索，相对系统地研究了它的一些基本性质。具体说来，幂等矩阵存在着对角形式的相似标准型，幂等矩阵的秩恰好等于它的迹，任意方阵都可以分解为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵的乘积，幂等矩阵可以分解为两个对称矩阵之积的形式。5.数量幂等矩阵的一些秩等式5.1 预备知识设为复数域c上所有矩阵集合，为c上mm可逆矩阵集合。r(a)为矩阵a的秩，用i表示适当阶数的单位矩阵，为正整数集合。表示复数a(c)的模。当时，称p为幂等矩阵。文献15，16得到了很多幂等矩阵的秩等式幂

19、等矩阵p与q的换位子pqqp的秩等式是由文献15引入讨论的(文献17也称pqqp为lee product)当r是环的时候，称为r上的jordan积【17】引言，因此文献18称ab+ba为矩阵a与b的jordan积。文献15，16等都得到了幂等矩阵p与q的jordan积的秩等式。定义5.1 设，如果有复数使，则称p是数量幂等矩阵。 在定义5.1中当时，p就是通常的幂等矩阵；当时，p是文献20和21中所说的斜幂等矩阵应用这类矩阵与通常的幂等矩阵的密切关系，文献15110给出命题5.1 设数量幂等矩阵满足则 （1） （2） （3） （4） 由定义5.l知数量幂等矩阵p，q与满足的数量有重要的联系，文

20、献15以命题5.1形式给出的与数量有关的秩等式是合理的。在命题5.1中取，就可得到文献15，16关于幂等矩阵的p，q和，差，换位子和jordan积的秩等式。由定义1知数量不同的选取，一般的说，确定的是不同的数量幂等矩阵p，q。引理5.1【15】110 设数量幂等矩阵满足则引理5.2 设是幂等矩阵，是非零复数；则引理5.3 设数量幂等矩阵满足，则是幂等矩阵且 （5）证明由文1110页知是幂等的，从定义1得，逐步归纳可得到(5)。 引理5.4 设数量幂等矩阵，满足则（6）（7）证明：设，显然，且 因为分块的初等变换不改变矩阵的秩，所以 （8）从和因此， (9)这样从（7）和（9）可得（6）左边的秩等式，进而可得这说明（6）的秩等式成立设，显然此时，即有 (10)由 ，和即有 (11