导数应用题答案

1、16.如图，抛物线y X2 9与X轴交于两点A,B，点 C, D在抛物线上(点C在第一象限)，CD / AB .记 |CD| 2x，梯形ABCD面积为S . 求面积S以x为自变量的函数式; (n) 器k，k为常数，且0 k 1，求S的最 大值. 值. (I)解: 依题意，点 C的横坐标为x，点C的纵坐标为 yc 1分 点B的横坐标Xb满足方程 xB 9 0，解得Xb3，舍去Xb 2分 所以 S 1(|CD| | AB |) 2 Yc 2 3)( X2 9) (X 3)( 9).4分 由点C在第一象限，得0 所以S关于X的函数式为 (X 3)( 2 X 9)，0 x3 . 5分 X 3, (n)

2、解: k, f(X) (X 3)( f (X) 3x2 6x f (X) 0，得X 9), 0 1，得 0 X 3k . 6分 3(x 3k， 1时, (0,1) f (X) 3k， 1)(x 3). 8分 9分 f (x)与f (x)的变化情况如下: (1,3k) 3 精选文库 14 f(x) 极大值 所以，当x 1时, f (x)取得最大值，且最大值为 f(1) 32. 11分 若1 3k，即0 1 一 k 时，f(X)0恒成立, 3 2 所以，f (x)的最大值为f(3k)27(1k)(1 k ) 综上，3 k 1时，S的最大值为32 ; 0 k3 时，S的最大值为27(1 k)(1 k

3、2) 17.统计表明, 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y (升)，关于行驶 速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为: y 1x3 x 8(0 x 120). 12800080已知甲、乙两地相距100千米. (I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升? (II )当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升? 100 2.5 解：(I)当x 40时，汽车从甲地到乙地行驶了40 小时, (- 403 40 8) 2.51 7.5 要耗油12800080(升) 17.5 升. 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗

4、油 丄 800 g(0 X 120). (II )当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 100 小时, 设耗油量为h(x)升, 依题意得h(x) (128000 x x 8). 80 100 1 2 x 1280 800 15 15(0 x 120), 640 x2640 x2 令 h(x)0,得 x 80. 当 x (0,80)时，h(x)0,h(x)是减函数; 当 x (80,120)时，h(x)0,h(x)是增函数. 当x 80时，h(x)取到极小值h(80)11-25- 因为h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值. 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从

5、甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 19.已知函数 升. f (x)ex，点A(a,0)为一定点，直线x t(t a)分别与函数f (x)的图 象和x轴交于点 M,N，记 AMN勺面积为S(t)。 0时，求函数S(t)的单调区间; (2) 2时，若t。0,2，使得S(t0)e,求实数a的取值范围。 1 (I)因为 S(t) 2 |t a |e，其中 t a 当a 0，S(t) -|t |e，其中 t 2 0 当t 0 时，S(t) 1 1 (t 1)e， 所以S(t) 0，所以S(t)在(0, )上递增， 当t 0 时，S(t) 1te,S(t) 1 (t 1)e 7.解: 1 令 S(t

6、) -(t 1)e0,解得 t 1，所以S(t)在(,1)上递增 1 令 S(t) (t1)e0，解得 t 1，所以S(t)在(1,0)上递减 综上, S(t)的单调递增区间为(0, ),(,1) 1 因为S(t) jt a | e，其中t a 2，t 0,2时，S(t) (a t)e 2 因为 to 0,2，使得S(t0) e，所以S(t)在0,2上的最大值一定大于等于e 1 S(t) -t (a 1)e，令 S(t) 0,得t 2时，即a3时 S(t) 尹(a 1)e0 对 t (0,2)成立, S(t)单调递增 1 令丄 2 2)e2 e， 2 解得a e 2， 所以a 3 当a 1 2

7、时, 即a 3时 S(t) 2t (a 1)e0 对 t (0,a1)成立， S(t)单调递增 S(t) it (a 1)e0 对 t (a 1,2)成立， S(t)单调递减 所以当t a 1时， 1 S(t)取得最大值S(a 1)- 2 ea 1 令S(a 1) 1 ea 1 e，解得a In 2 2 所以In 2 2 , a : 3 综上所述, In 2 2 a 所以当t 2时，S(t)取得最大值 2)e2 1 S(2) -(a 20、已知函数f x ax3 bx2 3x在x 1处取得极值。 求函数f(x)的解析式; (II ) 求证：对于区间1 , 1上任意两个自变量的值x1 , x2

8、,都有 f X f x2 4 ； (rn) 若过点 A (1, m)( m 2)可作曲线 范围. (I) f X3ax2 2bx 3 依题意f 1 f 10, 3a 即c 3a 2b 3 0 2b 3 o, 2 解得 a=1 , b=0. y=f(x)的三条切线，求实数 m的取值 4 -f xx3 3x (II ). f x x3 3x f X 3x233 x 1 x 1 当一1x1时，f(x)vo，故f(x)在区间1, 1上为减函数, 6* fmaxX f 12 , fmin Xf 12 对于区间1, 1上任意两个自变量的值x1 ,x2, I f x1 f X2 I I fmax x fmi

9、n X |48分 (Ill ) f(x)=3x2 3=3(x+1)(x 1), 曲线方程为y=x3 3x，二点A (1, m)不在曲线上. 设切点为M (xO, yO)，则点M的坐标满足yox； 3xo. 因f (Xo)3(x11)，故切线的斜率为 3(x21)4x0m X。 32 整理得 2X0 3X0 m 30. 过点A (1 , m )可作曲线的三条切线, 关于x0方程2Xo 3x1 m 3=0有三个实根. 322 设 g(x0)= 2X0 3X0 m 3，则 g(x0)=6 x。6X0 由 g (xO)=O，得 x0=0 或 x0=1. 0, 1)上单调递减. g(x0)在0) ,(

10、1 , +上单调递增，在( 3 函数 g(x0)= 2x0 m 3的极值点为x0=0， x01 *12 32 关于x0方程2X0 3X0 m 3=0有三个实根的充要条件是 書n，解得3m g(1) 0 -2. 故所求的实数a的取值范围是一3m 2ln X 在1, )上恒成立，求 a的取值范围. (1)当 时，f(X) X 1 -，f(X) 1 X 所以, 5 f(2) 4 f(x)在点(2, f (2)处的切线方程为 5 -(X 2) 4 即：5x 4y 4 0 (n )函数的定义域为：x|x 0 X2 X2 J,、 a 2 ax2 (2 a), _ f (X) a (a 0) 当0 a 2时

11、，f(x) 0恒成立，所以，f(x)在(，0)和(0,)上单调递增 2 a 0，X1a?拧 当a 2时，令f(X)0 ,即: 2 ax f(X)0, X X2或 X Xi ; f(X) 0, Xi 所以，f (X)单调递增 X 0或 0 X 为(，/ X2, 单调减区间为 (J 1,0)和(0, J) aV a (川) 因为 f(X)21 nx 在1, )上恒成立，有ax a 2 -2 2a 21n x X 0(a0) 在1, )上恒成立。 所以, g(x) ax 2a 21n x， 则 g(x) 2 2 ax 2x a 2 X X2 (X 1)ax (a 2) X2 令 g(x) 0,则 X

12、i 1,X2 1,即 a 1时, g (X)0，函数 g(x)在1, )上单调递增，又 g(1) 0 所以，f(x) 21 nx 在1, )上恒成立; 若丄二1，即a 1时, a 当 x (0,1),( 土 2,)时, g (X)0,g(x)单调递增; (1,呼)时，g(X) 0， g(x)单调递减 所以, g(x)在1, )上的最小值为g( L)， a 因为g (1) 0,所以 0不合题意. 1,即a 1时，当X a Q (0, ),(1,)时，g(x) 0,g(x)单调递增, a 宁时，g(x) 0,g(x)单调递减, 所以, g(x)在1,)上的最小值为g(1) 又因为g(1)0,所以f

13、(x) 21 nx恒成立 综上知，a的取值范围是1,). ln x 14已知函数f (x). x (I)求函数y f (x)在点(1,0)处的切线方程； (n)设实数k使得f(X) kx恒成立，求k的取值范围； (川)设g(x) f (x) kx (k R)，求函数g(x)在区间1 ,e2上的零点个数. e (I) f(x)怛 x f (x) 1 In x 2 x f (1) 曲线y f(x)在点(1,0)处的切线方程为 (n )设 h(x) f (x) In x(x (x x x 1 2ln X c 0， x 0)，则 h(x) 譽(X 0) x 解得：x Te 当x在(0, x (0,為 (Ve,) h x + 0 - h(x) 丄 2e )上变化时, h (x) , h(x)的变化情况如下表: 由上表可知，当x 掐时，h(x)取得最大值 2e 由已知对任