数列问题的题型与方法783

1、第11讲数列问题的题型与方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等 差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试卷经常是综合题，经常把数列知识和 指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试卷也常把等差数列、等比数列，求极限和数 学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰 富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配 方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通

2、项公式及求和公式。2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试卷的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中 档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。一、知识整合1 在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运 用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；2 在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认

3、识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力.3 培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数 的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法.二、方法技巧1 判断和证明数列是等差 定义法：对于n2的任意自然数，验证 1 为同一常数。（2通项公式法： 若 、= 二+n-1 ） d= U+中项公式法：验证中项公式成立。2. 在等差数列.训中,有关的最值问题一一常用邻项变号法求解：(2当匚0,d0时，满足的项数m使得+取最

4、小值。在解含绝对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用。3. 数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。三、注意事项1 证明数列叵是等差或等比数列常用定义，即通过证明I或X. 而得。2 在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。3 .注意耳与之间关系的转化。如：= |_| , =4 数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的 概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路.5 解综合题的成败在于审清题目，弄懂来

5、龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭 示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略.四、例题解读例1.已知数列a 是公差d和的等差数列，其前n项和为S .(1)求证：点卩卫寸)卫(2,寸),1*卫血(11,严|在同一条直线1上;(2过点Q(1, a, qE(2, J作直线12，设L与d的夹角为0,求证：tan0证明：(1因为等差数列a 的公差d和，所以Kp p 是常数(k=2, 3,，n.所以珀 珀，人都在过点P】(l, a)且斜率为常数#的直线1】上 (2直线J的方程为y-a =d(x-1，直线J的斜率为d.冋2 + d2i+d* 一22当且仅当=|d|,即|牛走时等号成

6、立.14例2.已知数列设数列设数列I1 罷鹉 |d|中，I是其前1项和，并且1，求证：数列丄是等比数列;，求证：数列 _J是等差数列;求数列叵的通项公式及前 项和。分析：由于b :| 和c :| 中的项都和a :| 中的项有关，a勺中又有S=41 +2，可由S二-S作切入点探索解题的途径.解: (1 由 S =4a _J , SI” =4a F +2,两式相减，得 S 卜-S=4(a . I -1 ，即 a 卜=4a F - 4a .(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练a _l -2a E =2(a-2a ，又 b =a -2a，所以 b =2b

7、 勺已知 S：|=4aF+2, a =1, aF+a：|=4a +2，解得 a：|=5, bF=a：|-2a =3由和得，数列b是首项为3,公比为2的等比数列，故b=32回.因机二食叫，所如g二躺3* 2A-2T+1= 4 又勺=扌，故数列是首项为公差是扌的等差数列,因为丁知又犷話3n_2T 4当 n 丝时，S =4a _ +2=2 - (3n-4+2 ;当 n=1 时，S =aF =1 也适合上式. 综上可知，所求的求和公式为S =2匚(3n-4+2 .说明：1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项 与前 项和。解决本题的关键在于由条件)得出递推公式。2

8、 .解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求3 / 7解的过程中适时应用. 当 n 1 时,例3. 04年浙江）设数列an的前项的和Sn=+, 令 bn=an+i -an(n=1,2故bn是公比为*的等比数列，且注意到可得记数列的前n项和为Tn，则例5.在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数 ，点F位于函数x |的图象上，且因的横坐标构成以目 为首项，I为公差的等差数列叵。求点二的坐标;设抛物线列点为 F ，且过点中的每一条的对称轴都垂直于轴，第 条抛物线E的顶，记与抛物线|相切于 F1的直线的斜率为E ，求：设，等差数列 叵的任一项I ，其中D是亠 中的最

9、大数，II ，求三 的通项公式。解：1）2） _ 的对称轴垂直于轴，且顶点为.设 的方程为:把一代入上式，得亠，冋的方程为:3)IT中最大数I公差为，贝U 一 ，由此得说明：本例为数列与解读几何的综合题，难度较大1）、2）两问运用几何知识算出I，解决3）的关键在于算出田及求数列II的公差。例6.数列叵中，.=且满足 II-求数列叵的通项公式；设0，求也；设引=II，是否存在最大的整数，使得对任意日 ，均有回 7成立？若存在，求出 凹的值；若不存在，请说明理由。解：1）由题意，由题意得=一，.门I为等差数列，设公差为，亠时,2 ）若1故3 . EJ 03)若：|对任意|凹成立，即 ，：|对任意i

10、n成立,的最小值是，一 |的最大整数值是7。即存在最大整数 E!使对任意 一I ，均有 *说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。五、强化训练 一）用基本量方法解题1、 04年浙江）已知等差数列的公差为2,若a, as, 成等比数列，则a2= B）A - 4 B - 6 C - 8 D 10二）用赋值法解题2、96年）等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为C ）A 130 B 170 C 210 D 2603、 01年）设an是公比为q的等比数列，S是an的前n项和，若S是等差数列，则q=_4、设数列an的前项的和 S=丨x |对于所有nJ

11、 1）,且a4=54,则a= 2 三）用整体化方法解题5、 00年）已知等差数列an满足a1+a2+a3+3仙=0,则有C ）A a计 a1010 Ba2+a1000 Ca3+a99=0 D a51=516、 02年）若一个等差数列的前3项和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为 390,则这 个数列的项数为A）A 13B 12C 11D 107、 03 年上海）在等差数列an中 a5=3, a6=-2, a4+a5+aio=-49四）用函数方法解题8、04年天津）已知数列an,那么“对任意的nNk,点Pn（n, an都在直线y=x+1上”是“an为等差数列”的 B）A必要条件B充分条件

12、 C 充要条件D既不充分也不必要条件9、 99年上海）已知等差数列an满足3a4=7a7,且ai0, $是an的前n项和，$取得最大值，则 n=_9_.10、 01 年上海）已知数列 an中 an=2n-7,（ nN+,上+ 凶 +-+ 到=_153_五）用递推方法解题11、 03年全国）设an是首项为1的正项数列，且n+1）a2n+1- na2+an+1an=0,求它的通项公式是_1/ n12、04年全国）已知数列an满足a.1=1,an=a1+2a2+3a3+-+（n-1an-1（ n1,则an的通项an =a1=1 o an=彳 n213、04年北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个 常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列回是等和数列，且二I ，公和为5,那么Z!的值为_3，这个数列的前n项和0的计算公式为当n为偶数时，;当n为奇数时，14. K,a2k+1=a2k+3k,其中 k=1,2,3, - (1求a3,a5；2 )求an的通项公式解： =0, a3= a2+3 =3.a4 =a3+( 1 =4 a5=a4+3 =13,所以，a3=3,a5=13.(II a2k+1 = a2k+3k= a2k-1+( 1k+3k，所以 a2k+1 a2k1=3k+( 1k,k 1k 1同理 a2k 1 a