《线性代数》题库及答案

1、线性代数题库及答案0 2,一、选择题5121|2 123厲31.如果D=2123,则行列式2214226如31“3256a 32933的值应为:A. 6DB. 12DC. 24DD. 36D2-设A为n阶方阵,R (A) =rn,那么:A. A的解不可逆B.A =0中所有r阶子式全不为零DA中没有不等于零的r阶子式3-设n阶方阵A与B柑似，那么:A-存在可逆矩阵P,使PAP=BB.存在对角阵D,使A与B都相似于DC. A-AE = B-aED.AhBij123“3】32334.如果D = 如=3,则221 331222 一332223 3333132351213A. 6B. -9C. -3D.

2、 -6等于5-设矩阵人=(佝)阳初，rnm且R (A)二。那么:A. rmB.r3且R(A) = 一2, /T是A的伴随阵,D. k=2那么：A. A* H 0B 7?(A*) = 0D R(/f )求a.3设三阶方阵A =的每行元素之和均为3,且AB = 0,其中B =0-2，问CD A能否与对角矩阵相似(2)求 A。4.ah0 000ah0000a 000000hh00 0ail算n阶行列式0 =求宀5-矩阵A =-16.已知矩阵人=4-2一3-3的特征多项式有重根，问：参数“取何值时,A能与对角矩阵相似7-il 算 D =11101101101101114矩阵A= 29.设三阶方阵A满足

3、/la, =0, Aa, =2a,忌3 =-ai+3口2-3，苴中:,= toaf（1）证明：A能与对角矩阵相似。（2）求出A及相似对角矩阵A。4E-2A=0,计算 A T(1、11.求向量组0（=2r 2 =0 5 =2,8 =20V-1/、1丿iO设三阶行列式满足34 + 2 = 0, A-E =0,-2的一个最大线性无关组，并将其正交化。12.设人= aa-12若A不能与对角矩阵相似求参数13计算n阶行列式14计算题兀I + 七 _ 3%4 -Xj =0求齐次线性方程组X, - %2 + 2兀3 _ 兀4 = 04x, 一 2x，+ 6x3 + 3*4 - 4%5 = 02勺 + 4%

4、- 2 + 4“ - 7*5 = 0的基础解系及通解。15.计算n阶行列式4,A,=0”a?心16、计算题s 1-1r -11求矩阵X,使得X0 22=1 101 -10_2 11线性代数作业参考答案一、选择题1. D 2. B3.4. D5. B6. C7. B 8 B二、填空题10. C11. D12. B1.4-相等2.c：C；3.n个线性无关的特征向量: 不变5.6.t=-3pTAP=B（一1） 2壮人8.9.10.2, -211.12.13.9 :143 ；15. A2 -1 216- 81：17. 218,2：4-2 4、2 -1 2.三、证明题1-证：由题设A是三阶方阵,(2A)

5、T-A弋)*-12.证：由A2-3A-4 = O,HP：A-3A = 4EA(A-3E) = 4E3证：由题设：AA = AA = E13A-A-E = E44BBT = BT B = EI3即A叮逆.且A =-A-E.44=B (B + Af A =-A 4 + B所以 A + B = BBA + BAA = BB +A即：（l + |A）|A + B| = 0只有|4 + 科=0 证毕。4.因A/=/?,Az=0,/ = l,2, - ,n-r,则Ayb,因此。皿皿，是方程组（*）的线性无关解。设 九偏+人“I +几刃2 +血-几Y = 0,贝IJ （兄0 +人+兄）（,+人儿+几2尸2

6、+入i = 0,两边左 乘A得，（2。+ A +兄” _r ）/ = 0,有 九+人+几”_r = 0,于 是几“ +几22 +兄-rfi-r = a可 得 WhE、g-r线性无关。5.显然心久+Pji +匕2 +匕是解：另一方而，设为任一=儿+匕人+匕72 +匕i儿i = 1 一伙1 +）% + kg + 如2 +四、计算题1-解：A + 3B =同+30!心蚁=4心 q + 30, 2% = 41 (创,2，= 4z(1-9) = -2W2-1 2解：|A|= 322 -1-3-40A的代数余子式:州1 = 4, A|2 = 一& A3 = 7, A21 = 3, A22 6,生？ = 5

7、 A32 = 5. A33 =1 23解：(1)令0=0-2.A =1,则 B = WA由题设AB = O,既有(-43-2、 =-86-5“3A.J、一 75-4,a = A* = -4* =A01 = 0, A02 = 0，这表示01.02是A的属于特征值0的特征向量。取03=（1丄1F；由题设A的每行元素之和为3,则A03=303即03是a的特征值为3的特征向量，又121011-201=IKO,故 0P 02。03线性无关。这表示3阶方阵有3个线性无关的特征向量,所以A能与对角矩阵相似。（2）由（1）令卩=（01，02，03），P可逆，且pTAP =00、0O00 0 0、1 2 10

8、0 o-12 -f-6 12 -3、A = P0 0 0P-=0 1 10 0 02-31=-6 12 -3、 0 3,-2 0 1,、o 0 3,、一 241,、一6 12 7（按第一列展开）4.解：D = a+(-l)x0=-15-解:2231 -1 0-1 2 1求伴随矩阵aa的代数余子式：A|j = -L A|2 =-hA3 = t A, =4,人22 = 5,= -6, A,- *33 = YA-4-56-3、一36-解：讣算A的特征多项式:f (2) = 2E A =2-1 -a1A-4-1 2332-5=(A 2)(才一8几 +10 + P AP=B即4BA -21则 AP = (0二(4心心)01两边同时左乘严I有而相似矩阵有相同的特征值,0 20 0既有AP=PB 而P可逆A-10= A(Z-1)(2 + 1),111、1 0102-f2I2一