2021年高考全国甲卷数学（理科）试题及答案解析

1、2021年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）试题一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合M=x|0x4，则MN=( )A. B. x|13x4C. D. x|00，乙：Sn是递增数列，则()A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠程朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程则量方法之一右图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A,B,C满足ACB=45,AB

2、C=60.由C点测得B点的仰角为15,BB与CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45，则A，C两点到水平面ABC的高度差AACC约为(31.732)()A. 346B. 373C. 446D. 4739. 若0,2,tan2=cos2sin,则tan=()A. 1515B. 55C. 53D. 15310. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A. 13B. 25C. 23D. 4511. 已知A，B，C是半径为1的球的球面上的三个点，且ACBC，AC=BC=1，则三棱锥OABC的体积为()A. 212B. 312C. 24D. 3412. 设函数f(x)的定义域为R，

3、f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x1,2时，f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6，则f92=()A. 94B. 32C. 74D. 52二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y=2x1x+2在点(1,3)处的切线方程为_14. 已知向量a=(3,1)，b=(1,0)，若ac，则k=_15. 已知F1,F2为椭圆C:x216+y24=1两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为_16. 已知函数f(x)=2cos(x+)的部分图像如图所示，则满足条件f(x)f74f(x)f430的最小正整数x为_三

4、、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：K2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818. 已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前n项和，从下面

5、中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列an是等差数列；数列Sn是等差数列；a2=3a1. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分19. 已知直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BFA1B1.(1)证明：BFDE；(2)当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？20. 抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线L：x=1交C于P，Q两点，且已知点，且M与L相切(1)求C，M的方程；(2)设是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与M相切判断直线A2A3与M的位置关系，

6、并说明理由21. 已知且a1，函数(1)当时，求f(x)的单调区间；(2)若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围22. 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=22cos.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点，点P满足AP=2AM，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点23. 选修45：不等式选讲23、已知函数f(x)=|x2|,g(x)=|2x+3|2x1|.(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图象；(2)若f(x+a)g(x)，求a的取

7、值范围答案解析1.【答案】B【解析】【分析】简单的集合交并补运算，直接求解即可【解析】由已知，结合交集的概念，可得MN=x|13x0，可以推出q0，故甲是乙的必要条件故选 B8.【答案】B【解析】【分析】本题属于解三角形的范畴，题干复杂，做题时需要能提炼出有用信息，结合图去求解即可，整体上不失为一道好题，近年来大量的高考题和生活和文化相结合，是高考的命题方向，这道题很好的切合了最近几年的命题方向【解析】过点C作BB垂线，交BB于点M，过点B作AA垂线，交AA于点N，设BC=CM=m,AB=BN=n.在ABC中，msin75=nsin45，在CBM中，msin75=100sin15，联立两式求得

8、n=20031273可得A、C两点到水平面的高度差AACC约为273+100=373故选B.9.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角函数，做这道题需要用到弦切互化的技巧，以及同角三角函数关系的知识点，有一定的综合性，难度中等【解析】由tan2=sin2cos2=2sincos12sin2=cos2sin.化简可得,sin=14,tan=1515.故选A.10.【答案】C【解析】【分析】本题考查的排列组合和概率，排列组合考察的是插空法，插空法是排列组合问题的基础求解方法，作为高考题非常合适，考察了学生的基本功【解析】由将4个1和2个0随机排成一行共有C62种，先将4个1全排列，再将2个0用插空

9、法共有C52种，则题目所求的概率为P=C52C62=23.故选C.11.【答案】A【解析】【分析】这道题考查了球体几何和三棱锥体积的求解，求出球心到平面的距离，此题迎刃而解【解析】记ABC的外接圆的圆心为O1.由于ACBC，又球的半径为1，且AB=2，OC=22；所以OA=OB=OC=1，所以OA2+OB2=AB2，OO1=22.于是OO12+O1C2=OC2，所以OO1O1C，OO1AB.进而OO1平面ABC.所以VOABC=13SABCOO1=13121122=212.故选A.12.【答案】A【解析】【分析】作为选择压轴题，这道题考查的是函数奇偶性和对称性、周期性的综合应用，有一定的难度，

10、但求出的周期后，此题做的就基本差不多了，但整体而言，作为选择压轴题，还是很不错的【解析】因为f(x+1)为奇函数，所以f(1)=0，即a+b=0，所以b=a.又f(0)=f(1+1)=f(1+1)=f(2)=4ab=3a.f(3)=f(1+2)=f(1+2)=f(1)=0，由f(0)+f(3)=6，得a=2.f(92)=f(2+52)=f(252)=f(12)=f(32+1)=f(32+1)=f(12+2)=f(12+2)=f(32)=94ab=54a=52.故选A.13.【答案】【答案】y=2x+1【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的切线方程，是基础题先根据函数解析式，得到导函数，再

11、得到切线的斜率，即可得到结果【解析】因为y=12x+2=xx+2，所以y=x+2xx+22=2x+22，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为2，所以所求切线方程为y+1=2(x+1)，即y=2x+1.14.【答案】【答案】32【解析】【分析】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查计算能力利用已知向量表示c=ka+b，通过ac，向量的数量积为0，求解即可【解析】a=(1,1)，b=(1,2)，c=ka+b=(k+1,k+2)，ac，则k+1+k+2=0，解得k=32. 故答案为32.15.【答案】【答案】16【解析】【分析】本题考查椭圆方程应用，考查椭圆的性质，属基础题【解析】根据题意，可

12、得OP=3，设P(x1,y1)，所以x12+y12=9. 又P在椭圆上，联立两方程，可求得y1=163，代入面积公式，即可求得答案解：因为P，Q是椭圆上关于原点对称的两个点，且PQ=6，所以OP=3，设P(x1,y1)，所以x12+y12=9，又P在椭圆上，所以x1225+y1216=1，联立方程x12+y12=9x1225+y1216，可得y12=2569，即y1=163，所以PF1F2的面积S=12F1F2y1=126163=16.故答案为16.16.【答案】【答案】2【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图像和性质以及相关应用，需要由图求出正弦型函数的解析式，然后解一个一元二次不等式，得到

13、的范围，最后求解的范围【解析】34T=13123=34,可得T=,=2.将x=3代入f(x)=cos(2x+),得cos(23+)=0.故23+=2,即=6.所以f(x)=cos(2x6).保存编辑所以题目条件可转化为(f(x)1)(f(x)+3)0.等价于f(x)1,f(x)3.从图像可以看出:x(2,34).故答案为x=2.17.【答案】【答案】(1)P1=150200=0.75,P2=120200=0.6；(2)没有【解析】【分析】统计和概率作为第一道大题，难度不大，第一问由表格数据和频率计算公式可以直接得到，非常简单，送分题，第二问考查卡方分布，也是直接套公式，这套卷子的第一道大题可以

14、说是非常简单了【解析】(1)设甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分P1、P2；则有P1=150200=0.75,P2=120200=0.6.(2)根据列联表中数据，可得K的观测值；K2=400(1508012050)2200200270130=4003910.256.因为10.2560). 故Sn是等差数列.选择条件和已知数列an是等差数列，数列Sn是等差数列；则an=a1+(n1)d，Sn=na1+n(n1)2d=12n2d+(a1d2)n. 因为数列Sn是等差数列，则a1=d2，所以a2=a1+d=3a1. .选择条件和已知数列Sn是等差数列，a2=3a1.因为s2=a1+a2=4a1

15、，所以s2s1=4a1a1=a1(a10)即Sn的公差d等于a1，所以sn=a1+(n1)d=na1所以Sn=n2a1，即数列an是等差数列19.【答案】【答案】(1)见解析；(2)33.【解析】【分析】立体几何这道大题，以直三棱柱作为载体，第一问考查了线线垂直的证明，由线面垂直可以轻松得到线线垂直，第二问考查了二面角，建立空间直角坐标系，用空间向量去求解，求解的时候注意证明才能建立坐标系，整体而言，立体几何这道题比较常规【解析】(1)因为E,F是直三棱柱ABCA1B1C1中AC和CC1的中点,且AB=BC=2;所以CF=l,BF=5.，于是AF=3，所以AC=22，由AB2+BC2=AC2，

16、；于是,A(2,0,0),B(0,0,0),C(0,2,2),E(1,1,0),F(0,2,1).设B1D=m,则D(m,0,2).于是,BF=(0,2,1),DE=(1m,1,2).由BFDE=0，；(2)易知平面BB1C1C的法向量为n1=(1,0,0)，而DE=(1m,1,2),EF=(1,1,1).于是,平面DFE的法向量n2=(3,m+1,2m).于是cos=32(m12)2+272当m=12时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的余弦值最大值为，故正弦值最小为20.【答案】【答案】(1)C的方程为y2=x，M的方程为(x2)2+y2=1；【解析】【分析】圆锥曲线大题考查椭圆、双曲

17、线、抛物线中最简单的一条抛物线；第一问求解抛物线方程和圆的方程难度不大；第二问考查设而不求的思路和韦达定理可以先把抛物线上的三个点(a2,a)、(b2,b)、(c2,c)都设出来；根据两个相切条件，得到|2+ab|1+(a+b)2=1，|2+ac|1+(a+c)2=1；进一步得到b和c是(a21)x2+2axa2+3=0的两根；接下来算出圆心到A2A3的距离为d=|2+bc|1+(b+c)2；再由韦达定理可知b+c和bc，带入计算求出d=1，即可得到A2A3和圆相切【解析】(1)C的方程为y2=x，M的方程为(x2)2+y2=1；(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)当A

18、1,A2,A3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标的值均为3时，满足条件，且此时直线A2A3与M也相切当x1x2x3时，可知直线A1A2的方程为x(y1+y2)y+y1y2=0，即(y121)y22+2y1y2+3y12=0；同理可得，(y121)y32+2y1y3+3y12=0；由此可知，依题意有，M到直线A2A3的距离，d2=(|2+y1y2|1+(y1+y2)2)2=(2+y1y2)21+(y1+y2)2=(2+3y12y121)21+(2y1y121)2=121.【答案】【答案】；(2)a(1,e)(e,+)【解析】【分析】导数作为压轴题的存在，考查了单调性和零点，第一问的单调性，难

19、度不大，不含参数，不需要分类讨论；第二问交点问题最后转化成零点问题，构造函数后再看函数和直线相交的情况，构造出的函数不含参数，图像易得，最后求参数范围即可，这道导数压轴题和往年相比，相对难度不是特别大【解析】(1)当a=2时,f(x)=x22x(x0)，求导f(x)=x(2xln2)2x(x0)，令，即x2ln2，此时单调递减单调递增区间为，单调递减区间为(2)要使y=f(x)与y=1有2个交点,即xaax=1有2解,故lnxx=lnaa有2解令g(x)=lnxx,求导g(x)=1lnxx2(x0)令g(x)=0,解得x=e，令g(x)0,即0xe时,g(x)(0,1e)因为g(1)=0,要使

20、得条件成立.则0lnaa1当0a1,此时不符合条件当1a,g(x)max=g(e)=1e故a(1,e)(e,+)22.【答案】【答案】(1)曲线C的直角坐标方程为(x2)2+y2=2；(2)C1的参数方程为x=3+2+2cosy=2sin(为参数,且0,2)【解析】【分析】极坐标和参数方程这道题，作为选做题，难度不大，第一问考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，较为基础；第二问考查了轨迹方程的求法，考查的是相关点法，求出直角坐标系下的方程后，进一步化成极坐标方程即可，由圆心距小于半径差可得两个圆为内含关系，本题整体难度不大，考查的较为基础【解析】(1)p=22cos,p2=22pcos.x=pcos,p=x2+y2,x2+y2=22x.即曲线C的直角坐标方程为(x2)2+y2=2(2)设P点坐标为(x