教育教学论文数列求通项公式的方法及典例

1、数列求通项公式的方法及典例广东省珠海市北师大（珠海）附中（519000 ）吴爱国数列是高中数学中的重要内容，求数列的通项公式是最为常见的题型之一，是历年高考考察的热点问题 . 本文对递推数列求通项、已知an 与 Sn 的关系求通项问题作了探究，并给出了典型例题，希望对大家有所启发.1. 递推数列求通项问题递推数列求通项公式有两大类思路：第一类思路是通过变形， 求出通项 . 其中具备典型特征的递推式， 有固定变形方法 ( 具体如下 ),其他则需见机行事，合理变形，转化为固定类型求解.递推数列求通项公式的类型解法如下：( 一) 基本型：(1) “an an 1f ( n)(n2) ”型，可用累加法

2、 .例 1.已知数列 an 中， a11， an1an2n1 ， nN *，求 an .解：由已知a2a1 1， a3a23， a4a35 ， anan 12n 3以上 n 1个式子累加得， ana1( n1)(12n3)(n1)22又因为 a11，所以， ann22n2(nN*).anf ( n)(n 2)”型，可用累乘法 .(2) “an 1例 2. 已知数列 a 中，a1， nan1 a0 ，n*，求a.n1n 1nNn解：由已知an 1n 1，a22 a33 a44，annanna1，3an 1n 11 a22 a3以上 n 1个式子累乘得，ann ，又因为 a11，所以， ann (

3、nN*) .a11(3) “ an 1panq( p、 q为常数， p1)”型，可用待定系数法，将其变形为(an 1)p(an) 的形式，从而构造新的数列 an 成等比数列，进一步可求出 an .例 3.已知数列 a 中， a1， a13a2 ，n* ，求an.n1nnN第1页共5页解： an 13an2 ， an 13an23(an2)23令1 an1 是以 2 为首项，以3 为公比的等比数列 .，得3即n1n1*an1 23所以， an231( nN ) .( 二 ) 常规型： ( 利用固定方式可转化为基本型处理)(1) “ an 1panqn ( p和 q为常数 , p1) ”型法 1：

4、两边同时除以pn1 ，化为 an1an1 ( q ) n，转化为基本型(1)；pn1pnp p法 2：两边同时除以qn1 ，化为 an1pan1，转化为基本型 (3).qn1qqnq例 4.已知数列 a 中， a1， an13an2n 1 ，nN*，求 a.n1n解法 1：两边同时除以3n 1 ，得 an 1an( 2) n 1 ，即an1an( 2)n 13n 13n33n 13n3利用累加法可得ana1(2)2(2)3( 2)n42n13n333333n又因为 a11，所以， an53n12n1(nN*).解法 2：两边同时除以n 1an 13 an1.令 bnan，则 bn 1312，得

5、2n122n2nbn2由基本型 (3)待定系数法易得， bn2 是首项为5 ，公比为3 的等比数列，532 ，即 an5322所以， bn()n 1()n12得 an53n 12n1 (nN*).222n22(2) “ an 1anf (n) ”型 , 两边同除以 (1)n 1 ，化为an 1anf (n)，( 1)n 1( 1)n( 1)n 1转化为基本型(1)；例 5.已知数列 an中，a11， aa2n，n N*，求an .n 1n解：两边同除以(n1，得an 1an2n(n1)n 1(n(n 12)(1)1)1)利用累加法可得(ana1(2)(2)2(2)n1 2 1(2) n 1 1

6、)n13又因为 a11，所以， an(1)n 12n(nN*).3(3)“an1an(,为常数 ) ”型， 两边取倒数， 化为1q1panp qanp ，转化为基本型 (3).q1an例 6.已知数列 an 中， a11， an 12an， nN * ，求 an .3an1解： an12an，13an11133anan 12an2 an21由基本型 (3)待定系数法易得， 13 是首项为2 ，公比为1的等比数列，an2所以， 1( 2)( 1 )n13，即 an32n21(nN*).an22n2（ 4）“ an1cank(c 0,a0)”型，两边取对数，化为基本型(3).n例 7. 已知数列

7、an 中， a11， an 1 3an5 ， nN * ，求 an .解：由已知lg an1lg 35lg an由基本型 (3)待定系数法易得， lg an1 lg3是首项为1 lg 3 ，公比为 5 的等比数列，44即 lg an1 lg3 (5n 1) ，所以， an1lg3(5n1)N*).104( n4(5)“ an 1panA0nB0 ( p、 A0、 B0为常数， p1)” 型法 1：两边同时除以pn1 ， an 1anA0nB0 ，转化为基本型 (1).pn 1pnpn1法2：可用待定系数法，将其变形为an 1A(n1)Bp(anAnB) ，从而构造新的数列 anAnB 成等比数

8、列，进一步求出an .例 8.已知数列 an 中， a11， an 13an2n1， nN * ，求 an .解法 1：两边同时除以 3n 1 ，得 an1an2n13n13n3n1第3页共5页利用累加法可得ana11 3 52n 3112n 33n3 3233343n32 3n 12 3n又因为 a11，所以， an23n 1n(nN*).解法 2：an13an2n1，设 an1A(n 1)B3(anAn B)2A2A1故 ann 是首项为 2 ，公比为 3的等比数列 .可得A，解得B02B1所以， an23n 1n (nN*).注：比较上述两个解法，很明显，解法2 更简洁，计算量也小很多，

9、故待定系数法的思想在解决此类型问题中较常用 .第二类思路是先算前几项，再猜通项.此法多用于小题，解答题中还需证明猜想（常用数学归纳法） .例 9.设 an满足： an 1an2nan1，且 a12 ，求an .解：此题直接计算似乎无从下手，于是我们利用题目递推关系易得a2 3 ， a34 ， a45 ，于是我们很容易猜想ann1 (nN * ) .然后再用数学归纳法严格证明（本处过程从略）.2已知 an 与 Sn 的关系求通项问题（三）和项混合型(已知 an 与 Sn 的关系式，求 an ) ： 一般利用 anSnSn 1 (n2) ，将关系式转化为只含有an 或 Sn 的递推关系，再利用上述

10、方法求出an .例 10.（ 1）设 Sn 为数列 an 的前 n 项和，且2Sn = 3an + 3n ，求 an .（ 2）设 S 为数列 an 的前 n 项和，且 a2 = 2, Sn2= 4an Sn- 1 (n ? 2) ，求 a.nn解：（ 1）当 n1 时， 2S1 = 3a1 + 3? 1，得 a13当 n2 时， 2Sn = 3an + 3n， 2Sn- 1 = 3an- 1 + 3(n - 1)，得， 2an 3an3an 13即 an3an13由基本型 (3)待定系数法易得， an3 是首项为9，公比为 3的等比数列，322所以， an(13n )(nN*).2（ 2）a

11、22S2 24a2 S1即 (2 a1 )24 2 a1得 a12当 n 2时， Sn2 = 4an Sn - 1 = 4(Sn -Sn- 1 )Sn- 1整理得Sn24Sn Sn 14Sn210即 ( Sn2Sn 1) 20Sn2Sn1 故 Sn 是首项为 2 ，公比为2 的等比数列Sn2n当 n2 时， anSnSn 12n2n 12n 1所以， an2, n1.2n 1,n2注：本例题第2 问如果直接求 an 是比较困难的，于是我们采用“曲线救国”的思想，先求Sn ，进而再求 an ，实际解答过程中需要一步步探索 .（四）逐步引导型(题目是通过多个小问逐步引导，最后求通项) ：应注意遵循题目的引导顺序逐步求解， 水到渠成地求出通项，切忌不顾引导， 强行利用上述技巧先求通项，这样往往较麻烦 .例 11.已知数列 an 中 a12 ，且 an 12( n1)an(nN*) .ann（ 1）求证：