柯西不等式的几何意义

1、柯西不等式的几何意义和推广3.柯西不等式的几何意义柯西不等式的代数形式十分简单，但却非常重要。数学当中没有巧遇，凡是 重要的结果都应该有一个解释，一旦掌握了它，就使这个结果变得不言而喻了。 而一个代数结果最简单的解释，通常驻要借助于几何背景。现在就对柯西不等式 的二维、三维情况做出几何解释。(1)二维形式(a? b2) (c2 d2)_ (a c b)d图3-1如图，可知线段OP，OQ及PQ的长度分别由下面的式子给出：OP = Ja2 +b2, OQ = Jc2 +d2, PQ = J(a_c)2 +(b_d)2r表示OP与OQ的夹角。由余弦定理，我们有222cPQ =OP +OQ -2 OP

2、 OQ cos9将 OP，OQPQ的值代入，化简得到cos -二ac +bda2 b2、c2 d2故有cos2 -=(ac bd)2(a2 b2)(c2 d2)(a1b-2+b2) a3 Q对于三维情形，设P(a1,a2,a3),Q(bi，b2,b3)是不同于原点0(0,0,0)的两个点，则OP与OQ之间的夹角二的余弦有 adbi+ a； b； a3 b3cos Ja； + a；+ afJT；b b3又由cos；二乞1，得到柯西不等式的三维形式：(c!2 +a； +a)；(bl2+b+b； 3(aha/b；)a?b?当且仅当O,P,Q三点共线时，等号成立；此时只要这里的,b2,b3都不是零，

3、就有虫=鱼二也bib；b34.柯西不等式的推广前面的柯西不等式都是限制在实数范围内的，在复数范围内同样也有柯西 不等式成立。定理：若a = (aa,a.)和b = (b|,b；,0)是两个复数序列，则有当且仅当数列a和b成比例时等式成立。证明：设是复数，有恒等式n _2为k =1n_门22门2 门=W （-k -也）（-k -九bk）=送 ak 十卩送 bk 2Re（匹 akbk）k=1kdk Tk dn、-kbk 若，= n无bkl2k d(其中20)，则有n=akkd、-kb.k=1n2bk k=1由此推出了复数形式的柯西不等式。除此之外，我们还可以知道一些与柯西不等式相关的结论。定理1

4、:若 a ，,a.）和b二，,0）是实数列，且0 _ x _1，则nnn（akbkX、qbj）2 _Cak2x叭）（、bk2xbbj）k4i =jkJi ：jk 4i :：:j当x =0时，这个不等式即为柯西不等式。定理 2 :若a=（ai,a）和b = 4，,0）是正数序列，且 1兰zEyE2或nnnnnnn（ a：，b2）_（v alb2 abj）a：b严）L a严b：）a）2k =1k =1k =1k =4k4k 4k =1这个不等式实际上是Holder不等式的推论。我们知道，当数列 站和fbn?取任意项时，柯西不等式均成立。对于所考察的数列 春和和具有偶数项时，我们就可以加细柯西不等式

5、。定理：若a =（a,a2,a?.）且b =（4,b?.）是实数列，则2n2n2nnc ak bkV (a)( bk ) 2【a_k(bk_2 a1k 2“)k=1k： 1=k 1= k 1对于柯西不等式，除了这种数列形式之外，还存在积分形式的柯西不等式。定理：设f和g是在a,b上的实可积函数，则(2 f (x J d x)(g (x ) d x)b2b(a f (x )g (x )d x)a当且仅当f和g是线性相关函数时等式成立。b2证明：对任意实数t,有 .(tf (x)g(x) dx_0abbb即 t2( f d x2 t ( f) x( g) x d2x G )g x 0d xaLaa

6、M =(2jbf(x)g(x)dx)24(f f(x)2dx) (fg(x)2dx)兰0aaarb2b2b-即 (a f (x )g (x )d x)a ( f (x )ad x) ( g (x ) d x)这个不等式也称为Schwarz不等式。除了在积分上柯西不等式有这种应用之外，在概率中也有类似的柯西不等式 形式。定理：对任意随机变量 E和H都有E幼兰E2 .EH2.等式成立当且仅当=t ,1.这里to是一个常数。证明：对任意实数t，定义u(t)二E(-)2二t2E 2 -2tE E 2 ；显然对一切t，u(t)_0，因此二次方程u(t)=0或者没有实数根或者有一个重根， 所以，(E )2 -E，2 E 2乞0.此外，方程u(t)=0有一个重根to存在的充要条件是(E，)2-EJe 2=0. 这时 E(t。-)2=0.因此，Pt。- =0=1.有了这个结论，对于解决一些复杂的概率题时会有所帮助。5.结论总之，柯西不等