高数--微分方程PPT课件

1、1 一阶线性微分方程 第四节 第十二章第十二章 2 一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式一阶线性微分方程标准形式:)()( d d xQyxP x y 若若 Q(x) 0, 0)( d d yxP x y 若若 Q(x) 0, 称为称为非齐次方程非齐次方程 . 1. 解齐次方程解齐次方程 分离变量分离变量 xxP y y d)( d 两边积分得两边积分得CxxPylnd)(ln 故通解为故通解为 xxP eCy d)( 称为称为齐次方程齐次方程 ; 3 对应齐次方程通解对应齐次方程通解 xxP eCy d)( 齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解

2、xxP Ce d)( 2. 解非齐次方程解非齐次方程)()( d d xQyxP x y 用用常数变易法常数变易法:,)()( d)( xxP exuxy 则则 xxP eu d)( )(xP xxP eu d)( )(xQ 故原方程的通解故原方程的通解 xexQe xxPxxP d)( d)(d)( CxexQey xxPxxP d)( d)(d)( y 即即 即即 作变换作变换 xxP euxP d)( )( xxP exQ x ud)( )( d d CxexQu xxP d)( d)( 两端积分得两端积分得 4 .2. 1 2的通解 的通解求求例例 x xeyxy 2 2: x xeQ

3、xP 令令解解 xdx e 2 ) 2 1 ( 2 2 Cxe x 2 x e )(: )()( CdxexQey dxxPdxxP 通解通解 )( 2 2 Cdxexe xdx x )(Cdxx 5 1 2. x dye y dxxx 例求的解 x e Q x P x 1 :令令解解 dx x ey 1 )( 1 Cdxe x x )( 1 Ce x x )( 1 Cdxe x e dx x x 6 . ln . 3的解的解求求例例 x x yyx x y x y ln 11 : 解解 ) ln 1 ( 11 Cdxe x ey dx x dx x x )ln(lnCxx ) ln 1 (

4、lnln Cdxe x e xx ) ln 1 (Cdx xx x 1 7 .1|,3 1 : 1 2 的的特特解解求求 x yxy x yex )3(: 1 2 1 Cdxexey dx x dx x 解解 ) 2 3 ( 2 C x x 2 1 C x x y 2 1 2 3 3 1 1 x y 由，代入得 8 .0)2(. 4 2 的的解解求求例例 ydxdyyx yx ydy dx 2 :解解 )(: 22 Cdyyeex dy y dy y 通通解解 )( 1 3 2 Cdyy y ) 4 1 ( 1 4 2 Cy y 2 2 4 Cy y 9 ).(),()(,)(. 5 2 0

5、xfxfxdtttfxf x 求求满满足足方方程程连连续续设设例例 )(:xxf解解 xxxfxf2)()( 即即 )2()(Cdxxeexf xdxxdx )2( 22 22 Cdxxee xx )2( 22 22 Cee xx 2 2 2 x Ce 0)0( f2 C 22)( 2 2 x exf 求导求导分析：等式两边对分析：等式两边对x )(2xfx （一阶线性方程）（一阶线性方程） 10 二、伯努利二、伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的标准形式伯努利方程的标准形式: )1,0()()( d d nyxQyxP x y n n y以 )()( d d 1 xQyx

6、P x y y nn 令令 , 1 n yz x y yn x z n d d )1 ( d d 则 )()1 ()()1 ( d d xQnzxPn x z 求出此方程通解后求出此方程通解后, 除方程两边除方程两边 , 得得 换回原变量即得伯努利方程的通解换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法解法: (线性方程线性方程) 11 例例6. 求方程求方程 2 )ln( d d yxa x y x y 的通解的通解. 解解: 令令, 1 yz 则方程变形为则方程变形为 xa x z x z ln d d 其通解为其通解为ez 将将 1 yz 1)ln( 2 2 x a Cxy x x d 1 ex

7、a)ln( x x d 1 Cx d 2 )ln( 2 x a Cx 代入代入, 得原方程通解得原方程通解: 12 内容小结内容小结 1. 一阶线性方程一阶线性方程)()( d d xQyxP x y 方法方法1 先解齐次方程先解齐次方程 , 再用常数变易法再用常数变易法. 方法方法2 用通解公式用通解公式 CxexQey xxPxxP d)( d)(d)( , 1 n yu 令 化为线性方程求解化为线性方程求解. 2. 伯努利方程伯努利方程 n yxQyxP x y )()( d d )1,0(n 13 思考与练习思考与练习 判别下列方程类型判别下列方程类型: x y yxy x y x d

8、 d d d ) 1( )ln(ln d d )2(xyy x y x 0d2d)()3( 3 yxxxy 0d)(d2)4( 3 yxyxy yxxyxydd)2ln()5( 提示提示: x x y y yd d 1 可分离可分离 变量方程变量方程 x y x y x y ln d d 齐次方程齐次方程 22 1 d d 2 x y xx y 线性方程线性方程 22 1 d d 2 y x yy x 线性方程线性方程 2 sin2 d d y x x y xx y 伯努利伯努利 方程方程 14 备用题备用题 1. 求一连续可导函数求一连续可导函数 )(xf使其满足下列方程使其满足下列方程:

9、ttxfxxf x d)(sin)( 0 提示提示: 令令 txu uufxxf x d)(sin)( 0 则有则有 xxfxfcos)()( 0)0(f 利用公式可求出利用公式可求出 )sin(cos 2 1 )( x exxxf 15 2. 设有微分方程设有微分方程 , )(xfyy其中其中 )(xf 10,2 x 1,0 x 试求此方程满足初始条件试求此方程满足初始条件0 0 x y 的连续解的连续解. 解解: 1) 先解定解问题先解定解问题 10, 2xyy 0 0 x y 利用通解公式利用通解公式, 得得 x ey d 1 d d2Cxe x )2( 1 Cee xx x eC 1

10、2 利用利用0 0 x y得得2 1 C 故有故有) 10(22 xey x 16 2) 再解定解问题再解定解问题 1,0 xyy 1 1 22) 1 ( eyy x 此齐次线性方程的通解为此齐次线性方程的通解为 ) 1( 2 xeCy x 利用衔接条件得利用衔接条件得) 1(2 2 eC 因此有因此有 ) 1() 1(2 xeey x 3) 原问题的解为原问题的解为 y 10),1 (2 xe x 1,) 1(2 xee x 17 ( 雅各布第一雅各布第一 伯努利伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利伯努利(1654 1705) 瑞士数学家瑞士数学家, 位数学家位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年年 版了他的巨著版了他的巨著猜度术猜度术, 上的一件大事上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式而伯努利定理则是大数定