建筑大学线性代数作业的答案解析（完整版）

1、WORD格式.可编辑第一章行列式专业知识整理分享1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)=acb bac cba - bbb- aaa - ccc3abc - a3 - b3 - c3(2)bc2 ca2 ab2 - ac2 - ba2 - cb2b2=(a _ b)(b _ c)(c _ a)2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:(1)(2)1) 2 4 (2n)；(3)13 (2n1) (2n) (2n _2)2.(1)逆序数为3.2)逆序数为世 卫.(3)逆序数为n(n_1).3.写出四阶行列式中含有因子 a11a23的项.解由定义知，四阶行列式的一般项为1)ta1a

2、2p2a3R5a4p4，其中 t为 p P25P4的逆序数由于 = 1,压=3已固定，P1 p2 p3 p4只能形如13 口，即1324或1342.对应的t分别为0010 = 1 或 0002 = 2a11a23a32a44 和 a11a23a34a42为所求 .4.计算下列各行列式:解214121403121cc231221232123050625062214021403-1224 - A31221230123021400000-abacae-b c e(2)bd-cdde=adfb - c ebfcf-efb c - e-1 1 14abcdefadfbce 1-111 1 -1a1000

3、1 + aba0-1b10 + ar?1b100-1c10-1c100-1d00-1d1 + ab a2北=(-1)(-1)1 c0 -101+ ab a ad1 kdc2-1 c 1 + cdd010=(1)(1)321 abad1 cd=abcd ab cd ad 15、证明:左边xay + bzaz + bxyay + bzaz + bxyaz 十 bxax + by十bzaz 十 bxax + byzax + byay + bzxax + byay + bz按第一列 分开xay+bzzyzaz +bx2 ayaz+bxx+ 0+ 0+ bzxax +byzax+byyxyay +bz分

4、别再分WORD格式.可编辑(3)专业知识整理分享xyzyzx3 ayzx+ b3zxyzxyxyz分别再分xyzxyz3 ayzx+ b3yzx（-1）2 =右边zxyzxy2 a左边二b2a2(2a1)(a2)2b2(2b1)(b2)22 2 c(2c1)(c2)d2(2d1)(d2)2(a 3)2 (b 3)2 (c 3)2 (d 3)22 a2a+14a + 4c - Gib22b+ 14b + 4心3 - &2 c2c+ 14c + 4c4 一 c1d22d+14d十42 aa4a + 4按第二列b2b4b + 4分成二项2 cc4c + 4d2d4d + 4d26a + 96b+ 9

5、6c + 96d + 926a+ 92 a14a + 46a + 96b+9+b214b + 46b+ 96c + 92 c14c + 46c + 96d + 9d214d + 46d + 9第一项c3 - 4c2 ac4 - 6c2 b2b 4 9 b2+第二项2c3 -4c2 cc4 - 9c2 d21 4a 6a1 4b 6b =01 4c 6c1 4d 6d000b-ac-ad-a222222b-ac-ad-a444444b-ac-ad-ad 4 9 d21a2 a4 ab- ac-ad-a.2 22 2.2 2b - a c - ad - a2 2 2 2 2 2 2 2 2b (b

6、 a ) c (c a ) d (d a )WORD格式.可编辑1 1 1c ac2(c a)d + ad2(d+ a)=(b _ a)(c _ a)(d _ a) b + ab2(b+ a)=(b _ a)(c _ a)(d _ a)1 0 0b + ac-bd-b2 2 2 2 2b(b + a) c(c + a)_b(b + a) d(d+a)_b(b+a)=(b _ a)(c _ a)(d _ a)(c _ b)(d _ b)1 1(c2 + bc+ b2) + a(c+ b) (d2 + bd+ b2) + a(d + b)=(a b)(a-c)(a d)(b c)(b d)(c-d

7、)(a b c d)（4）用数学归纳法证明当 n = 2时,D2 =x-1a2 x + as=x2 + aqX + a2,命题成立.假设对于（n 一 1）阶行列式命题成立，即Dn=xn，+a1Xn，+ + ax + a则Dn按第1列展开：1000卄 x-100Dn = xDz +an(1)0 a b b e a 11X -1所以，对于n阶行列式命题成立6、计算下列各行列式（ Dk为k阶行列式）1a ，其中对角线上元素都是a .未写出的元素都是 0 ；（1）专业知识整理分享WORD格式.可编辑专业知识整理分享nW o a nW a o a o o0 0a 0=(-1) +1 0 aa+ (T)2

8、n aa=(-1) n+1 (-1) n a(n -1)x( n-1)1)(2)xaaaxaaaxnxaaa-xx-a0 -Dn =a-x0x_ aa-x00 0解将第一行乘（丄）分别加到其余各行得a再将各列都加到第一列上得a00xaDnx (n -1)a00x-a0zx -(n _1)a(x_a)1 + a11(3)Dn =11 + a2-11000xaa 0a u (n-1)x(n1)+ anaa(n /)(n2)a10000a2a20000- a3a30000- a4.00000一 anan -J0000_ an1a100- a2a200-a3a3(1+ an)(a“a2an_1)-00

9、-a4000000a10000_ a2a20000-a3a300+-+ 000- a*anV000% 0-ana2a20000a3a3-0000a400000-一 a*an000-0-an=(1 an )(aia2anJ)aia2an -3a2an 1= (a“a2an)(1)y ai按最后一列 展开（由下往上）000000000000-an_2an_2000 an十a2a3an11111+n(4) D 2 n按第一行展开anCnancn .J0an -1bn(-1广cn/cn都按最后一行展开由此得递推公式:D2nD2nD2D2n(5) aija1b1cd1a1andnDdnbn_1b1d1a

10、1dn_100dnb12n2 -bncnD 2n-2二 dn - bncn)D2n_2n=ni =2a1n=ni =1bn_1dn_10(aidi - bdd1=a1 dq biG(aidi - bici)011021Dn =det(aij)=32n - 1n-2-111-1-111 -1-1-1-1-1-1n -1n - 2n -1000-1200-12-20-12-2in -12n 32n 42n2101nn35-47.用克莱姆法则解下列方程组:n_1n -2=(一1)5-1)21111111112-1401-232-3-1-505-3-73121102181111111解 D =11-2

11、301-23-13-5414142WORD格式.可编辑51115111-22-140509-2-3-1-5-2-3-1-501211012111-911-9-55D1 =10001000D2 二10-00D3 -D4 二11-13-231111-10-13-231138二-1429.5111512-140-7-22-1-50-12-302110-15-15111511-1320-1320231100-1-1903931000-28402312000011132-738二-284142115112-24=-42623-25310111115121-2= 142231-23120X1=D1D-1,

12、D2 o f 2,专业知识整理分享3, X4亠1DDWORD格式.可编辑g + x2 + x3 = 0 问，丄取何值时，齐次线性方程组Xq：X2 X3 = 0有非零解?X1 + 2咲 + 対=0Z11解D3 =1p1=卩-収121齐次线性方程组有非零解，则D0- - 0, 得不难验证，当匸0或=1时 ,该齐次线性方程组确有非零解第二章矩阵及其运算i、已知两个线性变换X1 = 2% y3X2 二-2y1 3y2 2y3,X3 =4% y2 5y3y1 二 一3乙 z2丫2 = 2乙 z3 ,-z2 - 3z3求从变量 z1 ,z2 ,z3到变量x1,x2,x3的线性变换。由已知XiX21x3 丿

13、 I422；l：y;5 V240 13 2150230 z11 z23 zs-612101 3何4 9 I z2-116丿耳所以有xX2X3-6z1=12乙 一 4z2 9z3二-10z1 -z216z3Z23Z3专业知识整理分享111、123、2、设 A =111,B =_ 1-241-11,求 3AB 2A 及 AtB.111 丫123111、解 3AB -2A =311-1 | -1-24_ 211_ 1_11丿1。512 | =-1 2于（_1） 3 7丿（-3 6丿解:4设 A.1 J,求 A ,A，A .利用数学归纳法证明） （1 ）1 =.1丿 1丿1当k =1时,显然成立假设k

14、时成立，则k亠1时r 10 ;l（k+1）丸 1 丿k由数学归纳法原理知：ar1 0Z 1丿孤10 5、设A =0 九1,求A100九解 首先观察WORD格式.可编辑i9专业知识整理分享工101 0、& Q 2丫2 2 * *L8 14】QA扎2兀 13 - 23 -人 3扎3扎A2 =0丸1 I。扎1=20 丸 2丸A丘5人2 5丿 14 29丿 = A0勺0 16 4 =0扎33扎2e 00九,0 0z200九3k J kk(k -1) 2扎2(k 一2)(*)证明：由已知：aJ= A二BB都是n阶对称阵，证明AB是对称阵的充要条件是7.设 U121 3丿1 0)I,问:订2丿用数学归纳法

15、证明：当k=2时，显然成立假设k时成立，则k十1时，kI r kk(k -1)、kJm k*(k+1U扎k人/u2卜1 0)A(k +1)丸A2AkAk A =0 /严二kz0 k 1 =0n k舟 /u(k+1)f0 0r k 扎1。0巧00扎Jk丿由数学归纳法原理知：(*)成立.6、设 A、AB 二 BA.充分性 AB 二 BA二 AB =BT AT二 AB =(ab)即AB 是对称矩阵.必要性：T(AB) AB 二 BTAT=AB 二 BA = ABAB二BA吗？2 2 2(2) (A B)=A 2AB B 吗?2 2(3) (A B)(A _B) =A -B 吗?10J.2则ABBA

16、=卩 2 二 AB 式 BA3 8丿2(2) (A B)2但 A2 2AB B211丿(3) (A B)(A _B)2种5局6WORD格式.可编辑A2 _B2*3 8、14 11 丿 一22 2(A B)(A _B) = A_B8.举反例说明下列命题是错误的 ：（1）若 A 0，则 A 二 0;（2）若 AA,则 A=0 或 A = E ;（3）若 AX 二 AY，且 A = 0,则 X 二丫.解（1）取A(2)取 A =11A2=A，但 Ah0 且 AhE10丿（3）取A） 7 1） 丫叫；）且5 但X丫X1 =2y1 2y2 y9、已知线性变换x2 = 3yr y2 5y3 ,求从变量 x

17、1, x2, x3到变量 y1,y2, y3的线性变换。X3 = 3 y1 2y2 3y3X1、221%解：X2=315y2J込332322厂-11u-49、所以y2=315X2=63-7X223X332卜=-7捲-4x2 9x3 即 y2 = 6x-i 3x2 -7x3y3 =3x1 2x2 -4X310、求下列方阵的逆阵：1 2） 25丿解：A 12 :5丿,A=1-外=5,A21= 2(-1),A12=2X(_1),A22 = 1 -A*_ 1 A11A21 J _，Z 5-2、.A =t1A* =5-21kA12A22 丿1-2 1 丿IA1-2 1 丿tos 0 -sin 0 gin

18、 0 cos 0解：A =1式0 故A二存在A11 二costA21 =sinr A2 - -sin vA22 =cosv专业知识整理分享从而 cos 日 l_sin Bsin)cos00 0、0a20 0(3)00a30(a1 a2000 an Jan = 0)a110A=a2+01an J解：由对角矩阵的性质知11、解矩阵方程:11-1-133223、解:X30 10101 00X0000101010 斗*1解:X =10024-23 Y1-1 | 00人0-1300、-4一2| x1 2x2 3x3 = 112、利用逆阵解线性方程组：2X1 2 X2 - 5x3 = 23x1 5x2 x

19、3 = 3解：解、 （1）方程组可表示为1 2 3p故X2=2 2 52=0 3 2 3 1 丿I36-x1 二1从而有x2 = 0.X3 = 0k12k _113、设a =0（ k为正整数），证明：E-AE A AA证明：1一方面，E = (E - A) (E - A)另一方面，由 Ak =0 有22k 1k 1k2k 1E =(E - A) (A - A ) A - A (A -A ) (E A A 川)(E - A)故(E - A) (E - A) =(E A A2 Ak)(E - A)两端同时右乘 (E - A) 1 0，AB= A+2B，求 B .14、设 A =1-1就有(E _A

20、)4 = E A A2Ak4.解由 AB=A 2B可得(A_2E)B=A=2 3 31广 03 3；03 3故 B =(A _2E)A =1 -1 0110 =-12 3L121 丿1-1 2 3 1U 1 0丿15、设 PAP = 一”，其中 P =r_1_4、广-10、,A =U 1丿0 2丿所以A1P11PJ,求 A11.1 4-1 1314I-1而1A4 11-31O124-312 -1 33 87 62 -16.设矩阵 A可逆，证明其伴随阵A 也可逆，且 证因 A*= AA，由 A4 的可逆性及 A 0 ，可知A可逆，且（A）（AA 丁 =右 A ；另一方面，由伴随阵的性质，有 A*

21、丁 = A-1 E .用A左乘此式两边得(a* = A1 A = AA = iA，比较上面两个式子，即知结论成立。仃、设n阶方阵A的伴随阵为 A ，证明:若a =0，则A*=0 ；n_1证明(1)用反证法证明.假设 a - 0则有A”(A)二E .由此得 A 二 AA (A )AE(A )=0 . A = O .这与 a #0 矛盾，故当A=0时，有 A =0.(2)由于 AA 二 AE取行列式得到：A A*A 二 An若A = 0由知A=0此时命题也成立故有A*|An118.设 A=diag(1, -2, 1) , A*BA= 2BA- 8E ,求 B解由于所给矩阵方程中含有A及其伴随矩阵A

22、，因此仍从公式AA = AE 着手。为此，用 A左乘所给方程两边，得 AA*BA= 2 ABA-8 A，又, | A B =2AB-8E = (2A 亠 2E)B =8E= (A 亠 E)B =4E.注意到 A E = diag(1，-2,1)diag(1,1,1)= diag(2，-1,2),是可逆矩阵，且j11(A E) = diag(-，-1,一)，2 2于是 B = 4(A E) 4 = diag (2,-4,2).3 404-3019、设 A =00234-3令A1 =34 )4 -3丿A2 =2 02 2丿A8=0A41 0、.C1丿 A丿5401 0542)0k2iZ340252

23、543102525O406001002100OOA424丿A8A8 A=10161-13-43、3-35-412-23-203-34-2-1丿矩阵的初等变换与线性方程组第三章把下列矩阵化为行最简形:1.1323-1 3 -4 -3 5 -4 -2 3 -2 -3 4 -23】（下一步 2.r1 口_2口 口_3口 ）1 OOO-1 3-430-4 8-8 0-3 6-6 0 -5 10-10.10-1 3 -4 3)10-102-3、1-2 2-22（下一步 rt-4）3说2） 4弋-5） ）亠 亠（下一步 1 _323上4上 ）d,n01-22I-00001-2 2丿000丿2.禾U用矩阵的

24、初等变换，求下列方阵的逆:3 2 11 0 0、22 11 0 032 0 3/2 0 T/2)3 1 50 1 0 0-1 4-1 1 0 0-1 0 1 1 -2V3 2 30 0 1；100 2T 0 1丿00 2-10 1 丿3 2 13 153 2 3丿解37/2 2-9/210 07/6 2/3-3/20T 0_20 1 0T T20-1/2 01/2丿 I I1-2-3-2 001 004950-3C 10121 000 1丿02210100/02丿(2)解_ 2-3-2110-4-21110-3-6- 10f1_ 2-1_1 _2_2 jC011 0T |C0-1-136I00

25、1-6-10丿00-2010一2丿100001000010000111 -11-203-6故逆矩阵为-20-_4-1 23 -641-2、-3、221B =2231-1-10丿求X使AX =B.1 -21-3r10 0102、(A, B)=2 12201 0T5-31 -13100 1124丿广102所以X =B =T5-3 124丿4.求作一个秩是4的方阵，使它的两个行向量(10100),(1-10 03.设 A =解因为0.1 0 0 0 01-10 0 0解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵1|005.求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式.010 0此矩阵的秩为4其第2

26、行和第3行是已知向量0 0 100 0 0 03102 11 2 1J3-443102、1-1 2解1-12-1（下一步卞爭）3103_44丿3-4r a-1-rr-12T）丄、45（下一步巧上）-65 1.矩阵的秩为2 .I0455丿000厂广32-1-3-1、2-131305-1一8-4是一个最高阶非零子式32-1-3_1解2-131-3（下一步匸2213_21 ）705-1-813-4-42 q3-4-41、32-10-7119-7（下一步 ：3-32丿0-7119-5矩阵的秩是32-131-213327-220000一170-8=7是一个最高阶非零子式6.解下列齐次线性方程组:I Xj

27、 2x2 x3 - x4 = 0 3xt +6x2 _ x3 _3x4 = 0i5xt +10x2 +x3 _5x4 =0勺 21 -rr1 2 0 -TA =3 6 -1 -30 0 10510 1 -5丿0 0 0 0 丿解对系数矩阵A进行初等行变换有于是 2x2x2 = x2X3=0X4X4故方程组的解为f 、 为X2X3-210+ k2r00（J卜2为任意常数）凶丿 0丿订丿3xj +4x2 5x3 +7x4 =02xj _3x2 +3x3 _2x4 =04x111x2 -13x3 16% = 07Xj -2x2 x33% = 0对系数矩阵A进行初等行变换解4-57-33-211 -1

28、3 16-2133 7 0112x X70 03 仃19仃X3X4- - - 为 /X3X1 1113-7故方程组的解为(3、(13)171719+k2201717103丿1丿( k2为任意常数2-3丄亠41C20 0丿 1丿为通解的齐次线性方程组7，写出一个以x = q解根据已知可得pqr 2、2X2 |X3 |-3-J4C20j 1丿与此等价地可以写成x1x2凡二2“2或X2 - -3X3 4X4x 2 x32 x4 二 0x2 3 x3 - 4 x4 = 0这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组 非齐次线性方程组2X1 + X2-X3 +X414x2x2-2X3 +x4 二 2k 2X1

29、 + X2_X3 _X41对增广矩阵B进行初等行变换有2 1 -11 r11/2-1/201/24 2-21200010于是2 1 -1-1 1丿00000丿8解下列非齐次线性方程组:B=i解1 1 1(1、(1、(1)为=X? + X3 + X1一一2 2 2222 X2 = X2即X2=k1+ k20+0X3 =X3X3010、x4 = 0凶 1丿（ki k2为任意常数）| 2x1 x2 - x3 X4 = 1 * 3Xi 2 x? + X3 3x4=4Xi + 4 x? 3X3 +5X4 = 2解对增广矩阵B进行初等行变换有2 1B二 3 -214-11111 -34 0-3 5 -2八

30、0-1/7 -1/76/7-5/7 9/7 -5/70 0 01 16X1二= -X3 + X4 +_777595X2= -X3 -X4 一 777X3-X3/4=X4于是X1xX39.-211-2、解 B =1-21 11-2扎2丿当 取何值时有解？并求出它的解2 1 201 -1-20T)L3、丿I 000 (九 T)0+2)丿(J777595+777100 b 0二 k1鸟为任意常数 2X| x2 x3 二 _ 2 音 - 2x2 x3 二 X1 x 2x3 = 2要使方程组有解必须（1 4）（，2）=0 .即亠.=2 ,J21 1 -20 -11当心时.B =1-2 1 1 01 -1

31、0 11-2 1 丿00 00丿方程组解为X3 + 1X3| =冷 + 1 或 x2 = x3.1xX3(k为任意常数i - 211当./时B =1-21 1 11-2-2-2 -1-10方程组解为WX3 + ?或ixx2X1公2X2 = X32Xs = X3（2 -入）x 1 + 2x2 - 2x 3 = 110 设丿2x1 +(5 -入)x 2 - 4x3 = 2 -2x 1 - 4x 2 +(5 -入)x 3 =-入-1L问为何值时此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解2-九2-21(2 5-人-42 、解25-九-42 I0 1-九1 -九要使方程组有唯一解必须-2-

32、45 -九-1丿V00（1丸）（10丸）(i )(4-九)丿R(A) =R(B) 3 即必须(1 2)(10；)：0：.所以当 穴1且;=10时 方程组有唯一解.要使方程组无解必须R(A) :R(B)即必须57土 且(5S 所以当，乜0时 方程组无解.要使方程组有无穷多解必须R(A) :R(B) ：3即必须(1 _)(10 -)=0 且(1 -)(4 _，)=0 .所以当，4时.方程组有无穷多解此时，增广矩阵为1 1 2 -2 1为=_x2 + x3 + 10 0 0 0方程组的解为tx2 二 x20 0 0 0 ）公3 二X32或X2厂匕1 +k20十0 (k, k2为任意常数),枫丿1 0

33、丿J丿2厂线性代数期中复习答案一、选择题(1)设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为 m n矩阵，现有4个命题: 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)亠秩(B)； 若秩(A) _秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是(A).(B).(C).(D).B 【分析】本题也可找反例用排除法进行分析，但两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住与，迅速排除不正确的选项【详解】秩(B),即秩(A)=秩(B)，命题成立，可排除若Ax=0与Bx=0同解，则U n-秩(A)=n -(A),(C);但反过来，若秩(A)=秩(B),则不能推出 Ax=0与Bx=0同解,o o_-B- -o O01，则秩(A)=秩(B)=1 ,但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题不成立，排除(D),故正确选项为(B).1(2)设n阶矩阵 A的伴随矩阵 A=0,若& , & , &, &是非齐次线性方程组Ax = b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax = 0的基础解系(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量.B【分析】要确定基础解系含向量的个数实际上只要确定未知数的个