高二椭圆知识点性质大全

1、椭圆知识点性质大全PF1PF22a1.x2y22.标准方程 a2b21PF13. d1e14点 P 处的切线 PT 平分 PF1 F2 在点 P 处的外角 .5PT 平分 PF1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 .6以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离 .7以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8设 A1、 A2 为椭圆的左、右顶点，则PF1F2 在边 PF2（或 PF1）上的旁切圆，必与A1A2 所在的直线切于 A2 （或 A1） .x2y21A1 (a,0) , A2 (a,0) ，与 y 轴平

2、行的直线交椭9椭圆 a2b2（ a b0）的两个顶点为x2y21圆于 P1、 P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 a2b2.x2y21x0 xy0 y110若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 a2b2P0 的椭圆的切线方程是a2b2上，则过.P0 ( x0 , y0 )x2y21在椭圆 a2b2P 、P ，则切11若外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为12x0xy0 y1点弦 P1P2 的直线方程是a2b2.x2y21kOMkABb212 AB 是椭圆 a2b2a2的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则.P ( x , y )x2y21在 椭 圆 a2b213

3、若 000内 ， 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是x0 x y0 y x02y02a2b2a2b2.x2y21 内 ， 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是14 若 P0 ( x0, y0 )在 椭 圆 a2b2x2y 2x0 xy0 ya2b2a2b2.x2y2115 若 PQ 是 椭 圆 a2b2（ a b 0 ） 上 对 中 心 张 直 角 的 弦 ， 则1111r 2r 2a2b2 ( r1 | OP |, r2 | OQ |)12.x2y21AxBy116若椭圆a2b2（ a b 0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为( AB0) ,则 (1)

4、1 1A2B2L2 a4 A2b4B2a 2b2;(2)a2 A2b2B2.2222a2b2217给定椭圆 C1 ： b2 x2a2 y2a2 b2（ a b 0） ,C2 ： bxay(a2b2ab),则(i) 对 C1 上 任 意 给 定 的 点 P(x0 , y0 ) , 它 的 任 一 直 角 弦 必 须 经 过 C2 上 一 定 点 Ma2b2a2b2(2b2 x0 ,a2b2 y0 ).a(ii)对 C2上任一点 P ( x0 , y0 ) 在 C1 上存在唯一的点M ,使得 M 的任一直角弦都经过 P 点 .18设 P(x0 , y0 )x2y21为椭圆（或圆） C: a2b2(

5、a0,. b 0)上一点， P1P2 为曲线 C 的动弦 ,且弦 PP斜率存在，记为 k1, k 2, 则直线P1P2通过定点 M (mx0 ,my0 ) ( m1) 的充要条1, PP2k1k21mb2件是1ma2.x2y21(a 0, b 0)上任一点 A(x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭19过椭圆 a2b2b2 xkBC0a2 y0 （常数） .圆于 B,C 两点，则直线BC有定向且x2y2120 椭圆 a2b2(a b 0) 的左右焦点分别为F1， F 2，点P 为椭圆上任意一点F1 PF2，则椭圆的焦点三角形的面积为S FPFb2 tan122 ，P(ac222,b

6、2)b tantanc2c2 .x2y21PF1F221若 P 为椭圆 a2b2（ a b 0）上异于长轴端点的任一点 ,F1, F 2 是焦点 ,PF2 F1actantan，则 ac22 .x2y 21a ex0 , | MF2 | a ex0 ( F1 ( c,0)22椭圆 a2b2（ ab 0）的焦半径公式： | MF1 |,F2 (c,0) ， M ( x0 , y0 ) ).x2y2123若椭圆 a2b2（ a b 0）的左、右焦点分别为F1、 F2，左准线为 L，则当21e1 时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离d 与 PF2 的比例中项 .x2y212

7、4 P 为椭圆 a2b2（ a b 0 ）上任一点 ,F1,F2为二焦点， A为椭圆内一定点，则2a| AF2 | |PA| PF1 | 2a| AF2 |,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时，等号成立 .x2y21l ： y k( xx0 ) 对称的充要条件是25椭圆 a2b2（ a b 0）上存在两点关于直线x 2( a2b2 )20a2b2k 2.26过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线， 与以长轴为直径的圆相交， 则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 .27过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 .xa cos28 P 是椭圆yb sin

8、（ a b0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是e2121sin.x2y2k(k 0, k 1)x2y2129设 A,B 为椭圆 a2b2AB 与椭圆 a2b2上两点，其直线相交于P,Q ,则 APBQ .x2y2130 在 椭 圆 a2b2中 ， 定 长 为 2m （ o m a ） 的 弦 中 点 轨 迹 方 程 为21x2y2222sin2bxm( 22 )acosbtan0 时 ,a b,其中ay ,当 y90 .x2y2131设 S 为椭圆 a2b2（ a b 0）的通径，定长线段L 的两端点 A,B 在椭圆上移动，( x0 ) maxa2lcl ，M ( x0 , y0

9、 )是 AB 中点，则当 lc222e记|AB|=S 时，有2e (cab ,a );当 lS 时，有( x0 )maxa4b2l 20 .2b, ( x0 )minx2y 21与直线 AxBy C0 有公共点的充要条件是32椭圆 a2b2A2 a2B 2b2C 2.( xx )2( yy) 2001By C 0 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是a2b233椭圆与 直 线 Ax22222A aB b( Ax0By0C ) .x2y2134设椭圆 a2b2（ a b 0）的两个焦点为F1、 F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记F1PF2PF1F2,F1F2 P， 则

10、 有,s inces insina.35经过椭圆b2 x2a2 y2a2 b2（ ab 0）的长轴的两端点A 和 A 的切线，与椭圆上任12一点的切线相交于P和P，则| PA11 | | P2 A2 | b212.x2y2136已知椭圆 a2b2OQ .（ a b 0），O 为坐标原点， P、Q 为椭圆上两动点， 且 OP11114a2b2;（ 3） S OPQ 的最（1） | OP |2|OQ |2a2b2;（ 2）|OP|2+|OQ| 2 的最小值为 a2b2a2 b2小值是 a2b2 .37 MN 是经过椭圆 b2 x2a2 y2a2b2（ a b 0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中

11、心O 且平行于 MN 的弦，则 | AB |22a | MN | .38 MN 是经过椭圆 b2 x2a2 y2a2b2（ ab 0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半2111弦 OP MN ，则 a | MN | |OP |2a2b2.x2y2139设椭圆 a2b2（ a b 0） ,M(m,o)或 (o,m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过 M 引一条直线与椭圆相交于P、Q 两点，则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2为对称轴上的两顶点 )xa2yb2的交点 N 在直线 l ：m )上 .m (或40设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、 Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP

12、和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M、 N 两点，则 MFNF.41过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q交于点 M， A2P 和 A1 Q 交于点 N，则 MFNF.x2y2142设椭圆方程 a2b2,则斜率为 k(k0)的平行弦的中点必在直线l ： y kx 的共轭直线 y k x上 ,而且 kkb2a2.x2y21,43设 A、 B、C、 D 为椭圆 a2b2上四点 ,AB、 CD 所在直线的倾斜角分别为，直PAPBb2 cos2a2 sin2线 AB 与 CD相交于 P,且 P 不在椭圆上 ,则 PCPDb2 cos2a

13、2 sin2.x2y21F1PF2 的外a2b244已知椭圆（ a b 0） ,点 P 为其上一点 F为椭圆的焦点，1, F2（内）角平分线为l ，作 F 、 F 分别垂直 l 于 R、 S，当 P 跑遍整个椭圆时，R、 S 形成的轨迹12a2 y 2b2 x x2c2 y2c方程是 x2y 2a2a2 y2b2xc2().45设 ABC内接于椭圆，且 AB为的直径， l为 AB 的共轭直径所在的直线，l分别交直线 AC、 BC于 E 和 F，又 D 为 l 上一点，则 CD 与椭圆相切的充要条件是D 为 EF的中点 .x2y2146过椭圆 a2b2（ a b 0）的右焦点 F 作直线交该椭圆

14、右支于M,N 两点，弦 MN|PF |e的垂直平分线交x 轴于 P，则 | MN |2 .x2y21b2 x147设 A（ x1 ,y1）是椭圆 a2b2（ ab 0）上任一点，过A 作一条斜率为a2 y1 的直线 L，又设 d 是原点到直线L 的距离 , r1, r2 分别是 A 到椭圆两焦点的距离， 则 r1r2 d ab .x2y21x2y248已知椭圆 a2b2b2（ 0（ a b 0）和 a21），一直线顺次与它们相交于 A、 B、 C、 D 四点，则 AB =|CD .x2y2149已知椭圆 a2b2（ a b 0） ,A、B、是椭圆上的两点， 线段 AB 的垂直平分线与a2b2a

15、2b2x 轴相交于点 P(x0 ,0) , 则ax0.ax2y2150设 P 点是椭圆 a2b2（ a b 0）上异于长轴端点的任一点,F1、 F2 为其焦点记F1 PF2，则 (1)| PF1| PF2 |12b2S PF1 F2b2 tan2 .cos .(2)51设过椭圆的长轴上一点B（ m,o ）作直线与椭圆相交于P、Q 两点， A 为椭圆长轴的左顶点 ， 连 结 AP 和 AQ 分 别 交 相 应 于 过 H 点 的 直 线 MN ： xn 于 M ， N 两 点 , 则ama2nm2MBN90amb2 ( na)2.x2y2152 L 是经过椭圆 a2b2（ a b 0）长轴顶点

16、A 且与长轴垂直的直线， E、 F 是椭圆两个焦点， e 是离心率 ,点 PL ，若EPF，则是锐角且 sine 或arc sin e（当且仅当 | PH | b 时取等号） .x2y2153 L 是椭圆 a2b2,点 PL ， e 是（ ab 0）的准线， A、 B 是椭圆的长轴两顶点离心率，EPF， H 是 L 与 X 轴的交点c 是半焦距，则是锐角且sine 或| PH |abarc sin e（当且仅当c时取等号） .x2y2154L 是椭圆 a2b2（ a b0）的准线， E、F 是两个焦点， H 是 L 与 x 轴的交点，点P L， EPF,离心率为 e，半焦距为 c，则为锐角且

17、sine2或arc sin e2（当|PH |ba2c2且仅当c时取等号） .x2y2155已知椭圆 a2b2（ a b 0），直线 L 通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B 两点，b2 | F1 A | | F1 B | (2 a2b2 ) 2将 A、B 与椭圆左焦点F1 连结起来，则a2（当且仅当 AB x 轴时右边不等式取等号，当且仅当A、 F1、B 三点共线时左边不等式取等号） .x2y2156设 A、B 是椭圆 a2b2PAB,（ ab 0）的长轴两端点， P 是椭圆上的一点，PBABPA|PA|2ab2|cos|a2c2co s2,，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有 (1)

18、.(2)2a2 b2tantan1e2.(3)S PABb2a2 cot.x2y2157设 A、 B 是椭圆 a2b2（ a b 0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且xA、xB的横坐标xAxBa2P、 Q 两点，（ 1）若过 A 点引直线与这椭圆相交于则 PBAQBA （； 2）若过 B 引直线与这椭圆相交于 P、Q两点，则PABQAB180 .x2y2158设 A、 B 是椭圆 a2b2（ a b 0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（ 1）若过 A 点引直线与这椭圆相交于P、 Q 两点，（若 B P 交椭圆于两点，则P、Q 不关于 x 轴对称），且PBAQBA

19、，则点 A、 B 的横坐标xA、xB满足xAxBa2；（ 2）若过 B 点引直线与这椭圆相交于P、Q 两点，且PABQAB180 ,则点 A、 B 的横坐标满足xAxa2B.x2y2159设 A, A 是椭圆 a2b2的长轴的两个端点，QQ是与 AA垂直的弦， 则直线 AQ 与x2y21a2b2AQ的交点 P 的轨迹是双曲线.x2y2160 过椭圆 a2b2F 作互相垂直的两条弦（ a b 0 ）的左焦点AB、 CD则8ab2|AB|CD |2(a2b2 )a2b2a.x2y21ac61到椭圆 a2b2（ a b 0）两焦点的距离之比等于b（ c 为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆( xa)2y

20、2b2 .x2y21ac62到椭圆 a2b2（ a b 0）的长轴两端点的距离之比等于b（ c 为半焦距）的( xa )2y2( b)2动点 M 的轨迹是姊妹圆ee.x2y21ac63到椭圆 a2b2b（ a b 0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为（ c 为半焦( xa2 )2y2( b2 ) 2距）的动点的轨迹是姊妹圆ee（ e 为离心率） .x2y 21A , A 是它长轴的两个端点 ,且64已知 P 是椭圆 a2b2（ a b 0）上一个动点，x2b2 y21，则 Q 点的轨迹方程是 a2a4AQ AP,AQA P.65椭圆的一条直径 (过中心的弦 )的长，为通过一个焦点且与此直径平

21、行的弦长和长轴之长的比例中项 .x2y266设椭圆 a2b21（ a b 0）长轴的端点为 A, A , P( x1 , y1) 是椭圆上的点过P 作斜b2 x1率 为 a2 y1的 直 线 l ， 过 A, A分 别 作 垂 直 于 长 轴 的 直 线 交 l 于 M , M ,则（1）|b2面积的最小值是 2ab .| AM |AM.（2）四边形 MAA M x2y2167已知椭圆 a2b2（ a b 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ，过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于A、 B 两点 ,点 C 在右准线 l 上，且 BC / / x 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点 .

22、( xa) 2y21a2b268OA、OB 是椭圆（ a0,b 0）的两条互相垂直的弦， O 为坐标原点，(2ab 2,0)则（ 1）直线 AB 必经过一个定点a2b2.(2) 以 O A、O B 为直径的两圆的另一个交点Q22(xab)2y2( ab)20).的轨迹方程是a2b2a2b2(x69 P(m, n) 是椭圆(xa)2y21a2b2（ a b 0）上一个定点， P A、 P B 是互相垂直的弦，(2ab2m(a2b2 )n(b2a2 )则（ 1）直线 AB 必经过一个定点a2b2,2b2a.（2）以 P A、P B为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是( xab2a2m) 2(

23、yb2 n)2a2b4n2 (a2b2 )a2b2a2b2( a2b2 ) 2( x m 且 y n).70如果一个椭圆短半轴长为b，焦点F1、F2 到直线 L 的距离分别为d1d2b2d1、d2，那么（1 ），且F、F在 L同侧直线 L 和椭圆相切 .（ 2） d1d2b2，且F、F 在 L同侧直线 L和1212椭圆相离，（ 3） d1 d2b2，或 F、F 在L异侧直线 L 和椭圆相交 .12x2y2171 AB 是椭圆 a2b2（ ab 0）的长轴， N 是椭圆上的动点，过 N 的切线与过A、B 的切线交于 C 、 D 两点，则梯形 ABDC 的对角线的交点 M 的轨迹方程是x24 y2

24、a2b21( y 0).72设点 P( x0 , y0 )x2y21x2y21为椭圆 a2b2（ a b 0）的内部一定点， AB 是椭圆 a2b2过 定 点 P(x0 , y0 )的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时a2b2(a2 y02b2 x02 )(| PA | | PB |)maxb2.当弦 AB垂直于长轴所在直线时,a2b2(a2 y2b2 x 2 )(| PA | | PB |)min00a2.73椭圆焦三角形中 ,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.74椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线

25、长为定值a+c 与 a-c.76椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77椭圆焦三角形中 ,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率 ).(注 :在椭圆焦三角形中 ,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78椭圆焦三角形中 ,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.79椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80椭圆焦三角形中 ,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例 .81椭圆焦三角形中 ,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例 .82椭圆焦三角

26、形中 ,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线 ,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行 .83椭圆焦三角形中 ,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线 ,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长 .84椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85椭圆焦三角形中 ,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值 e.86椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.87椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,

27、则以两交点为直径的圆必过两焦点.x2y21(a 0, b 0)已 知 椭 圆 a2b289.(包括圆在内)上有一点 P ,过点 P 分别作直线yb xyb xx 轴于 M , N ，与 y 轴交于 R,Q ., O 为原点，则： （ 1）a及a的平行线，与|OM |2|ON |22a2 ；（ 2） | OQ |2|OR |22b2 .过平面上的 P 点作直线l1 : yb xl2 : yb xx 轴于 M , N ，交90.a及a 的平行线，分别交y 轴于 R,Q（.1）若 |OM |2|ON |22x2y21(a 0, b 0)的轨迹方程是 a2b22a，则 P.(2)x2y2若 |OQ |2|OR|22b2，则 P 的轨迹方程是 a2b21(a0, b0).x2y2点 P 为椭圆 a2b21(a 0, b 0)过 P 引91.(包括圆在内 )在第一象限的弧上任意一点，x轴、 y 轴的平行线，交yb x于 Q,R，记OMQ 与y 轴、 x 轴于 M , N