直线与方程(经典例题)

1、直线与方程知识点复习：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0度。因此，倾斜角的取值围是OWaV 180 （2）直线的斜率定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当在。0 ,90 时，k 0 ；90 ,180 时，k 0 ；90时，k不存过两点的直线的斜率公式:7(x1x2)x2x1X2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90 ；（3）以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求注意

2、下面四点：（1）当x1k与R、P2的顺序无关；得；（4）求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3 ）直线方程点斜式：y y1 k（x xj直线斜率k,且过点 冷 注意：当直线的斜率为0时，k=0,直线的方程是y=y1。当直线的斜率为 90。时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因上每一点的横坐标都等于X1,所以它的方程是X=X1。斜截式：ykx b ,直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：yy1x(x X2,y1 y2)直线两点X1, y1 , X2,y2y2y1X2X1截矩式：Xy 1ab其中直线I与:x轴交于点（a,0）,与y轴交于点(0,b),即 I与x轴、

3、y轴的截距分别为一般式：AxByC 0 (A, B不全为0)a,b 。注意：各式的适用围特殊的方程如:平行于x轴的直线：y b （ b为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行于y轴的直线:x a （ a为常数）；平行直线系平行于已知直线二)i)Ax B0 y C0A0x B0y C 0过定点的直线系 斜率为k的直线系：（A0,B。是不全为 0的常数）的直线系:（C为常数）y y。BC1(ii)过两条直线l1 : AX为 A,x E31y G Ax(6)两直线平行与垂直当 I1 : y k1X b1, I2 : yk?x b?时，I1 /12 ktk?, d b? ； 1

4、112& k?B2y C2X。，直线过定点 X0,y ；I2: Ax B?y C20的交点的直线系方程为参数），其中直线l2不在直线系中。注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 (7 )两条直线的交点i1 : A1x e y G 0l2 : A2XB2 yC20相交交点坐标即方程组A1xB1 y C10的一组解。A2XB2 y C20方程组无解i1/I2 ;方程组有无数解11与I 2重合(8) 两点间距离公式： 设A(N,yJ,(X2,y2)是平面直角坐标系中的两个点，则 |AB| . (X2xj2(丫2一)2(9) 点到直线距离公式：一点P xo.yo到直线h : Ax

5、 By C 0的距离d lAxByC4AB2(10) 两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。典型例题例1.已知直线过点P( -5，-4)，且与两坐标轴围成三角形面积为1 1b5,求直线I的方程。设直线的截距式方程为: 解：54则有a b訥55，b直线方程为8x5y 200或 2x5y 10 0例2 已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点R2，- 1)的直线I与线段AB有公共点.(1)求直线1的斜率的取值围.(2)求直线I的倾斜角的取值围.分析：如图1，为使直线I与线段AB有公共点，则直线I的倾斜角应介于直线PB的倾斜角与直线PA的倾斜角之间，所以，当I的倾

6、斜角小于90时，有k kPB ；当1的倾斜角大于90时，则有k kpA .AJ1 y解：如图1，有分析知、B4 ( 1)2 ( 1)kPA32 =_1,kpB3 2 = 3O丿xP( 1) k1 或 k 3 .3图1(2) arctan34 .说明：容易错误地写成-1 k 3，原因是或误以为正切函数在 ，上单调递增.1例3若三点A ( 2,3) , B (3, 2) , C (- , m)共线，求m的值.2分析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在.解答：由A、B、C三点共线，则kAB kAC .尸，解得m-2说明：由三点共线求其中参数m的方法很多，如两点间的距离公式，定比分点

7、坐标公式，面积公式等，但用斜率公式求m的方法最简便.例4.在直线3x y 1 0上求一点P,使点P到两点(1,1),( 2, 0)的距离相等。分析：(1)设P (x, y),则有y= 3x+ 1,故点P的坐标为(x, 3x + 1),由距离公式得 x的方程，解得x = 0。(2)设P (x, y),求出两点(1 , -1 ), ( 2 , 0)的中垂线方程为 x + y 1= 0,再解方 程组得P (0, 1 )。解法1:设P (x, y),则有y= 3x + 1故点P的坐标为(x , 3x+ 1)由距离公式得：x 1 2 3x 2 2 x 2 2 3x 1 2解之得：x = 0所求的点为P

8、(0 , 1)解法2 :设P (x , y),两点(1 , -1 ), (2 , 0)所连线段的中垂线方程为：x y 101又 3x y 102解由1、2组成的方程组得：P ( 0 , 1)练习:1.直线 ax by 1 (ab0)与两坐标轴围成的三角形的面积是(A.-abB.12ab1C. 2abD.12ab2. 过点A(4 , 1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是()A. x y 5B. x y 5C. x y 5或 x 4y 0 d. x y 5或 x 4y 03.已知直线Ax By C 0的横截距大于纵截距，则 a、B C应满足的条件是（A. A BC C 0CC0B. A v

9、BC.A BD. AB4.直线h : axy b 0， l2: bx y a 0 (ab）的图象只可能是下图中的（BCB5.直线2x y 70在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则a、b的值是（A.7，b 7a B.7，bc. a 2 ， b 7d. a 2，b 7arctan6.若直线I的倾斜角为12且过点（1，0），则直线I的方程为7.由已知条件求下列直线的斜截式方程。（1）直线经过点R 2，1、P2 0，3 ；（2） 直线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为3。8.设直线l的方程为2m 3 x2 m2m 1 y 6 2m 0，根据下列条件分别确定实数m的值。(1) I在x轴上的截距是

10、3 ；(2) 斜率是1。9.过点P(2，1)作直线I交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，当PA PB取最小值时，求直线I的方程。10.已知直线与坐标轴围成的三角形面积为 样的直线的条数。3, 且在x轴和y轴上的截距之和为5,求这kx 1与线段PQ相交，数k的围。11.已知点 P (-1 , 1)、Q (2, 2),直线 1 : y12已知 ABC中，A(1,3) , AB AC边上的中线所在直线方程分别为x 2y 1 0和y 10，求ABC各边所在直线方程.参考解题格式：9解：设直线l的方程为y kx 21(k0)分别令x o, y 0得:B 0, 1 2k , A - 2, 0 kPA PB21 2一22J - 2 20 1 J22k.k-/ kv 0,.当且仅当 k1时，PA PB取得最小值4故所求直线的方程为x y 311.解：直线l的纵截距为1直线过点M( 0, -1 )x 2y10上。由可设B Xb,1，进而由确定Xb值.解：设Bx , DXb，i则AB的中点Xb 1 ,22 ID在中线CDx 2yXb122解得Xb故耳5, 1)