人教版高中数学指数函数的图象及性质题目分类解析讲解

1、2.1.2 指数函数及其性质 指数函数的图象及性质 一、指数函数的概念 1.解析式：_. 2.自变量：_. 思考：指数函数的解析式具有的三个结构特征是什么？ 提示：(1)底数a为大于0且不等于1的常数. (2)指数位置是自变量 x，且x的系数是1. (3)a x的系数是1. y=a x(a0,且a1) x 【知识点拨】【知识点拨】 1.指数函数中规定 a0,且a1的原因 (1)如果a=0,当x0时，ax恒等于0；当x0时，ax无意义. (2)如果a0，且a1. 1 1 x, 2 4 ? x -2 -1 0 1 2 y=2x 1/4 1/2 1 2 4 y=3x 1/9 1/3 1 3 9 x

2、y3? 1 x y2? Y=1 x y o 1 2 3 -1 -2 -3 .32的图象和用描点法作函数 xx yy? x -2 -1 0 1 2 y=2-x 4 2 1 1/2 1/4 y=3-x 9 3 1 1/3 1/9 函函 数数 图图 象象 特特 征征 x y) 2 1 (? x y) 3 1 (? y 1 2 3 -1 -2 -3 .) 3 1 () 2 1 (的图象和用描点法作函数 xx yy? 2.指数函数的性质 定义域 _ 值域 _ 定点 _,即x=_时,y=_ 单调性 当0a1时,在R上是_ R (0,+) (0,1) 0 1 1 减函数 增函数 2.指数函数图象的变化趋势指

3、数函数图象的变化趋势 3.3.指数函数值的变化规律 (1)根据底数的不同指数函数的函数值有以下两类变化规律： 当a a1 1时，若x x0 0，则y y1 1； 若x0，则0y1. 当0a1时，若x0，则0y1； 若x0，则y1. (2)指数函数中函数值的“有界性”： 当a0,且a1时，对于任意 xR总有ax x0. 类型类型 一一 指数函数的概念 【典型例题】【典型例题】 1.下列函数中是指数函数的有 _(填序号填序号). (1)y=4 x；(2)y=x4；(3)y=4x； (4)y=(4)x；(5)y=4 x+1；(6)y=xx； (7)y= (8)y=(2a 1)x(a 且a1). 2.

4、若函数y=(a 2-5a+5)ax是指数函数，则实数 a=_. 2 x 4 ； 1 , 2 【解题探究】【解题探究】1.判断一个函数是不是指数函数的依据是什么？ 2.题2中根据指数函数的定义可知，实数 a应满足哪些条件？ 探究提示：探究提示： 1.判断一个函数是不是指数函数的依据是指数函数的解析式具 有的三个特征： (1)底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量 x. (2)指数位置是自变量 x，且x的系数是1. (3)a x的系数是1. 2.实数a应满足a2-5a+5=1,a 0且a1. 【解析】1.(1)(8)为指数函数. (2)不是指数函数 ,因为自变量不在指数上 . (3)不是指数

5、函数 ,因为4x的系数是-1. (4)不是指数函数 ,因为底数41， ? x 7.1 ? 函数函数y= 在在R R上是增函数，上是增函数， 5.2 7.1 3 7.1 而2.5y1y2 By2y1y3 Cy 1y2y3 Dy1y3y2 【思路点拨】 利用指数式的 运算化为同底 课堂互动讲练课堂互动讲练 【解析】 y140.921.8，y2 80.4421.32， 21.5,1.81.51.32. 根据指数函数的性质可得， y1y 3y2.故选D. y3 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1.5 【答案】 D 7.17.1 35 .2 法一法一: 图象法图象法 法二: 作商法 (两个指数式

6、的商与 1比较) 3 .03 .0 32 3 .03 .0 4 .07.0 ? 练习练习: ,) 3 5 . 2 ( 3 5 . 2 7 . 1 7 . 1 7 . 1 ? 7.17.17.1 35.2, 1) 6 5 (0 10,0) 6 5 ( ? ? 即 时的性质，当根据函数yxy x 1时，函数y=a x和y=(a-1)x2的图象只可能是 ( ) 【互动探究】【互动探究】 1.当a0,且a1时，函数 y=a x和y=x+a的图象只可能是 ( ) 【解析】【解析】选B.当a1时，函数y=ax的图象过点(0,1)，分布在 第一、二象限，且从左到右是上升的 . 直线y=x+a过第一、二、 三

7、象限，与y轴的交点为(0,a),在点(0,1)的上方. A，B，C， D四项均不符合此要求 .当0a1时，函数y=a x的图象过点 (0,1)，分布在第一、二象限，且从左到右是下降的 . 直线 y=x+a过第一、二、三象限 , 与y轴的交点为(0,a)，在点(0,1) 和点(0,0)之间.只有B项符合此要求. 2.2.图中的曲线是指数函数 y=ay=a x x的图象，已知 a a的值取 四个值，则相应的曲线 c1,c2,c3,c4的a的值依次为( ) A. B. C. D. 14 3 3, 10 3 5 413 , 3, 310 5 3 14 , 3, 5 103 13 4 , 3 10 5

8、3 4 3 1 3, 3 5 10 【解题探究】【解题探究】1.题1中指数函数的图象自左向右是上升的还是 下降的？二次函数图象的开口方向是向上还是向下？ 2.底数不同的指数函数的图象在第一象限内是如何分布的？ 3.指数函数的图象恒过哪个点？为什么？ 探究提示： 1.本题中a1,所以指数函数的图象自左向右是上升的；二次 函数y=(a-1)x 2图象的开口方向向上 . 2.(1)当a1时，指数函数的图象从左到右是上升的，当 0a 1时，指数函数的图象从左到右是下降的 . (2)在第一象限内，沿直线 x=1从下到上看，指数函数的底数 由小变大. 3.指数函数的图象恒过定点 (0,1).因为任何非负数

9、的零次幂 等于1，即a0=1. 【解析】1.选A.由a1知函数y=ax的图象过点(0,1)，分布在 第一和第二象限，且从左到右是上升的 . 由a1知函数y=(a1)x 2的图象开口向上，对称轴为 y轴，顶 点为原点. .综合分析可知选项 A正确. 2.选A. 因为直线x=1与函数y=a x的图象相交于点 (1,a). 又因为 所以曲线c1,c2,c3,c4的a的值依次为 134 013 1053 ， 413 ,3, . 310 5 3.当a0且a1时，总有 f(2)=a 223=a03=13=2， 所以函数f(x)=a x23必过定点(2，-2). 答案：(2，-2) 例 2 (1) 函数 y

10、 xa x |x| (0 a0 且 a 1)的图象经过第二、 三、 四象限，则a、 b 的取值范围是_ (3) 方程 2 x 2 x 的解的个数是_ 解 析 (1) 函 数 定 义 域 为 x|x R ， x 0 ， 且y xa x |x| ? ? ? ? ? a x ， x0 a x ， x0 时，函数是一个指数函数，因为0 a1 ， 所以函数在(0， )上是减函数；当x0 时，函数图象与指数 函数 y a x (x0,0 a1) 的图象关于 x 轴对称，函数在( ，0) 上是增函数，故填 . (2) 函数y a x b 1 的图象经过第二、三、四 象限，大致图象如图所以函数必为减函数 故

11、0 a1. 又当x 0 时， y0 ，即a 0 b 10 ， b0. (3) 方程的解可看作函数y 2 x 和 y 2 x 的 图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图 象 (如图 ) 由图象得只有一个交点，因此该方程只有一 个解 答案答案 (1) (2)0 a1 ， b0 时， e 2x 10 ，且随 着 x 的增大而增大，故 y 1 2 e 2x 1 1 且随着x 的增大而减 小，即函数y 在 (0， )上恒大于1 且单调递减又函数y 是奇函数，故 正确 (2) k 为何值时，方程|3 x 1| k 无解？有一解？有两解？ 解 函数y |3 x 1|的图象是由函数y 3 x 的图象向下平移一

12、个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到 的，函数图象如图所示 当 k0 时，直线y k 与函数y |3 x 1|的图象无交点，即方 程无解；当k 0 或 k 1 时，直线y k 与函数y |3 x 1|的 图象有惟一的交点，所以方程有一解； 当 0 k1和0a0 ，且 a 1) 的图 象可能是 ( ) 答案 D 解析解析 注意到当0 a0，且a1，若函数 f(x)=2a x-4在区间 -1，2上的最大值为 10，则a=_. 【解析】(1)若a1，则函数y=a x在区间-1，2上是递增的， 当x=2时，f(x)取得最大值f(2)=2a 2-4=10， 即a2=7,又a1，

13、a= (2)若0a0 且 a 1，函数y a 2x 2a x 1 在 1,1 上的最 大值是14 ，求 a 的值 换元令t a x， 利用二次函数和指数函数的单调性来研究函数 的单调性，构建方程获解 解 令 t a x (a0 且 a 1) ， 则原函数化为y (t 1) 2 2 ( t0) 当 0 a0 ，所以a 1 3 . 当 a1 时， x 1,1 ， t a x ? ? ? ? ? ? 1 a ， a ， 此时 f(t)在 ? ? ? ? ? ? 1 a ， a 上是增函数 所以 f(t)max f(a ) (a 1) 2 2 14 ， 解得 a 3( a 5 舍去 ) 综上得a 1

14、3 或 3. ? 5(2013安庆模拟)指数函数y(a21)x 在定义域内是减函数，则a的取值范围是 _ 【解析】【解析】 由题意知0 a 2 1 1， 1 a 2 2，即 1 a2或2 a 1. 【答案】【答案】 (2， 1) (1，2) (1)判断f(x)的奇偶性； (2)讨论f(x)的单调性； (3)当x1,1时，f(x)b恒成立，求b的取值范围 审题视点 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变 形；恒成立问题可通过求最值解决 考向五 指数函数与奇偶性 【例 3】 ? 已知 f(x) a a 2 1 (a x ax )(a0 且 a 1) 解 (1) 因为函数的定义域为R ，所以关于原

15、点对称 又因为f( x) a a 2 1(a x a x ) f(x)， 所以 f(x)为奇函数 (2)当当a1时，时，a210，yax为增函数，yax为减函数， 从而yaxax为增函数，所以f(x)为增函数 当当0a1时，时，a210，且a1时，f(x)在定义域内单调递增 (3)由由(2)知知f(x)在在R上是增函数，所以在区间1,1上为增上为增 函数，所以f(1)f(x)f(1)， 所以 f(x)min f( 1) a a 2 1(a 1 a) a a 2 11 a 2 a 1. 所以要使f(x) b 在 1,1 上恒成立，则只需b 1，故 b 的取 值范围是(，1 (14 分 )已知定义

16、域为R 的函数f(x) 2 x b 2 x1 a 是奇函数 (1) 求 a， b 的值； (2) 若对任意的t R，不等式f(t2 2t) f(2 t2 k)1 ，故3t2 2t k0. 12 分 上式对一切t R 均成立，从而判别式 4 12 k0 ， 解得 k 1 3 . 14分 方法二 由(1)知 f(x) 2 x1 2 x12 1 2 1 2 x 1 ， 由上式易知f(x)在 R 上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从 而不等式f(t 22t)f(2t2k)0 等价于 f(t 22t)2t2k. 12 分 即对一切t R 有 3t 22t k0， 从而 4 12 k0 ，解得k0在定义

17、域上恒成立 解解 (1)由于ax10，且ax1，所以x0. 函数f(x)的定义域为x|xR，且x0 【训练【训练3】 已知函数已知函数f(x) ? ? ? ? ? ? ? ? 1 a x 1 1 2 x 3 (a0 且 a 1) (2) 对于定义域内任意x，有 f( x) ? ? ? ? ? ? ? ? 1 a x 1 1 2 ( x) 3 ? ? ? ? ? ? ? ? a x 1 a x 1 2 ( x) 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 a x 1 1 2 ( x) 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 a x 1 1 2 x 3 f(x)， f(x)是偶函数 即当x0时，f(x)0. 又由(2)知f(x)为偶函数，