平面向量的应用举例精选课件

1、2.5 平面向量应用举例 一.复习: 1.平面向量数量积的含义: 2.平面向量数量积的运算律. ?a b| cosab (1) ?a abb (2)()()()?aaabbb (3)()?aabccb c 3.重要性质: (1) _.?ab | _.?a (2) _.?aa (3) | _|.?aabb 设a a 、b都是非零向量,则 0?ab 2 |a 2 a 2 a (4)?cos= ? | a b a b ab ? ? 为 ， 的夹角 /ab当且仅当时，等号成立 若设A(x 1,y1)、B(x2,y2),则 |AB|= |a |= 22 11 xy? ? 2 12 2 12 yyxx?

2、向量的长度(模) 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx ? ? ? ab a b cos? 向量的夹角 设a、b为两个向量,且a(x1，y1),b(x2，y 2) 1 21 2 xxyy? 向量数量积的坐标表示 a b? ? 向量平行和垂直的坐标表示向量平行和垂直的坐标表示 0 2121 ?yyxxba 1221 / /abx yx y? 设a、b为两个向量,且a(x1，y1),b(x2，y 2) 1.如图，在平行四边形 ABCD中，已知AB=2，AD=1，BD=2， 那么对角线AC的长是否确定？ A B C D ? ,. 2 等于什么向量等于什么 则设向量 DB AC

3、ABbADa? 3.AB=2，AD=1，BD=2，用向量语言怎样表述？ a b 需要解决什么问题？若求利用ACACAC,.4 2 2 ? 5.根据上述思路，你能推断平行四边形两条对角线的长度 与两条邻边的长度之间具有什么关系吗？ 用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 练习:用向量方法求证：直径所对的圆周角为直角。 已知:如图，AC为O的一条直径，ABC是

4、圆周角 求证： ABC=90 图图2.5-4 A O C B 利用向量的数量积 可解决长度、角度、垂 直等问题 理论迁移理论迁移 1.三角形的三条高线具有什么位置关系？ 交于一点 ? BAPC,PA.2 可转化为什么向量关系 那么设向量?cPCbPBa A B C D E F P a b c ? ? 3.对于PABC,PBAC,用向 量观点可分别转化为什么结 论? 4.如何利用向量观点 证明PCBA? 练习: ABCD中，点E、F分别是边AD、DC边的中 点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现 AR、RT、TC之间的关系吗？ A B CD E F R T 1,建立平面几何与向量的联系

5、，用 向量表示问题中的几何元素，将 平面几何问题转化为向量问题； 2,通过向量运算，研究几何元素之 间的关系； 3,把运算结果翻译成几何关系 . 向量是从物理学中抽象出来的数学概念，在物 理中，通常被称为矢量！在物理学，工程技术 中有广泛的应用，因此，我们要明确掌握用向 量研究物理问题的相关知识！ 1. 向量既是有大小又有方向的量，物理学中， 力、速度、加速度、位移等都是向量！ 2. 力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的 加减法，运动的叠加也用到向量的合成！ 3. 功的定义即是F与所产生位移S的数量积 例题 例1：同一平面内，互成 的三个大小相 等的共点力的合力为零。 B O 120o a

6、 b c D C A 证：如图，用a，b，c表示这3个共点 力，且a，b，c互成120，模相等 按照向量的加法运算法则，有： a +b +c = a + （b +c）=a +OD 又由三角形的知识知：三角形 OBD为 等边三角形，故 a与OD共线且模相等 0 120 ,0ODaabc? ?所以：即有： 例例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个：在生活中，你是否有这样的经验：两个 人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠 上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你 能从数学的角度解释这个现象吗？能从数学的角度解释这个

7、现象吗？ 分析：分析：上述的问题跟如图所示的 是同个问题，抽象为数学模型如 下： F2 F1 F G 用向量F 1，F2，表示两个提力，它们 的合向量为F，物体的重力用向量 G 来表示， F 1，F2的夹角为，如右图 所示，只要分清F，G和三者的关系， 就得到了问题得数学解释！ F1 F G F2 cos 2 探究： （1）为何值时， 最小，最小值是多少？ F1 （2） 能等于 吗？为什么？ F1 G F1 解：不妨设 = ，由向量的 平行四 边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识， 可以知道： = （*） 通过上面的式子，有：当由0o到180o逐渐变 大时， 由0o到90o逐渐变大， 的值由

8、大逐 渐变小，因此 ： 由小逐渐变大，即F1 ，F2之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省力！ F2 F1 G cos 2 2 cos 2 2 F1 答：在（*）式中，当 =0o时， 最大， 最小且等于 cos 2 F1 G 2 答：在（*）中，当 = 即=120o时， = cos 2 1 2 F1 G F2 小结：小结： （1）为了能用数学描述这个问题，我们要先）为了能用数学描述这个问题，我们要先 把这一物理问题转化成数学问题。如上题目，把这一物理问题转化成数学问题。如上题目， 只考虑绳子和物体的受力平衡，画出相关图形！只考虑绳子和物体的受力平衡，画出相关图形！ （2）由物理中的矢量问题化成数

9、学中的向量 问题，用向量的有关法则解决问题！问题，用向量的有关法则解决问题！ （3）用数学的结果解决物理问题，回答相关）用数学的结果解决物理问题，回答相关 的物理现象。的物理现象。 例例3：如图，一条河流的两岸平行，河的宽度d = 500m，一，一 艘船从A处出发到河对岸。已知船的速度 =10km/h，水流 的速度 = 2km/h。 （1）行驶航程最短时，所用的时间是多少？ （2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？ v1 v2 分析：（1）因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所 以只有当小船的实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸的 方向时，小船的航程最小。 500m A （2）小船

10、过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河 岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上 的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸 方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船 垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小 船过河所用时间才最短。 把物理问题转化为数学模型为： 解（1） = = 所以 t = = 60 答：行驶的航程最短时，所用的时间 是3.1min。 v - v1 2 v2 2 96 d v 0.5 96 3.1（min） （2） t = = 60 = 3 （min） 答：行驶的时间最短时，所用的时间是3min d v1 0.

11、5 10 （1） A B v1 v2 v （2） v2 v1 v km/h 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 3分，共分，共1515分）分） 1.1.已知| |=2| |,| |=2| |, 且| |0且关于 x x的方程x x2 2+| |x-+| |x- =0 =0有两相等实根，则向量有两相等实根，则向量 与与 的夹角是（的夹角是（ ） （A A）- - （B B）- - （C C） （D D） 【解析】选D.由已知可得=| | 2+4 =0， 即4| | 2+4 +4|2 | |cos=0, cos=- ,= . a b a b ab a b 6 ? 3 ? 3 ?2 3 ? b

12、 ba b a b 2 3 ? 2 1 2.2.如图，已知正六边形 P P1P P2P P3P P4P P5P P6，下列向量的数量积中最 大的是 （ ） 【解析】【解析】选A.利用数量积的几何意义，向量 、 、 、 中， 在向量 方向上的投影最大，故 最大. 1 3 PP 14 PP 1 5 PP 16 PP 1 3 PP 12 PP 12 PP 1 3 PP CBPAPB 3.3.已知已知P P是是ABCABC所在平面内的一点所在平面内的一点 , ,若若 = = + , + ,其其 中中R,R,则点则点P一定在（一定在（ ） （A A）ACAC边所在的直线上边所在的直线上 （B B）BCB

13、C边所在的直线上边所在的直线上 （C C）ABAB边所在的直线上边所在的直线上 （D D）ABCABC的内部的内部 【解析】选A. A. C、P、A三点共线,P在 ACAC边所在的直线上 . 4.4.（20102010广州模拟）已知非零向量广州模拟）已知非零向量 , , 和和 满足 则ABCABC为（ ） （A A）等边三角形 （B B）等腰非直角三角形 （C C）非等腰三角形 （D D）等腰直角三角形 BCAC AB 【解析】选A. 表示的是 BAC的平分线上的 一个向量，又与 的数量积等于 0，故BC与A的平分线垂 直，ABC是等腰三角形 . 又 ,即cosBCA= , BCA= , AB

14、C是等边三角形 . BC 2 1 3 ? 5.5.已知a,b,c分别为ABCABC的三个内角A,B,CA,B,C的对边, ,向量 =(2cosC-1,-2), =(cosC,cosC+1), 若 ,且a+b=10,则 ABC周长的最小值为（ ） （A A）10-5 （B B）10+5 （C C）10-2 （D D）10+2 mn m n 3 3 33 【解析】选B.由 (2cosC-1) cosC-2(cosC+1)=0, 解得cosC=- . 又由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC=(a+b) 2- 2ab-2abcosC=100-2ab-2ab (- ), c= =5 (当且仅当

15、a=b=5时取等 号),所以ABC的周长C10+5 . mn? 2 1 2 1 100ab? 2 100() 2 ab? ?3 3 ab ab 3 ? 3 ? 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 3分，共分，共9 9分）分） 6.6.（20102010泉州模拟）已知向量泉州模拟）已知向量 =(cos =(cos,sin), =(cos(=(cos(+ ),sin(+ ),sin(+ ),+ ),则则| - |=_. | - |=_. 【解析】 答案:1 OAOC OBOCOB 7.7.若O O为ABCABC所在平面内一点，且满足 ( - ( - )( + -2 )=0, 则ABC的形状为

16、_. 【解析】由已知 ABCABC为等腰三角形 . 答案:等腰三角形 8.8.（2010聊城模拟）给出以下四个命题： 对任意两个向量 , , 都有| |=| | |； 若 , , 是两个不共线的向量，且 = , = , 则A A、B B、C C 12=-1=-1； 若向量 =(cos =(cos,sin), =(cos ,sin),),则 + 与 - 的夹角为90； 若向量 、 满足| |=3,| |=4,| + |= ,| |=3,| |=4,| + |= , 则 , , 的夹角为6060. . 以上命题中，错误命题的序号是 _. ab a b abab ab ? ab a b a b ab

17、 a b ab13 【解析】错, 错，A、B、C共线， =k , 1=k 2k=1, 12=1. 答案: ABAC 变式训练 (2010年 高一统考) 河水的流速为2 m/s，一艘小 船想以垂直于河岸方向8 m/s的速度驶向对岸， 则小船的静水速度大小为( ) v1 v2 2 v A A B D A 10 m/s B 6 m/s C 2 15 m/s D 2 17 m/s 2、人骑自行车的速度为V1，风速为V2，则逆风行 驶的速度大小为（ ） 12 AV -V、 12 BVV?、 12 C VV?、 1 2 V V D、 C 1、ABC中，已知 则ABC的形状是（ ） A、等腰三角形 B、正三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形 AB = AC =4ABAC=8?，且 拓展训练： B 3.平行四边形ABCD中，若 则下列判断正确的是( ) A四边形ABCD是矩形 B四边形ABCD是正方形 C四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形 D四边形ABCD是邻边不垂直的菱形 AB+AD = AB-AD A 4、已知作用于原点的两个力