空间的距离 课件

1、第五节第五节空间的距离空间的距离 ? 1两点间的距离连结两点的_ 的长 度 ? 2点到直线的距离从直线外一点 向直 线引垂线，_的长度 ? 3点到平面的距离从点向平面引 垂线， _的长度 线段线段 点到垂足间线段点到垂足间线段 点到垂足间线段点到垂足间线段 ? 4平行直线间的距离从两条平行 线中 一条上任意取一点向另一条直线引垂线， _的长度 ? 5异面直线间的距离两条异面直 线的 公垂线夹在这两条异面直线间的_ 的长度 这点到垂足间线段这点到垂足间线段 线段线段 ? 6直线与平面间的距离如果一条 直线 和一个平面平行，从直线上任意一点向 平面 引垂线，_的长 度 ? 7两平行平面间的距离夹在

2、两个 平面之 间的_的长度 这点到垂足间线段这点到垂足间线段 公垂线段公垂线段 1 已知直角三角形 EFG 的直角顶点 E 在平 面 内，斜边FG，且FG6 cm ，EF、 EG和分别成30 和 45 角，则 FG 到 的 距离为( ) A. 5 cm B. 6 cm C2 3 cm D2 6 cm 【解析】【解析】 设 FG 到 的距离为x， 则有(2 x)2 ( 2 x)26 2 ，x 6. 【答案】 B 2 ABCD是边长为 2的正方形，以BD为棱 把它折成直二面角 ABDC，E 是 CD 的 中点，则异面直线 AE、BC的距离为( ) A. 2 B. 3 C. 3 2 D1 大家有疑问

3、的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流 可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点 ? 【解析】易证CE是异面直线AE与 BC的公垂线段，其长为所求易证 CE1.故选D. ? 【答案】D ? 3已知平面外不共线的三点A，B， C到的距离都相等，则正确的结论是 () ? A平面ABC必平行于 ? B平面ABC必不垂直于 ? C平面ABC必与相交 ? D存在ABC的一条中位线平行于 或在内 ? 【解析】平面ABC可以与平行， 相交(包括垂直)，故排除A、B、C， 选择D. ? 4已知PA平面ABC，ABAC 13，BC10，PA5，则点P到直线 BC的距离为_ ? 【解析】取BC

4、的中点D，连接AD， PD， ? ABAC，ADBC， ? 又PA平面ABC.PDBC. ? PD的长即为点P到直线BC的距离 ? 【答案】13 5 已知长方体 ABCDA 1 B1C1D1中， 棱AA 1 5， AB12 ， 那么直线 B1C1和平面A 1 BCD 1 的距离是_ 【解析】 由长方体知，面 A 1 BCD 1面 A 1 ABB 1，作 B1HA 1 B 于 H，则B1H面 A 1 BCD 1， B1H 长为 B1C1到面A 1 BCD 1距离 【答案】 60 13 (2008 年安徽高考)如图，在四 棱锥OABCD中， 底面ABCD 是边长为 1的菱形，ABC 4 ，OA底面

5、 ABCD ，OA2， M为OA的中点 点到平面的距离 ? (1)求异面直线AB与MD所成角的大小； ? (2)求点B到平面OCD的距离 ? 【思路点拨】第(1)问MDC即为 所求，可放在某三角形中去求，第 (2)问转化为点A到平面OCD的距 离 【自主解答】【自主解答】 方法一：(1)如图，CDAB， MDC为异面直线 AB与MD所成的角(或其 补角) 作 AP CD于点 P，连结MP. OA平面 ABCD ， CDMP. ADP 4 ，DP 2 2 . MD MA 2 AD 2 2 ， cosMDP DP MD 1 2 . MDCMDP 3 . AB与 MD所成角的大小为 3 . (2)

6、AB平面 OCD，点B 和点 A 到平面 OCD的距离相等， 连接OP， 过点A作AQOP 于点 Q. APCD，OACD，CD平面 OAP . AQ? 平面 OAP ，AQCD. 又AQOP，AQ平面 OCD，线段AQ 的长就是点 A到平面OCD的距离 OP OD 2 DP 2 OA 2 AD 2 DP 2 41 1 2 3 2 2 ，APDP 2 2 ， AQOAAP OP 2 2 2 3 2 2 2 3 . 点 B到平面OCD的距离为 2 3 . 方法二：作 APCD于点P.如图，分别以AB、 AP、AO所在直线为x、y、z轴建立平面直角坐 标系 A(0,0,0) ，B(1,0,0)，

7、P ? ? ? ? ? ? ? ? 0， 2 2 ， 0 ， D ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ， 2 2 ， 0 ， O(0,0,2) ， M(0,0,1) (1) 设 AB与MD所成角为， AB (1,0,0)， MD ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ， 2 2 ， 1， cos |AB MD | |AB |MD | 1 2 . 3 . AB与 MD所成角的大小为 3 . (2) OP ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ， 2 2 ，2， OD ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ， 2 2 ， 2， 设平面 OCD的法向量为n(x，y，z)，则 nOP 0，nOD

8、 0. 得 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 y2 z0 ， 2 2 x 2 2 y2 z0. 取 z2 ，解得 n(0,4 ， 2) 设点 B 到平 面 OCD的距离为d，则d为OB 在向量 n上 的投影的绝对值 OB (1,0，2)，d|OB n| |n| 2 3 . 点 B 到平面 OCD的距离为 2 3 . ? 求点P到平面的距离的常用方法 ? (1)定义法：过点P向平面引垂线， 找到垂足A，则PA的长即为点P到平 面的距离，这时常用解直角三角形 解决问题； ? (2)转化法：常用的转化法有下列几种： ? 当过点作平面的垂线的垂足位置难 确定时，可以化为三棱锥的高，采用 等体积法解决

9、问题基本方法是：对 三棱锥“换顶点”计算两次，解方程 求得点到平面的距离(即三棱锥的 高) ? 如果直线l是过点P且与平面平行 的一条直线，则直线l上任意一点到平 面的距离均等于点P到平面的距 离 若线段 PM与平面交于A且点A恰为PM 的中点，则点 M到平面的距离等于点P到 平面 的距离 (3) 向量法：设 Q，n是的一个法向量， 则点 P到平面的距离：d|PQ n| |n| . ? 教师选讲在棱长为1的正方体 ABCDABCD中， ? (1)求点A到平面BD的距离； ? (2)求点A到平面ABD的距离； ? (3)求平面ABD与平面BCD的距离； ? (4)求直线AB与平面CDAB的距离

10、【解析】【解析】 (1)连AC、BD 交于 O， AOBD，又AODD， AO平面 BD. AO的长即为所求， AO1 2 AC 2 2 . (2)方法一： 易知平面AACC平面 ABD，在矩形AACC 中，易知 ACOA， 设 AEAO 于E ， AE 平 面 ABD. AE为所求，AE1 3 AC 3 3 . 方法二： 用等体积法 VA ABDVDAAB. (3) 易知 AC平面ABD，AC平面 BCD， 设直线AC分别交平面ABD、 平面 BCD于点E、F，则EF 的长为平面 ABD与平面BCD的距离，于是EF 1 3 AC 3 3 . (4) 因为直线 AB平面CDAB， 点 B 到平

11、面 CDAB的距离BG 就是所 求的距离(G是 BC与BC 的交点， BGBC，BGCD，直线BG平面 ABCD)，此距离为BG1 2 BC 2 2 . 两个平行平面间的距离 如图所示， 已知 ABC A 1 B1C1是正 三棱柱，E、E1分别 AC和 A 1 C1 的中点 (1) 求证： 平面 AB 1 E1平面BEC 1； (2) 当该棱柱各棱长都为 a时， 求(1)中两个平行平面间的距离 【思路点拨】【思路点拨】 证 BE平面AB 1 E1，EC1 平面 AB 1 E1证明平面AB 1 E1平面BEC 1 找到两个平行平面的公垂线解三角形 或者转化为点到平面的距离用等体积法解 决 【自自

12、主主解解答答】 (1)因为在正三棱柱 ABCA 1B1 C1中E、E1分别是AC和A 1C1 的中点，所以 AE綊C1E1， 所以 AEC 1 E1是平行四边形， 所以 EC1AE 1 . 又因为 AE 1? 平面 AB 1 E1， EC1?平面AB 1 E1， 所以 EC1平面AB 1 E1. 连结 E1E， 因为EE1綊CC1，CC1綊BB 1， 所以 EE1綊BB 1， 所以 BB 1 E1E 为平行四边形， 所以 BEB1E1. 又因为 B1E1? 平面AB 1 E1， BE?平面 AB 1 E1， 所以 BE平面AB 1 E1. 又 BEEC1E， 所以平面 AB 1 E1平面BEC

13、1. (2) 取 CC1的中点F， 连结 A 1 F 分别交 AE 1，EC1于 M，N. 因为各棱长都为 a， 所以 ACC 1 A 1为正方形， 所以 A 1 FEC1，A 1 FAE 1 . 因为 E 为 AC中点，所以BEAC. 又因为平面 ABC平面ACC 1 A 1， 所以 BE平面ACC 1A1，所以 BEA 1 F. 又因为 EC1BEE，EC1? ? 平面BEC 1， BE? 平面 BEC1， 所以 A 1 F平面BEC1. 又平面 BEC 1平面 AB 1 E1， 所以 A 1 F平面AB 1 E1， 所以 A 1 F 为平面 AB 1 E1和平面BEC 1的公垂 线， M

14、N为这两个平面的公垂线段，求得MN 5 5 a. 所以平面 AB 1 E1与平面BEC1的距离为 5 5 a. ? 两个平行平面的距离一般转化为求点 到平面的距离，然后再用求点到平面 距离的方法 ? 面面平行问题常常转化为线面平行问 题，而线面平行又可转化为线线平行， 或者利用垂直于同一直线的两个平面 平行所以要注意转化思想的应用， 在求两个平行平面间的距离时若公垂 线不好找，可转化为求点到平面的距 离 1 如如 图图 所所 示示 ， 在在 正正 方方 体体 ABCD A 1 B 1 C1D 1中， 中， 棱长为棱长为 a. (1)求 求证证：平平面面 AB 1 D 1 平平面面 C1BD；

15、； (2) 求平面求平面 AB 1 D1和平面和平面C1BD 间的距离间的距离 【解析】【解析】 (1) 证明：证明：ABCD A1B1C1D1是 正方体，B1D1BD. BD? 平面 C1BD，B 1 D 1平面 C1BD.同 理 D 1 A平面C1BD.B1D 1和 D 1 A 是平面 AB 1 D 1内的两条相交直线， 平面 AB 1 D1平 面 C1BD. (2) 连结 A 1 C，设M、N 分别是 A 1 C 和平面 AB 1 D1、C1BD 的交点A1C在平面 ABCD 内的射影 ACBD，A 1 CBD. 同理 A 1 CBC1，A 1 C平面C1BD.于是 A 1 C平面AB

16、1 D1.因此MN的长是两平行平 面 AB 1 D1和平面C1BD间的距离 在平面 A 1 ACC 1 中，AA 1CC1a，AC A 1 C12 a，A 1 C3 a. 设平面 AB 1 D1和平面A 1 ACC 1交于 AP(P 为 B1D1的中点)，则MAP，设平面C1BD 和 平面 A 1 ACC 1交于 C1Q(Q 为 BD的中点)，则 NC1Q，且APC1Q. 由平面几何知识知 M、N为A 1 C 的两个三等 分点，MN 3 3 a. 两点之间的距离、点线距离 如图所示，AB是异面直线 a、b的公垂线段，AB4 ， a、b 成 60 角，在 a 上取 P 点使 AP8 ， 求点 P

17、到b的 距离 ? 【思路点拨】平移确定a，b所成角， 作垂线由三垂线定理确定所求距离 【解析】 如图所示，过 B作直线ca， 再过 P作PHc于H 点， 再过 H 作 HMb 于 M 点，则HBM为异面直线 a和b所成 的角， 即HBM60，并且 PHAB4 ， PHAB，BHAP8 ， ABa，ac，ABc. 又 PHAB，PHc. 又ABb，ABPH， PHb. 又HMb， 根据三垂线定理，知 PMb. 线段 PM长即为所求 在 RtBMH中，HMBHsinMBH8sin 60 4 3， 在RtPHM 中 ， PM PH 2 HM 2 4 2 (4 3) 2 8，从而点 P 到 b的距离等

18、于8. ? 求点到直线的距离，往往通过面面垂 直的性质得线面垂直，然后利用三垂 线定理(及逆定理)作出点到直线的垂 线，再计算出垂线段的长度即为所 求 2 如图所示，已知四边形 ABCD 是正 方形，PD平面 ABCD ，若 ABa，PD a，求： (1) P到正方形各顶点的距离； (2) P到正方形各边的距离； (3) P到两条对角线的距离 【解析】 (1) P到各顶点的距离分别为PA 、 PB、PC、PD的长 PD平面 ABCD ，PDAD，PDDC， PDBD， PAD、PCD、PBD是直角三角形 PDa，ABa，ABCD为正方形， PA 2 a，PB3 a，PC2 a，PDa. (2)

19、 由图形易知 P 到 AD、CD 的距离都是 PD a. P到BC的距离为PC，即为2 a， P到AB的距离为PA ，即为 2 a. (3) ACBD，DOAC. 又PD平面 ABCD ，AC? 平面 ABCD ， PDAC，POAC. 故 PO的长就是P到对角线AC的距离 POa 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 a 2 6 2 a. 而 P 到对角线 BD的距离为PD的长， PDa， 故 P 到对角线 BD 的距离为 a，到AC 的距离为 6 2 a. (12分 分)设设 ABCA 1B1 C1为直三棱为直三棱 柱， AA 11 cm， AB 4 cm， BC 3 cm， ABC

20、 90 ，设过，设过 A 1、 、B、C1的平面与平面 ABC的 的 交线为 l. (1) 判断直线 A 1 C1与与l的位置关系，并加以证的位置关系，并加以证 明； (2) 求点 A 1到直线 l 的距离； (3) 求点 A到平面A 1BC1的距离； (4) 作作 CH BC1，垂足为 H，求异面直线AB 与与 CH 之间的距离之间的距离 【思路点拨】【思路点拨】 (1) 利用线面平行的性质定理利用线面平行的性质定理 可知 A 1C1l； (2) 点 A 1 到 l 的距离可借助三垂线定理来寻 求； (3) 关键是找出点 A到平面A 1 BC 1的距离，注 意运用图形中垂直关系，特别是面面垂

21、直的 关系； (4) 关键是找出异面直线 AB与CH 的公垂线 段 【规范解答】【规范解答】 (1)A1C1 l.1分 A1C1平面 ABC，A 1 C1? 平面 A 1 C1B，平面A 1 C1B平面ABC l， A1C1l.3分 (2) 如图所示，作 ADl，垂足为 D，连结A 1 D. A1A平面ABC，A1Dl， A1D为所求.4分 又 l AC， 而 B到AC距离等于 3 4 5 12 5 (cm) AD12 5 (cm) 在 Rt A1AD中，A1D1 2 ( 12 5 )213 5 (cm) ， 点 A 1到直线 l 的距离为 13 5 cm.6 分 (3) 由由(2)知知 l平

22、面AA 1 D， ，l? ? 平面 A 1 C1B， ， 则平面 A 1 AD平面A 1 BC1，引AGA 1 D，垂 足为 G. AG平面 A 1 BC1.7分 分 AG 1 12 5 13 5 12 13 (cm) 9分 分 A到平面到平面 A 1 BC1的距离为 12 13 cm. (4) ABBC，而 BC为BC 1在平面 在平面 ABC上 射影，ABBC1. 又CHBC1，AB与 CH 的公垂线段是 BH.10分 CH 3 1 3 2 1 2 3 10 10 (cm) BH BC 2 CH2 3 2 9 10 9 10 10 (cm) AB与 CH 之间距离为 9 10 10 cm.

23、12 分 ? 求异面直线的距离有以下几种方法： ? (1)定义法：一般应先找出两异面直线 的公垂线段，再通过解三角形求解 ? (2)转化法：若不能直接找出公垂线， 则可考虑用线面平行法或面面平行法 转化成求直线和平面的距离或平行平 面的距离 (3) 函数极值法：依据两条异面直线的距离是分别在函数极值法：依据两条异面直线的距离是分别在 两条异面直线上的两点距离中的最小值两条异面直线上的两点距离中的最小值 求空间的距离时，都是通过作辅助线、辅助面等方 法将空间问题转化为平面问题来解决的本例中通 过辅助面 A 1AD， 将点 A 1到 到 l的距离及A到面A 1BC1 的距离转化为求 A 1D和和

24、AG两线段的长当然，点 A 1到到 l 的距离也可转化为点的距离也可转化为点 B到 到 A 1C1的距离， 点点 A 到面A1BC1的距离也可转化为点的距离也可转化为点B1到面A1BC1的距 离， 进而将问题放在三角形内求解或用间接法求解进而将问题放在三角形内求解或用间接法求解 1 (2009年全国)已知二面角 l为 60 ，动点 P、Q分别在面、内，P到 的距离为 3 ，Q到 的距离为2 3 ，则 P、 Q两点之间距离的最小值为( ) A. 2 B2 C2 3 D4 【解析】【解析】 如图，PB、QD分别 垂直于平面 、，B、D为垂足， 过 B、D作BA、DC与两平面的 交线垂直，连结 PB

25、、QD，易求 得 PA 2，CQ4， |PQ |( PO 2 )( (PA AC CQ ) 2 ) ( PA 2 AC 2 CQ 2 2 PA CQ ) ( 20 AC 2 224cos 120 )2 3. 故选 C. 【答案】 C 2 (2009年湖南)正方体 ABCD A 1 B1C1D1 的棱上到异面直线的棱上到异面直线 AB、 、 CC1的距离相等的点 的距离相等的点 的个数为的个数为( ) A 2 B3 C 4 D5 【解析】【解析】 画图分析只有四个点满足题设， 它们是 BC的中点N、A 1 D1的中点M、顶点 D和顶点B1. 【答案】 C 3 (2009年 年 北北 京京 ) 若

26、若 正正 四四 棱棱 柱柱 ABCD A 1 B1C1D1的底面边长为的底面边长为1，AB 1与底 面面 ABCD成 成 60 角，则角，则A1C1到底面 ABCD的 的 距离为( ) A. 3 3 B 1 C. 2 D. 3 【解解析析】 依题可知B1AB60，平面 A 1 B1C1D 1 平 面 ABCD，A 1 C1?平 面 A 1 B1C1D1， B1B即为所求距离，在ABB 1中，得 B 1 B 3. 故选 D. 【答案】D ? 教师选讲(2009年江西)如图所示， 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是 矩形，PA平面ABCD，PAAD4， AB2.以BD的中点O为球心、BD为 直径

27、的球面交PD于点M. (1)求证： 平面ABM平面 PCD； (2) 求直线 PC与平面ABM所 成的角； (3) 求点 O 到平面 ABM 的距 离 【解析】【解析】 方法一：(1)证明：依题设，M在 以 BD 为直径的球面上，则 BMPD.因为 PA 平面 ABCD ，则 PA AB. 又 ABAD， 所 以AB 平 面PAD， 则 ABPD，因此有PD平面ABM， 所以平面 ABM平面PCD. (2)设平面ABM 与 PC 交于点 N，因为 ABCD ， 所 以 AB 平 面PCD ， 则 ABMNCD，由(1) 知，PD平面 ABM， 则 MN 是 PN 在平面 ABM 上的射影，所以 PNM就是