第2章 高斯定理

1、第七章 7-3 静电场的高斯定理 第二节第二节 第四章第四章 基本内容： 一、电场线 二、电场强度通量 三、高斯定理 4.2 静电场的高斯定理 第七章 7-3 静电场的高斯定理 一. 电场线 1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向 , 2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线的条 数为该点电场强度的大小 . 规定 E ? S E ? c E ? b c a E ? b E ? a 第二节第二节 第四章第四章 第七章 7-3 静电场的高斯定理 点电荷的电场线 正 点 电 荷 + 负 点 电 荷 第二节 第四章 第七章 7-3 静电场的高斯定理 一对等量异号点电荷的电场线 + 第二节第二节 第四章

2、第四章 第七章 7-3 静电场的高斯定理 一对等量正点电荷的电场线 + + 第二节第二节 第四章第四章 第七章 7-3 静电场的高斯定理 一对不等量异号点电荷的电场线 q?q2 第二节第二节 第四章第四章 第七章 7-3 静电场的高斯定理 带电平行板电容器的电场线 + + + + + + + + + + + + 第二节第二节 第四章第四章 第七章 7-3 静电场的高斯定理 电场线的特点 1） 始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远,去 向无穷远)，不会在没有电荷处中断 . 2） 电场线不相交. 3） 静电场电场线不闭合 . 4) 电场线不仅能够表示电场强度的方向，而且 电场线在空间的密度分布还能

3、表示电场强度的大小。 第二节 第四章 第七章 7-3 静电场的高斯定理 E ? S 二. 电场强度通量(electric flux) 通过电场中某一个 任意面的电场线的条数叫做通 过这个面的电场强度通量 e. 均匀电场 ， 垂直平面 E ? ES ? e ?cos e ES ? 均匀电场， 与平面夹角 E ? ? ? n e ? ? SE , e ? SS en ? ? E ? S 第二节 第四章 第七章 7-3 静电场的高斯定理 E ? E ? 非均匀电场强度电通量 ? ? s SEdcosd ee ? ? ? s SE ? d e SE ? dd e ? n e ? SdSd? ? 为封闭

4、曲面 S S ? d E ? ? n e ? 1 dS ? 2 dS ? 2 ? 2 E ? 1 ? 1 E ? 第二节 第四章 0 2 2 ? e2 d, ? 0 2 0 1 ? e1 d, ? 第七章 7-3 静电场的高斯定理 ? ? SS SESEdcosd e ? ? 闭合曲面的电场强度通量 SE ? dd e ? E ? S ? d ? E ? S 规定 1. 规定闭合曲面法线方向:向外为正！ 2.即如果电场线从闭合曲面内向外穿出，则电通量 为正；反之，电通量为负 ; 第二节 第四章 电通量是一个 标量，可正可负 第七章 7-3 静电场的高斯定理 , 0?sdEd e ? ? , 0

5、?sdEd e ? ? 左半球:电力线穿入, e为负 右半球:电力线穿出, e为正 S S ? E dS ? dS ? 第二节第二节 第四章第四章 第七章 7-3 静电场的高斯定理 三. 高斯定理 第二节 第四章 高斯定理：是关于电场线、电荷分布、空间 曲面三者之间的关系； 高斯定理的导出 高斯 定理 库仑定律 电场强度叠加原理 第七章 7-3 静电场的高斯定理 + S ? d 点电荷位于球面中心 2 0 4r q E ? ? ? ? SS S r q SEd 4 d 2 0 e ? ? 0 e ? q ? r 第二节 第四章 对以点电荷q为中心的任意球面来说，通过 它们的电通量都等于q/?0

6、 第七章 7-3 静电场的高斯定理 + 点电荷在任意封闭曲面内点电荷在任意封闭曲面内 ? ? cosd 4 d 2 0 e S r q ? S ? d S ? d 第二节 第四章 通过任意形状的包围点电 荷q的闭合面的电通量等于 q/?0 任取两个球面，一 个包围曲面，另一 个在曲面内：则两 个球面的电通量都 为q/?0 + S S ?由电场线的性质 可知，通过 球面 S 的电场线必定全部 通过闭合面S，因此 ，通过任意形状的 包围点电荷q的闭合 面的电通量都等于 q/0 第七章 7-3 静电场的高斯定理 q 点电荷在封闭曲面之外 2 dS ? 2 E ? 0dd 111 ?SE ? 0dd

7、222 ?SE ? 0dd 21 ? 0d? ? S e SE ? 1 dS ? 1 E ? 第二节 第四章 如果闭合面S不包围点电荷q,则由电场线的连续 性可知，由一侧进入 S的电场线条数一定等于从另一侧 穿出S的电场线条数，那么净穿出闭合面 S的电场线总 条数为零，也即通过 S面的电通量为零。 第七章 7-3 静电场的高斯定理 由点电荷系产生的电场由点电荷系产生的电场 i i EEEE qqq ? ? ? ? 21 21 ., ? ? S i i S SESE ? dd e ? ? ? ? ? （外）内）i S i i S i SESE ? dd ( ? ? 内）（内）( 0 e 1 d

8、i i i S i qSE ? ? S ? d E ? 1 q i q 2 q s 0d? ? ? （外）i S i SE ? ? 第二节第二节 第四章第四章 第七章 7-3 静电场的高斯定理 ? ? ? n i i S qSE 1 0 e 1 d ? ? 高斯定理的数学表达式： 第二节 第四章 高斯定理的含义： 在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度通 量,等于该曲面所包围的所有电荷电量的代 数和的1/?0倍。 （与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面） 第七章第七章 7-3 静电场的高斯定理 第二节第二节 第四章第四章 ? ? ? n i i S qSE 1 0 e 1 d ? ? 高斯定理的数

9、学表达式： 积分中的E是曲面上各点的场强,它是空间全部电荷(曲面内 外)共同产生的. 总通量只决定于曲面内电荷,曲面外部的电荷对总通量没有 贡献; 闭合曲面内电荷的代数和为零,只说明通过闭合曲面的电通 量为零,曲面上各点的电场强度不一定为零; 高斯面为封闭曲面.静电场是有源场. q0, e0, 说明电场线从封闭面内发出，正电荷是源； q0, e0, 说明电场线向封闭面内汇聚，负电荷是尾； 静电场是有源场，正负电荷是场源. 1）高斯面上的 与哪些电荷有关 ？ E ? s 2）哪些电荷对闭合曲面哪些电荷对闭合曲面 的的 有贡献 ？ e 思考思考 第七章第七章 7-3 静电场的高斯定理 通过闭合曲面

10、的电通量为零,则说明（ ） 第二节 第四章 (1)曲面上各点的电场强度一定为零； (2)闭合曲面内一定没有电荷存在； (3)闭合曲面内电荷的代数和一定为零； (4)闭合曲面内电荷的代数和不一定为零； 第七章 7-3 静电场的高斯定理 1 S 2 S 3 S q? q? 0 1e 1 d ? q SE S ? ? ? 0 2e ? 0 3e ? q ? ? 在点电荷 和 的静电场中，做如下的三 个闭合面 求通过各闭合面的电通量 . , 321 SSS q?q ? 1 q 2 q 2 q A B s P 讨论 将 从 移到 , 2 q AB e P s 点 的电场强度是否变化 ？ 穿过高斯面 的

11、有变化？ 第二节 第四章 第七章 7-3 静电场的高斯定理 四 高斯定理的应用 其步骤为: 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算 . （用高斯定理求解的静电场必须具有一定的 对称性） 第二节第二节 第四章第四章 求电场强度E的方法： .电场强度叠加原理； .高斯定理； 1).球对称性：带电球面（体） 2).轴对称性：无限长带电直线 3).面对称性：无限大带电平面 第七章 7-3 静电场的高斯定理 + + + + + + + + + + + + O R 例4.4 均匀带电球壳的电场强度 04d 2 1 ? ? rESE S ? ? 0?E ? 0 2 d ? Q SE S

12、 ? ? ? r 1 S 2 0 4r Q E ? ? 0 2 4 ? Q Er? r 2 s 一半径为 , 均匀带电 的薄 球壳 . 求球壳内外任意点电场强度 . RQ 2 0 4R Q ? rR o E 解（1） R r ? ?0 R r ? （2） 第二节 第四章 第七章 7-3 静电场的高斯定理 + + + + + o x y z 补充：无限长均匀带电直线的电场强度 ? ? 下底）上底）柱侧面）( dd d sss SESESE ? 选取闭合的柱型高斯面 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即 电荷线密度为 ，求距直线为 处的电场强度. ?r 对称性分析：轴对称 解 h ? ? S

13、SE ? d 00d ( ? ? 柱侧面）s SE ? n e ? n e ? n e ? E ? r 第二节第二节 第四章第四章 第七章 7-3 静电场的高斯定理 0 ? ?h ? r E 0 2? ? ? 0 2 ? ?h rhE ? ? ? 柱侧面）( dd sS SESE ? + + + + + o x y z h n e ? E ? r 第二节第二节 第四章第四章 第七章 7-3 静电场的高斯定理 例4.5 无限大均匀带电平面的电场强度 ? 无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电 荷面密度为 ，求距平面为 处的电场强度. r 选取闭合的柱型高斯面 0 2?E 对称性分析： 垂直平

14、面 E ? 解 0 d ? ?S SE S ? ? ? 底面积 S E ? E ? S ?S ? S2 0 ? ?S E ? 第二节 第四章 匀强电场！ 第七章 7-3 静电场的高斯定理 0 2? ? ?E E ? ? E ? E ? ? E ? x E O )0(? 第二节 第四章 第七章 7-3 静电场的高斯定理 ? 0 0 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? 00 讨 论 无 限 大 带 电 平 面 的 电 场 叠 加 问 题 第二节 第四章 第七章 7-3 静电场的高斯定理 4.3 静电场的环路定理 电势 一、静电场力所做的功 电势能 二、静电场的环路定理 电势 三、电势的计算 四、等

15、势面 电势梯度 第三节 静电场的环路定理 电势 第四章 第三节 静电场的环路定理 电势 一. 静电场力所作的功 : 1. 点电荷电场中移动试验电荷 q0 点电荷q的电场强度为： 2 0 1 4 r q Ee r? ? 正点电荷q固定于原点O， 试验电荷q0在q的电场中，由 A点沿任意路径ACB到达B点。 0 q A B C o r q? ? E ? 第三节第三节 静电场的环路定理 电势 0 2 0 00 2 00 1 4 11 () 44 dd d B A B A r lr r r AB qq WWr r qqrqq rrr ? ? ? ? ? ? cos ddd r ellr? 则在q0从A

16、移至B点的过程 中，电场力作的总功为： 0 0 2 0 1 4 ddd r qq Wq Elel r? ? q0移过元位移 时，电场力作的元功为： dl 0 q l ? d ? A B C B r o A r r? r dr q? E ? 可见：W与q0所在的始末位置有关，与路径无关。 0 0 11 () 4 AB qq W rr? ? 000 ()ddd ii lll ii WqElqElqEl? ? 2. 任意带电体的电场 (视为点电荷的组合 ) i i EE? ?由电场强度叠加原理知： 因为上式中每一项都与路径无关，所以它 们的代数和也必然与路径无关。 第三节第三节 静电场的环路定理 电

17、势 第七章第七章 7-3 静电场的高斯定理 第三节 静电场的环路定理 电势 结 论： 1. 在点电荷q的非匀强电场中，电场力对试验电荷 q0所 作的功只与起点和终点的位置有关，与所经历的路 径无关。 2. 推广到一般的电场，电场可以是任意带电体的电荷 产生的电场。电场力对电荷所作的功只与起点和终 点的位置有关，与所经历的路径无关。 ?说明：静电场力是保守力，静电场是保守场。 第七章 7-3 静电场的高斯定理 第三节 静电场的环路定理 电势 第四章 二. 静电场的环路定理 a b 1 L 2 L 0 00 ? ? ? W ldEqldEqW ll ? 0? ? l lE ? d 在静电场中，若将

18、试验电荷q0沿闭合路径移动 一周，电场力所做的功为： 表明:电场强度沿任一闭合路径的线积分为零！ 第七章 7-3 静电场的高斯定理 第三节 静电场的环路定理 电势 第四章 0d? ? lE ? 静电场的环路定理： 1. 静电场的电场强度沿任一闭合路径的线积分为零 ，静电场是保守场。 2. 静电场中电场强度 的环流为零。 E ? E ? 电场强度沿任一闭合路径的线积分 的环流； 讨论 表征静电场的性质有两个方程: 0 ? ? ? ? i i S q SE ? d0 ? ? L lE ? d 第七章 7-3 静电场的高斯定理 第三节 静电场的环路定理 电势 第四章 三.电 势 能 ?类似于重力场和

19、重力势能， ?电荷在静电场中的一定位置上具有一定的 电势能。 ?静电场力对电荷所做功等于电荷电势能 增量的负值 ? ? ? ? ba b a b a ab WWl dEql dfW? ? ? 0 a b 0 q E ? 如图示点电荷q0在场中受力 Eqf ? 0 ? ? 电场力作功以减小电势能为代价电场力作正功,电势能减少 a W和 b W分别为q0在静电场中的a点和b点的电势能； 第七章 7-3 静电场的高斯定理 第三节 静电场的环路定理 电势 第四章 ? ? 势能零点 a a lEqW ? d 0 1. 若选b点的电势能为参考零点 则 a点的电势能： ?电势能的量纲(能量的单位)：SI制单

20、位： J (焦耳); 表明：试验电荷 q0在电场中某点电势能，在数值上 等于把q0从该点移到零势能点处静电场力所做的功 电势能的大小是相对的， 电势能的差是绝对的。 电势能是电场和电场中的电荷q0共同拥有的。 第七章 7-3 静电场的高斯定理 第三节 静电场的环路定理 电势 第四章 ? ? ? ? ba ba b a VV q W q W ldE? ? 00 ? ?a点的电势:单位正电荷在该点处的电势能； ?Va,Vb与试验电荷无关，反映了电场在 a,b两点的性质; ?a,b两点的电势之差称为 a,b两点的电势差或电压 Uab 四. 电势 电势差 静电场的矢量描述 -电场强度 静电场的标量描述

21、 -电势 00 q W V q W V b b a a ? baab VVU? 第七章 7-3 静电场的高斯定理 第三节 静电场的环路定理 电势 第四章 ? ? ? ? ? a a lEV ? d 1. 若选b点的势能为参考零点(一般为无穷远处) 2. 则a点的电势： 表明： 1.电场中某点的电势Va，在数值上等于把单位正电荷从 A点移到无穷远处（零势能处）时，静电场力所做功； 2. 电势是和检验电荷无关的。 电势的 相对性 第七章 7-3 静电场的高斯定理 第三节 静电场的环路定理 电势 第四章 ? 电势零点的选择(参考点): ?电势的量纲: SI制：单位 V (伏特) 1V=1J/C 源电

22、荷为有限大小，一般以 无穷远为电势零点。 实际问题中常选择地球电势为零。 无限扩展的源电荷 (如无限长带电圆柱面 )只能选在 有限区域内的任一点为电势零点。 实际应用中或研究电路问题时取 大地、仪器外壳等 第七章 7-3 静电场的高斯定理 第三节 静电场的环路定理 电势 第四章 一般情况下，电势是源电荷和空间位置的函数，当电势分 布已知时，可以方便地求出电荷q0在电场中某点的电势能和 在电场中移动电荷q0时静电场力作的功。 电势差是绝对的，与电势零点的选择无关； 电势大小是相对的，与电势零点的选择有关。 静电场中A、B两点电势差UAB，在数值上等于把单位正电 荷从A点移到B点时，静电场力所作的

23、功。 ABAB d AB UVVEl? ? 2. 电势差UAB=VA-VB 000ABABBA WqVqVqU? a0a VqW ? 第七章 7-3 静电场的高斯定理 第三节 静电场的环路定理 电势 第四章 ?点电荷场的电势公式： ?球对称 ?电势是标量,正、负由q的正负而定 （以无限远为电势零点） ?与半径成反比； ? ? ? r ldE ? dr r q r ? ? ? 2 0 4? r q V 0 4? ? q Pr ? E ? l d ? ? ? ? ? ? P P l dEV ? rdr r q r ? ? ? ? 2 0 4? 五. 电势的计算 第七章 7-3 静电场的高斯定理 第

24、三节 静电场的环路定理 电势 第四章 电势的叠加原理-标量叠加 ? ? ? ? i i i n i i i n i in r q r q VVVVV 00 21 4 1 4 . ? ?1.点电荷系(q1,q2. qn),电场中任一点的电势： 为第i个电 荷到场点P 的距离 i r 在点电荷系的电场中，任一点的电势等于各点 电荷单独存在时激发的电场在该点电势的代数 和。静电场的电势叠加原理 第七章 7-3 静电场的高斯定理 第三节 静电场的环路定理 电势 第四章 ? ? r qd V 0 4 1 ? ? 2. 任意形状有限区域 电荷连续分布的带电体， 场点的电势： r是电荷元 到场点的距离 qd

25、 积分是对各电荷元求和： l S V d d d ? ? ? qd 体 面 线 分割成电荷元dq, 对带电体进行积分： dq p r qd dV 0 4 1 ? ? 其步骤为： 将带电体划为许多电荷元 dq。 选择电势零点，写出电荷元 dq在场点的电势dV。 由电势叠加原理求V。 1. 利用电势叠加原理求解 六. 电势的计算方法 计算电势常用的方法有两种。 1.电势叠加原理 2.由电势的定义求 ? ? r qd V 0 4 1 ? 补充例题： 点电荷q 1，q2，q3，q4, 各为4.0 10-9C，放置在一正方形 的四个顶角上，各顶角与正方形中心O的距离为5.0cm, (1).计算O点的电势

26、； (2).将试验电荷q01.010-9C从无穷远处移到O点，电场力 作功多少？ (3).电势能改变多少？是增加还是减少？ 解解:1).根据电势叠加原理，四个电荷在中心O点产生的电势点产生的电势 相等，且： (V)102.7 100.5 100.4 100.9 r4 q U 2 2 9 9 0 i ? ? ? ? ? ? ? O点的总电势： (V) 32 1088210274? ? .UU i (2).电场力作的功 ? (J) 6- 10882 1088201001 39 0 ? ? ? ? . .UUqA o (3).电场力作负功，电势能增加； 例4-12. 正电荷q均匀分布在半径为 R的细

27、圆环上。 求圆环 轴线上距环心O为x处点P的电势。 解 在环上取小段dl，电荷元： 2 ddd q qll R ? ? ? 0 0 1 4 1 42 P d d d q V r q l rR ? ? ? ? 0 0 1 1 42 42 P d dd lll q lq VVl rR rR? ? ? o x R q x r P dq 0 00 0 44 P qq xVxR V Rx? ?， 22 0 4 P q V xR? ? ? 即： 环心和无穷远处的电势 : : 类似于点电荷类似于点电荷 2. 2. 由电势的定义求解： 其步骤为： 确定电场强度 的分布。 选择电势零点和积分路径，其原则是使计算

28、尽 量简便。 由 (零电势参考点)计算VA 。 E 0 A d V A VEl ? ? ? Q R re ro AB Ar r Br dr 令V=0，并沿径向积分。 任一点P的电势VP 例4-10 求：均匀带电球壳在空间的电势分布。 真空中一半径为R，带电Q的球壳。试求： (1)球壳外任意点的电势? (2)球壳内任意点的电势? (3)球壳外两点间的电势差? (4)球壳内两点间的电势差? 解 由高斯定理可得： 2 0 0 1 4 r r R Q E er R r? ? ? ? ? ? ? ? 000 (1) 11 () 444 ABAB ABAB r R QQQ UV V rrrr? ? ? 2

29、2 00 0 1 0 44 4 PP P P ddd d dd R AR R r RR rRVE rE rE r r QQr rer r rr Q R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 0 2 00 1 4 44 PP PP P P ddd d r A Q R rVE rE rer rr r QrQ r rr ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 球内是一个等势体球内是一个等势体 0 (4)( ) 4 in Q r RVV R R? ? 可见，带电球壳为一等势体，即球壳内各处的 电势与球壳表面的电势相等。 由式和可得均匀带电球 壳内、外的电势分布曲线如图。 00 (2)0 44 ABAB QQ r RUV V RR? ? 0 (3)( ) 4 Q r RV r r? ? r o V 0 4 Q R? R 0 4 Q r? 例例4-11 4-11 无限长均匀带电直线。其电荷线密度为 ， 求：P点的电势； 解解 由高斯定理可得： 0 2 r Ee r ? ? ? ? P re ro B r Br dr 取B点为零电势的参考点， 即VB=0。沿直线径向积分。 任一点P的电势VP为: 00 ln 22 B P P