平面向量知识点总结及同步练习

1、第二章平面向量 一、向量的基本概念与基本运算 1、数量：只有大小，没有方向的量. 2、有向线段： 定义：带有方向的线段（规定了起点和终点的线段）叫做有向线段。 .表示：表示有向线段时，要将表示起点的字母写在前面，表示终点的字母写在后面。在 有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。 有向线段包括三要素：起点、方向和长度，知道了有向线段的起点，它的终点就被方向 和长度唯一确定。 有向线段不等同于向量。二者的区别是：向量可用有向线段来表示，每一条有向线段对 应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段。 3、向量的概念： 向量：既有大小又有方向的量 向量一般用a,b,c 来表示，或用有向线段的起点

2、与终 点的大写字母表示，如： AB几何表示法 AB，a ；坐标表示法a =xi - yj =（x, y）* 向量的膜：向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作| a | . 注意：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. 零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行 零向量a = 0二| -T+ a |二0由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的 问题中务必看清楚是否有 非零向量”这个条件.（注意与0的区别） 单位向量：模为1个单位长度的向量 向量a0为单位向量=| a0 |= 1- 平行向量（共线向量）：方向相同或相

3、反的非零向量 任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量+记作a / b 由于向量可以进行任意的平移（即自 由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量- 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在 必须区分清楚共线向量中的 共线”与几何中的 共线”、的含义，要理解好平行向量中的 平行”与几何中的 平行”是不一样的. 相等向量：长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合，记为 a = b大 小相等，方向相同(Xi, yj =金y2)台丿Xlx2 yi=2 二、向量加法 定义：求两个向量和的运算叫做向

4、量的加法 设 AB=a,B =b，贝y a + b = AB BC =AC (1) 0 a二a 0 = a ; (2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有 三角形法则”与平行四边形法则” (1) 用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的 始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是 首尾相接”由第一个向量的起点指向最后一个向量的终 点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法 则.向量加法的三角形法则可

5、推广至多个向量相加: AB BC C ii)7Q qR二AR, 但这时必须首尾相连 三、向量的减法。 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作- a,零向量的相反 向量仍是零向量 关于相反向量有：(i) - (-a) = a ;(ii) a+( - a)=( - a)+a = 0 ; (iii)若a、b是互为相反向量，贝U a=-b,b =a,a + b=0 向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差， 记作：a-b二a (-b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法 作图法：a -b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点) 四、实数与向量的积： 1实数入

6、与向量a的积是一个向量，记作 Xa，它的长度与方向规定如下: (I)I同=” a； (U)当0时，X的方向与a的方向相同；当 : 0时，入a的方向与a的方向相反; 当 =0时，a=0，方向是任意的 数乘向量满足交换律、结合律与分配律 2、两个向量共线定理： 向量b与非零向量a共线二有且只有一个实数 使得b = a 五、平面向量的基本定理: 如果ei,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只 有一对实数2使： ie 2e2，其中不共线的向量 久佥叫做表示这一平面内所有向 量的一组基底 特别注意： (1) 向量的加法与减法是互逆运算 (2) 相等向量与平行向量有区别，

7、向量平行是向量相等的必要条件 (3) 向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)，而向量平行则包括共 线(重合)的情况 (4) 向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置 有关 学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理 几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理， 计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等 由于向量是一新的工具, 它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点 例1、给出下列命题： 若|a|= |b |,则 a = b

8、; 若A, B, C, D是不共线的四点，贝U A=DC是四边形ABCD为平行四边形的充 要条件； 若a = b , b = C，贝U a = C , a = b的充要条件是|a |=|b |且 a/b ; 若a/b , b/c，贝U a/c , 其中正确的序号是 解:不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. 正确.：-DC , | ABh|DC | 且 AB/DC，又 A, B, C, D 是不共线的 四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，贝U, AB/DC 且 |AB|=|DC I,因此, 正确. a=b，二a, b的长度相等且方向相同；又 Jr

9、c - 4. b 若 a _ b，贝U Xi x2yi 讨2 = 0 相等且方向相同， a , c的长度相等且方向相同，故a = c . 彳彳、44-I4 H 4 不正确.当a/b且方向相反时，即使|a|=|b|,也不能得到a=b，故|a|=|b|且a/b 4 4 不是a = b的充要条件，而是必要不充分条件. 不正确.考虑b=0这种特殊情况. 综上所述，正确命题的序号是. 例2、设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简： T T TTT TTTT AB BC CD， DB AC BD-OA-OC OB-CO T T T T T T (AB BC) CD 二 AC CD 二 AD T T

10、 T 解： 原式= 原式= 原式= T (DB BD) AC =0 AC =AC T T i T J T T T T T (OB-OA) (-OC-CO) =AB-(OC CO)=AB 0 = AB 例3、设非零向量a、b不共线，C =ka + b , d = a +kb (k R)，若C / d，试求k 44 解：t C / d 由向量共线的充要条件得：c =Xd (入R) 即 ka + b = X a +kb )(k-入)a + (1 一 /k) b = 0 又 a、b不共线 k (2) 0 霁0 ; (3) 若；= 0,； b a c，则 b =c ； 若a b = a c，则b = C

11、当且仅当；=0时成立； (5) (a b) (b C)对任意a,b,C向量都成立； (6) 对任意向量a，有a2二a $ 解：错；对；错；错；错；对 例2、已知两单位向量a与b的夹角为1200，若2b,3b -a，试求C与d的夹角 解：由题意，a=b=i，且a与b的夹角为1200， 所以，a b = abcos1200 = -丄， LLiI ；C2 =1(2? b) (备)4a4a b+b2 =7， 二 C =/7， 同理可得二d = 713 2217 而c d 二(2a -b) (3b - a) = 7a b -3b2 -2a2 = 2 设二为c与d的夹角， 则 COST 17 7 .13

12、17.9117.91 arccos 182 182 例3、已知a =4,3，b=-1,2，m=a-b, n=2a，b，按下列条件求实数的值 （1）為 _ n ； （2） m n ； （3） m = n 解：m = a - b = 4,3 - 2 , n = 2： b = 7,8 52 （1）m_n 二 473_28=0 二 9 1 （2）m/n = 48 - 3-27 = 0= 2， 常爲=.4 23一2 272 82 = 52 一4, 一88 = 0 2 2.11 5 习题 2.5平面向量应用举例 一、选择题 1.一物体受到相互垂直的两个力 fi、f2的作用，两力大小都为5 3N，则两个力的

13、合 力的大小为（） A. 10 3NB. 0NC. 5 6N 5,6 D. 2 答案C 解析根据向量加法的平行四边形法则，合力f的大小为 空冷空二5 6（N）. 2. 河水的流速为2m/s, 艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船 在静水中的速度大小为（） A. 10m/s B. 2 26m/s C. 4,6m/sD. 12m/s 答案B 解析设河水的流速为V1,小船在静水中的速度为V2，船的实际速度为v，则2, |v|= 10，v丄V1. :.v2= v v1， vw = 0， |v2|= v2 2v V1 + V1=100 0 + 4 =,104= 2,26. 3. （2

14、010 山东日照一中）已知向量 a=（X1,旳），b= （x2, y2），若|a| = 2，|b|= 3, a b= 6,则鑿的值为（ 答案B 解析因为|a|= 2, |b| = 3,又 a b= |a|b|cosa, b= 23Cosa, b= 6,可得 cosa, b= 1.即 a, b为共线向量且反向，又 |a| = 2, |b| = 3,所以有 3(x1, y“= 2(x2, 2 22x1 + y1 3(x2 + y2)2 y2)?x1_ 2x2, y1_ W，所以右_二+2 _ 2,从而选 B. 4. 已知一物体在共点力F 1_ (lg2, lg2), F2_ (lg5, lg2)的

15、作用下产生位移S_ (2lg5,1), 则共点力对物体做的功W为() A. lg2B. lg5 C. 1D. 2 答案D 解析 W_(F1 + F2) _(lg2 + Ig5,2lg2) (2lg5,1)_ (1,2lg2) (2lg5,1)_2lg5 + 2lg2_2,故 选D. 5. 在厶ABC所在的平面内有一点 P,满足PA+ PB+ PC_届，则厶PBC与厶ABC的面 积之比是() 答案C 解析 由PA+ PB+ PC= AB,得RA+ PB+ BA+ PC = 0,即 PC= 2AP,所以点 P 是 CA 边上的三等分点，如图所示故 3 PBC_ PC_2 _ Ac_ 3. ABC

16、6点P在平面上作匀速直线运动，速度v_ (4, 3),设开始时点P的坐标为(-10,10), 则5秒后点P的坐标为(速度单位：m/s,长度单位：m)() A . ( 2,4)B . ( 30,25)C. (10, 5) D . (5, 10) 答案C 解析5秒后点P的坐标为： (10,10)+ 5(4, 3)_ (10, 5). 7. 已知向量a, e满足：a龙，|e|_ 1,对任意t R，恒有|a te| | e|,则() A. a丄eB. a丄(a e)C. e(a e)D. (a + e)丄(a e) 答案C 解析由条件可知|ate|2耳a e|2对t R恒成立，又v |e|_ 1, t

17、? 2a e t+ 2a e 1 为对 t R 恒成立， 即_ 4(a e)2 8a e+ 40 恒成立. (a - 1)2O 恒成立， 而(a e 1) 0, - - a e 1 0. 即 a e 1 e2, e (a e) 0,即卩 e(a e). 8. 已知 |OA| 1, |OB|占，OA 丄 OB,点 C 在/ AOB 内，/ AOC 30 设 OC mOA + nOB,则 m () A.3B. 3C. 3 3D.33 答案B 解析t OC OA m|OA|2+ nOA OB m, OC Ob mOA OB+ n |OBf 3n, m |OC| I OA| cos30 . m 小 3

18、= O O 1, 3. 3n |OC| |OB|cos60n 二、填空题 9已知a (1,2), b (1,1)，且a与a+ 2b的夹角为锐角，贝U实数入的取值范围是. 5 答案2 且仔0 解析t a与a+ :b均不是零向量，夹角为锐角， 5 -a (a+ 2)0, - - 5+ 3 20, - - ? 3. 当 a 与 a+ ?b 同向时，a+ 2 ma(m0), 即(1+ 入 2+ 2 (m2m). 0 .m 1 2 3且 入工 0. 10. 已知直线ax+ by+ c 0与圆O:x2+ y2 4相交于A、B两点，且AB| 2.3,则OA Ob 答案2 解析t |AB| 2 3, |OA|

19、 |OB| 2, Z AOB 120. OA OB= |OA| |OB| COS120 2. 二、解答题。 11. 已知 ABC是直角三角形，CA= CB, D是CB的中点，E是AB上的一点，且 AE =2EB. 求证：AD丄CE. 证明以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系. 设 AC= a,则 A(a,0)，B(0, a)，D 0, |，C(0,0)，E *a, 3a . 2_3a a -3 o - a 2.3 I AD = a, 2 , CE t AD Ce= a *a +1 12. ABC是等腰直角三角形，/ B = 90 D是BC边的中点，BE丄AD，垂足为E, 延长BE

20、交AC于F，连结DF,求证：/ ADB=Z FDC. 证明如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设 A(0,2), C(2,0), 则 D(1,0), AC= (2, 2) 设 AF = ?aC, 则 bF = bA+aF = (0,2)+ (2 入2A = (2 人 2 2入, 又 DA = ( 1,2) 由题设BF丄DA, BF DA=o, 2 2+ 2(2 21) = 0,二k= 3. 2- 3 4, - fl , dF = bF bD = 3, 2- 3 又 DC = (1,0), cos/ ADB55, cosz FDC兴， |DA| |DB| 5|DF| |DC| 5

21、 又Z ADB、Z FDC (0, n , /-Z ADB =Z FDC. 13. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A( 1, 2), B(2,3), C( 2, 1) (1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2) 设实数t满足(AbtOC) OC= 0,求t的值. 解析(1)由题设知 Ab= (3,5), AC= ( 1,1),则 AB+ AC= (2,6), Ab AC= (4,4). 所以 |AB+ AC| = 2 10, AB AC|= 4 2. 故所求的两条对角线长分别为4 2和2 10. 由题设知 OC= ( 2, 1), AB tOC二(3 + 2t,5

22、 +1). 11 由(AB tOC) oC= 0,得(3+ 2t,5+ t) (-2, 1) = 0,从而 5t= 11,所以 t =-. 14. 一条宽为.3km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头 A、B,已知AB= 3km,船在水中最大航速为4km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最 快到达彼岸B码头？用时多少？ 解析如图所示，设AC为水流速度，AD为航行速度，以AC和AD为邻边作？ACED 且当AE与AB重合时能最快到达彼岸.根据题意 AC丄AE,在RtA ADE和？ ACED中， |D1|= |AC匸2, AD匸4, ZAED= 90 馬|商-|旳2 = 2

23、 3, 1 sinZ EAD= 2，AZ EAD = 30，用时 0.5h. 答：船实际航行速度大小为4km/h，与水流成120角时能最快到达B码头，用时半小 时. 1 15. 在？ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN = BD，求证：M , N, C三点共线. 证明Min = BiN-bM. 1 11 因为 BM=2BA，BN=3BD=3(BA+ bC), 所以 mN=1ba+ 3BC- 1ba, 二 3BC- eBA. 1 由于 bC- bM = bC-2BA, 可知MC= 3mN，即mC / mN. 又因为MC、MN有公共点M，所以M、N、C三点共线. 16. 如图所示，正

24、方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方 法证明PA= EF. 分析本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标来解决， 为此只要写出PA和EF的坐标，证明其模相等即可. 证明建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为 a,则 A(0, a).设|DP匚 X 0),则 人 0 j, P呼入普*, E；a, 川 所以寻=普-a,-爭PA=爭入a-*， 因为 |EF|2= ,2aX+ a2, |PAf = .2a + a2,所以 |EF匸 |PA|, 即 PA= EF. 17. 如图所示，在 ABC中，AB = AC, D是BC的中点，DE丄AC, E是

25、垂足，F是 DE的中点，求证AF丄BE. 证明t AB = AC,且D是BC的中点， AD丄BC, AD BD= 0. 又DE丄AC, DE AE= 0. BD = DC, F 是 DE 的中点， EF 一 2DE. AF BE= (AE+EF) (BD + DE) =AE BD + AE DE + EF BD + EF DE = AE BD + EF BD + EF DE = (AD + DE) B D + 1 1 1 EF BD + EFDE = ADBD + DEBD + EFBD + EFDE = DEDC qDEDC DEDE = 2 De DC ?DE De = ?DE (DC D

26、E)=De EC=0. AF 丄 Bl, AF 丄 BE. 平面向量的概念及其线性运算 一、选择题 1.若0、E、F是不共线的任意二点，贝U以下各式中成立的是（） A . EF = OF + OE 2 .在 ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点, T T T AN =入AB + AC，贝y入 +卩的值为（） 1 1 C. 4. P、A、B 三点共线 B . P、A、C三点共线 D.以上均不正确 T T T T T T 已知点O, N在厶ABC所在平面内，且|A匸10B匸|OC |, NA + NB + NC = ,则 P、B、C三点共线 Ci 3. 设P是厶AB C所在平面内的一点，B

27、C + BA = 2BP，则（） 0 点O, N依次是 ABC的（） A .重心外心 B .重心 内心 C.外心重心D .外心 5如图，已知 AB = a, AC = b, BD = 3DC，用 313 A . a+ 4bB.4a+4b J1U,31 C.;a+; bD.;a+;b 4 44 4 内心 a, b表示 ) 6.已知 ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线 4 4的最小值是（ 若AB山20）,定 C. 5 7 B.7 9 d9 AB、AC于E、F两点, 二、填空题 7.设向量a, b满足|a|= 2 5, b= （2,1）,且a与b的方向相反，则 a的坐标为 8.设a,

28、 b是两个不共线的非零向量，若 8a+ kb与ka+ 2b共线，则实数k =. 9如图所示，平面内的两条相交直线 OP1和OP2将该平面分割成四个部分I、 U、川、叭不 T T T 包括边界）.若OP =aOPl + bOP2，且点P落在第川部分，则实数a, b满足a 0用、”，或二”填空）. 三、解答题 10厶ABC中, AD -3AB , DE / BC交AC于E, BC边上的中线AM交DE于N.设7B - a, aC = b,用a、b表示向量 AE、BC、-DE、命、AM、為 ii.已知 (入卩为实数)，若A、B、C三点共线，求证 2+尸 1. 12.已知 ABC中, 2. 如图，在平行

29、四边形 ABCD 中，E为DC边的中点，且AB =b,对于平面ABC上任意一点O,动点P满足OP = OA +入+入b则动点P的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由. 平面向量基本定理及坐标表示 、选择题 已知向量a= (1, k), b= (2,2),且a+ b与a共线，那么ab的值为 C. 1 b+ ?a C. a- b 3. 已知向量 a= (1,2), b= (1,0), c= (3,4).若 入为实数，(a+入 b；) c 则 A ( 1 1 a4b2 c. 4. 1 已知向量a= (1,1 cos Q )= (1 + cos ,)，且a / b,则锐角B等于( 30 45 C.

30、 60 5.已知a, b是不共线的向量, 75 AB =入 + b, AC = a+ ub 让 R,那么 A、 B、C三点共 线的充要条件为() B. 入一尸1 C. 入丙一1 a, b, c, m = (3b c, cos C), 6 .在 ABC中，角A , B, C所对的边分别为 B. 4 3 d2 n = (a, cos A), m / n,贝U cos A的值等于( A亚 A. 6 並 C. 3 二、填空题。 7. 若三点 A(2,2)，B(a,O), C(0, b)(ab 工共线, 8. 占 八、 在厶ABC中，CA = a, P,则 AP CB = b, M是CB的中点，N是AB

31、的中点，且CN、AM交于 9. (用 a, b表示). 已知向量a= (2, 1), b= ( 1, m), c= (1,2)，若(a+ b) / c,贝U m = 三、解答题 10.已知向量a= (1,2), b= (2,3),疋R,若向量 入ab与向量c= ( 4, 7)共线, 求入. 11.已知PABC内一点，且3 AP + 4BP + 5CP = 0.延长AP交BC于点D,若AB a, AC = b,用a、b表示向量 TP、 AD. 12 .已知 O 为坐标原点,A(0,2), B(4,6), OM 二 t1 OA +12：B . (1) 求点M在第二或第三象限的充要条件； (2) 求

32、证：当t1 = 1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线; 若t1 = a2,求当oM丄AB且厶ABM的面积为12时a的值. 平面向量的数量积及平面向量的应用 、选择题 1 .若向量a, b, c满足a/ b且a丄c,则c (a+ 2b)=() C. 2. 若向量a= (1,2), b= (1, 1),贝U 2a+ b与a b的夹角等于() n c.4 3.已知 a= (1,2), n B.6 3n D.3T b= (x,4)且 ab= 10,则 |a b|=() A. - 10 B. 10 C. 5 D. .5 4.若a, b, c均为单位向量，且 ab= 0, (a c) (b c)则

33、|a+ b c|的最大值为() A. 2 1 C. .2 5.已知a与b均为单位向量，其夹角为9,有下列四个命题 2n 空) n n pl: |a+ b|1?氏0, p3: |a b|1?氏0, 2n n p2： |a+ b|1?氏(可,冗 n r p4: |a b|1? 0 (3, n 其中的真命题是( A. pl, p4 pl, p3 C. p2, p3 p2, p4 11 6.已知|a|= 2|b|亏0且关于x的函数f(x) = 3x3 + 2|a|x2+ a bx在R上有极值，则a与b的夹 角范围为() n A. (0, 6) n B. (6, n 、 C. (3, n 2n 2n 二

34、、填空题。 7.已知两个单位向量 e1, e2 的夹角为3,若向量 b1 = e1 2e2, b2= 3e1+ 4e2,贝U bl b2 8 .已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+ b与向量ka b垂直，则k 9.已知 |a|= |b|= 2, (a+ 2b) (a b)= 2,贝U a与 b 的夹角为 二、解答题。 10.已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中 a= (1,2). (1)若|c|= 2 5,且c/ a,求c的坐标； 若IbA：5，且a+ 2b与2a b垂直，求a与b的夹角9. 11.设 a= (1 + cos x,1 + sin x), b= (1,0)

35、, c= (1,2). (1)求证：(a b)丄(a c); 求|a的最大值，并求此时x的值. 12 .在 ABC中，角A、B、C的对边分别为a, b, c.若 AB .Ac CB =k(k R). (1)判断 ABC的形状; 若k = 2,求b的值. 答案 详解答案 、选择题 1.解析：由减法的三角形法则知EF二OF OE .答案：b 2.解析：M为边BC上任意一点，二可设AM = x AB + y AC (x + y= 1). 1 N 为 AM 中点，二 AN = 2 AM =仝 AB + 2y TC 山 + 淀. 1 1 二 + 尸 2(x+y)二 2.答案：a 3 .解析： BC +

36、BA = 2 BP ,二 BC BP = BP BA .即 PC = AP ,二 p、A、C 三点 4. 解析：由 IOA|= |OB|= |C 知，O ABC 的外心；NA + NB + NC = 0,知，n 为 ABC的重心.答案：C 13 b） = 4a+ 4b.答案：B TT T T T 入 T 6.解析：由题意得，AB + AC = 2 AD =入AE + AF ? AD = AE 在同一条直线上，可得2+許1.所以*話（2+（1+勺 5.解析：CB = AB AC = a b,又 BD = 3 DCCD = 1CB = 4(a b), a AD = AC + CD = b+ + 才

37、AF，又 D、E、F 5 2 入 ix 59 、 =2 +匚+ 2逵+ 2P，当且仅当2入 答案：D 、填空题 7. 解析：设 a= (x，y)，x0, y0, bv0.答案： 三、解答题 10.解: T T DE / BC , 2 AD 二2 AB =|b , BC = AC AB = b a.由 1 . =3(b a).又 AM =(AB + AC ADN ABM ? AN 2 AD = AB 3 11.证明： OB = 2A + 2 1 =3 AM = 3+ b). 严 AB = OA +XOCCB=OBOC= 2A +( i)OC 又 A、 三点共线AB = k 即1 = k入+ 尸1

38、. 22 1 ADEABC ,得 DE = 3BC = (b a).又 AM 是厶ABC 的中线，DE / BC 得 DN = DE T T 1 =2( AB + AC )=尹+ b). 12.解：依题意，由OP = OA + X+ Xt,得 (B + AC).如图，以AB , AC为邻边作平行四边形 ABDC , 线交于O,则AP二XAD , OP OA = X (+ b), 对角 即AP )A、P、D三点共线，即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知 P点轨迹必过 ABC 边BC的中点. 详解答案 、选择题 1 解析：依题意得a+ b= (3, k + 2)由a+ b与a共线，得1 (k +

39、 2) 3* = 0,由此解得 k = 1, a b=2 + 2k= 4.答案：D 1 1 2解析：BE = BA + AD + DE = a+ b+2a= b qa.答案：A 3解析：可得a+ 4.解析： a/ b, 1 X = (1+ X, 2),由(a+ X b)/ c得(1+ X )心32= 0,)X?答案：B 0舟.即sin2 02，又T 0为锐角，sin 乎,0 (1 cos 0 )(+ cos =45.答案：B 5.解析：AB xab,定 三点共线.存在实数m,使AB m AC，即 X+b= m(a+ y b). * A m J = my 入尹1.答案:D 6. 解析：m/ n?

40、 ( . 3b c)cos A acos C= 0,再由正弦定理得，3sin BcosA= sin Ccos A + cos Csin A? 3sin Bcos A= sin(C + A) = sin B,即卩 cos 人二中.答案：C 、填空题 7. 解析：AB = (a 2, 2), AC = (2, b 2),依题意，有(a 2)(b 2) 4= 0, 即卩 ab 1 1 1 1 2a 2b= 0,所以 +1答案：1 CA + -CN = CA +上 + 3+C 2 1 2 1, =3a + 3b.答案：a+ 3b 8. 解析：如图所示，AP二AC + CP二 1CA+1 3 + 3 9

41、. 解析：由已知 a+ b= (1, m 1), c= (1,2), CA + CB)= 一 CA + 由(a+ b) / c得 1X2 (m 1)务一1) = m + 1 = 0,所以 m = 1. 答案：1 三、解答题 10.解：入+b= ( + 2,2 + 3),又向量 入+b与向量c= ( 4, 7)共线，所以一7( + 2) (4)(2 + 3)= 0,解得入=2. 伯.解：/ BP = AP AB = AP a, CP = AP aC = AP T T TT 0,a 3 AP + 4( AP a) + 5( AP b) = 0,化简，得 AP b,又 3 AP + 4 BP + 5

42、CP =加+ 瓠设 ID = tTP (t e R), AD = 1ta+ 12tb.又设 BD = k BC (k R), 由 =7C 7B =b a,得 TT T T T BD = k(b a).而 AD = AB + BD = a+ BD ，AD = a+ k(b a)= (1 k)a + kb. 由，得* = 1 k,务=k解得t=扌 代入，有AD = 9a+|b. 12.解：(1) OM = t1 Oa +12 AB = t1(0,2)+ t2(4,4)= (4t2, 2t1 + 4t2). 当点M在第二或第三象限时，有 4t2v0,2t1 + 4t2工0 故所求的充要条件为t2v

43、0且t1 + 2t2工0. 证明：当t1 = 1时，由知OM = (4t2,4t2 + 2). T T T / AB = OB OA = (4,4), AM = oM 01 = (4t2,4t2)= t2(4,4) = t2 AB , 不论t2为何实数，A、B、M三点共线. (3)当 t1 = a2 时，oM = (4t2,4t2 + 2a2). T T OM 丄 AB , 又 AB = (4,4), 4t2 4+ (4t2 + 2a2) X4 0,二 t2= a2. oM = ( a2, a2). 点M到直线AB: x y+ 2= 0的距离 d=|-a2- a2+ 2|=2|a2- 1|. 2 SA ABM = 12, 2| AB |d=2|a21匸 12,解得 a=i2，故所求 a 的值为吃. 详解答案 一、选择题 1.解析：由a/ b及a丄c,得bc, 则 c (a+ 2b) = c a+ 2c b = 0. 答案：D + h 2.解析：2a+ b= (3,3), a b= (0,3),则 cos2a+ b, a b =口 |a_ 口 9 3.2X3 =#故夹角为n 答案：C 3解析：因为 a b= 10,所以 x+ 8= 10, x = 2,所以 a b= ( 1，