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1、.1 在利用对称性计算重积分时，不仅积分区域 ( (xy对对称称，而而且且被被积积函函数数也也要要对对称称（即即对对或或 ）是是 奇奇或或偶偶函函数数），两两者者缺缺一一都都不不能能使使用用。 则则轴轴，且且对对称称于于）若若（),(),(D1yxfyxfx D 1 .),(2),( D dyxfdyxf 轴上方的部分。轴上方的部分。位于位于是是其中其中xDD1 .2 则则轴，且轴，且对称于对称于）若）若（),(),(D2yxfyxfx D . 0),( dyxf 轴右侧的部分。轴右侧的部分。位于位于是是其中其中yDD1 3D(, )( , )yfx yf x y（ ）若若 对对称称于于 轴轴

2、，且且则则 D 1 .),(2),( D dyxfdyxf .3 则则轴轴，且且对对称称于于）若若（),(),(D4yxfyxfy D . 0),( dyxf 或或左左侧侧）的的部部分分。轴轴右右侧侧位位于于是是其其中中(DD1y 则则对对称称于于原原点点，且且）若若（),(),(D5yxfyxf D 1 .),(2),( D dyxfdyxf .4 则则对对称称于于原原点点，且且）若若（),(),(D6yxfyxf D . 0),( dyxf D , , x y 这这种种情情况况常常称称为为积积分分区区域域 具具有有关关于于积积分分变变量量的的对对称称性性, , 或或称称为为二二重重积积分分的的轮轮换换对对称称性性( (即即若若积积分分区区域域或或被被积积函函 数数的的表表达达式式中中，将将其其变变量量互互换换，其其表表达达式式不不变变）。 12 D 7D, ,( ( , , ) )( ( , , ) ). . D yxf x y df y x d （ ）若若 对对称称于于直直线线则则 D 12 ( ( , , ) )( ( , , ) ) ). . . . D f x y df y x

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