《概率论与数理统计》综合复习资料全

1、概率论与数理统计综合复习资料一、填空题1、一个盒子中有10 个球，其中有3 个红球， 2 个黑球， 5 个白球，从中取球两次，每次取一个（无放回），则：第二次取到黑球的概率为；取到的两只球至少有一个黑球的概率为。2、 X 的概率密度为f ( x)1 e x2 2 x 1 (x) ，则 DX。3、已知随机变量 X N(1，1)，YN(3，1) 且 X 与Y 相互独立，设随机变量Z 2X Y 5，则EX；DX。4、已知随机变量X 的分布列为X-102Pk0.40.2p则： EX=；DX =。5、设 X 与 Y 独立同分布，且XN(2,22) ，则 D ( 3X2Y) =。6、设对于事件A、B、 C

2、有 P(A)P(B)1， P(ABC)1P(C)，412P( AB) P( BC )P(AC)1。，则 A 、 B、 C 都不发生的概率为87、批产品中一、二、三等品各占60% 、30%、 10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是二等品的概率为。8、相互独立，且概率分布分别为1，1 y 3f (x)e ( x 1)2x) ；( y)(，其它0则：E(XY)=；E(2X32 )=。Y9 、已知工厂A、 B 生产产品的次品率分别为2%和1%，现从由A、 B 工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是B 工厂的概率为。10、设 X、Y 的概率分布分别为，1 x

3、54e4 y，y01/ 4( x)；( y)，其它0y00则： E(X 2Y) =；(X24 ) =。EY二、选择题1、设X 和 Y 相互独立，且分别服从N(1,22) 和N (1,1)，则。A P XY11/ 2BP XY01/ 2C P XY01/ 2DP XY11/ 22、已知P( A)0.4，P(B)0.6，P(B | A)0.5 ，则P( AB)。A 1B0.7C 0.8D 0.53、设某人进行射击，每次击中的概率为1/3，今独立重复射击10 次，则恰好击中3 次的概率为。A ( 1)3(2)733B C103 (1)33( 2)73C C103 (1)73(2)33D (1)334

4、、甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6 和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是。(A)0.6( B) 5/11( C) 0.75( D) 6/115、设事件A 、B、C满足ABC ，则下列结论正确的是。()( C )P(C)P(C)P( A)P( AB)P( B)1()( D )P(C)P( C)P( A)P( AP(B)B)16、设 DX4，DY1， xy0.6，则 D(3X2Y) =。( A )40( B )34( C )25.6(D) 17.67、设 X1 ， X 2 ， ， X n 为来自总体X 的一个样本， X 为样本均值， EX 未知，则总体方差

5、DX的无偏估计量为。( A)1 n ( X iX ) 2(B) 1 n ( X iX ) 2n1i 1n i 1(C )1 nEX) 2(D )1nEX )2( X in 1 i( X in i 118、设每次试验成功的概率为2/3，则在三次独立重复试验中至少失败一次的概率为。( A )(2/ 3)3(B) 1(2/ 3)3(C )(1/ 3)3(D)1(1/ 3)39、设 X 是随机变量， EX, DX2 ( ,0常数），对任意常数C ，则必有。( A)E(X C)2E( X) 2(B)E(X C)2E ( X)2(C )E(X C)2E ( X) 2(D)E(X C)2EX 2C三、解答题

6、0， x01、设 X 的分布函数为 F ( x)1/3， 0x11/2， 1x，求：21， x2（ 1） X 的概率分布；（2） PX133、P1 X、P1 X 。2222、设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2 是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4 ，又知第一、二家工厂生产的产品有2%的次品，第三家工厂生产的产品有4%的次品，现从箱中任取一件，求：（ 1）取到的是次品的概率；（ 2）若已知取到的是次品 , 它是第一家工厂生产的概率。3、设随机向量( X , Y ) 的概率密度为C, 0 x 1,0y 2xf ( x, y)其他0,求：（ 1）常数 C ；（ 2）关于 X、Y 的边

7、缘概率密度，并判断X 与 Y 是否相互独立。4 、已知 r vX 、 Y 分别服从正态分布N(0, 32) 和 N(2,42) ，且 X 与 Y 的相关系数XY1/2，设Z X/3Y/ 2，求：（1）数学期望EZ ，方差 DZ ；（2） X与Z的相关系数XZ 。5、设 X1 , X 2 ,L , X n 为 X 的一个样本，(1) x ,0 x 1X f ( x,)0,其它其中1为未知参数，求的极大似然法估计量。6、已知工厂A、 B 生产产品的次品率分别为1%和 2%，现从由 A、 B 的产品分别占60%和 40%的一批产品中随机抽取一件，求：（ 1）该产品是次品的概率；（ 2）若取到的是次品

8、，那么该产品是B 工厂的概率 。7、设 X、 Y 的概率分布为(x)1， 1x5,( y)4e 4 y， y 0,4，0，其它,0y 0,求： E(XY) 和E(2X3 2 )。Y8 、一口袋中装有四只球，分别标有数字1， 2， 2， 3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以X 、 Y 分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（ 1）X 和 Y 的联合概率分布；（ 2）关于X和关于Y 边缘概率分布。9、设总体X的分布列为X10pkp1pX1，X2， X n 为X的一个样本，求p 的极大似然估计。10、设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以0.03、0.04、 0

9、.06的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。11、设 X 随机地在 1， 2， 3 中任取一值，Y 随机地在 1 X 中任取一整数值, 求：（ 1） ( X，Y) 的分布律；（ 2）关于 X 和 Y 的边缘分布律。12、设 X1 ， X 2 ，X n 为 X 的一个样本，且X 的概率分布为ax a 1 ex a , x0f (x, )x00,其中为未知参数，a 0 为常数，求的极大似然估计。13、在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1， 2，3 路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从 0，5 上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2 分钟的概率。14、一个盒子中有三

10、只乒乓球，分别标有数字1，2， 2。现从袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以 X 、 Y 分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（ 1） X 和 Y 的联合概率分布；（ 2）关于 X 和 Y 边缘分布；（ 3） X 和 Y 是否相互独立？为什么？15、设 X1，X 2，X 3为来自总体 X N(,2 )的一个样本，且EX存在，验证统计量（ 1）、（ 2）都是的无偏估计，并指出哪一个更好。（1） 1 X13 X21 X3；5102（2） 1 X11 X 21 X3。36216 、设随机变量（X， Y ）具有概率密度f ( x, y)Ce ( x y) , x 0, y 0 ，0,其

11、它求（ 1）常数 C ；（ 2）关于 X 和关于 Y 的边缘分布密度。17、设22是来自总体 N2的简X a( X 12X2)b(3X 3 4X 4 )，其中X，X 3，X 4，1X 2(02 )单随机样本。试问当 a 、 b 各为何值时，统计量X 服从2 分布，并指出其自由度。概率论与数理统计答案一、填空题1 1/517/452 1/23054 0.41.845 526 13/247 1/38 3-119 7/1310 319 123二、选择题1 C2 C3 B4 C5 B6 C7 A8 B9 A三、解答题1、设 X 的分布函数为0， x0F（ x） P X x1/3， 0x11/2， 1x

12、21， x2求：（ 1） X 的概率分布； （ 2） P X133、 P1X、P1 X ；222解：（ 1） X 的概率分布列为X012P 1/3 1/6 1/2（2） P X1F（ 1）1223P1X3 PX3 PX 12216P1X3 P1X3 PX3122262、设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2 是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4 ，又知第一、二家工厂生产的产品有2%的次品，第三家工厂生产的产品有4%的次品，现从箱中任取一件，求： （ 1）取到的是次品的概率； （ 2）已知取到的是次品，它是第一家工厂生产的概率。解：设事件 A 表示：“取到的产品是次品” ；事件 Ai

13、 表示：“取到的产品是第 i 家工厂生产的”（ i1， 2， 3 ）。则 A1A2A3，且 P( Ai )0 ， A1、 A2 、 A3 两两互不相容。（ 1） 由全概率公式得3P( A)P( Ai ) P( A | Ai )i11212140.025210041004100（2）由贝叶斯公式得P( A1 )P( A | A1)12P( A1| A) =21000.430.025P( Aj ) P( A | Aj )j 13、设随机向量 ( X , Y ) 的概率密度为f ( x, y)C, 0x1,0y2x0, 其他求：（ 1）常数 C ；（ 2）关于 X、Y 的边缘概率密度，并判断X 与

14、Y 是否相互独立。解：（ 1）利用归一性知：f ( x, y)dxdy1C 1（ 2） f X xfx, y dy ，当 0 x 1时，有 f X2 xxfx, ydydy2x ；0其他情况时， f Xx0综合知 f X x2x,0x10,其他，同理 f Y y1y ,0y220,其他由于f (x, y)f XxfYy知 X 与 Y 不相互独立。4、已知 rv X、 Y 分别服从正态分布N(0,32) 和 N(2, 42) ，且 X 与 Y 的相关系数XY1/2，设 ZX / 3Y/ 2，求：（1）数学期望 EZ ，方差 DZ ；（ 2） X 与 Z 的相关系数XZ 。解：（ 1）由数学期望、

15、方差的性质及相关系数的定义得EZE(X Y) E(X) E(Y)1012 1323232DZD ( XY )D(X)D(Y)2Cov ( X ， Y )3232321 DX1 DY211XYDXDY32223213214221 1(1)3414233222322（2） Cov ( X， Z)Cov ( X， 1 X1 Y)1 Cov ( X , X )1 Cov ( X , Y)323211DXDY0DX2XY3从而有 X 与 Z 的相关系数XZCov( X , Z)0DXDZ5、设 X1，X2， X n 为 X 的一个样本，Xf ( x, )(1) x,0x10,其它其中1的极大似然法估计量

16、。为未知参数，求解： 设 x1， x2 ， xn 为 X1 ， X 2 ， X n 观测值，则构造似然函数nL()(1) n (x )ii1nln Ln ln(1)ln xii1令d ln Lnn0d1ln xii 1解的的极大似然估计量为?1nnln Xii 16、已知工厂A、 B 生产产品的次品率分别为1%和 2%，现从由 A、 B 的产品分别占60%和 40%的一批产品中随机抽取一件，求：（1）该产品是次品的概率； （ 2）若取到的是次品， 那么该产品是 B工厂的概率 。解：设 C 表示“取到的产品是次品” ； A “取到的产品是 A 工厂的”；B “取到的产品是B 工厂的”。则（ 1）

17、 取到的产品是次品的概率为P(C)P( A)P(C | A)P(B) P(C | B)6014027100100100100500（ 2）若取到的是次品，那么该产品是B 工厂的概率为P(B | C)P(BC )P( B) P(C | B)P(C)P( A) P(C | A)P( B)P(C | B)4021001004775007、设 X、 Y 的概率分布为(x)1， 1x5,( y)4e 4 y， y 0,4，y0,0，其它 ,0求： E(X Y) 和E(2X3 2 )。Y解：由于 X 在有限区间 1 ，5 上服从均匀分布，所以EX5 1 3 ；又由于 Y 服从参数为 412的指数分布，所以

18、 EY1= 、DY，416因此由数学期望性质2、性质 3 及重要公式得E( XY)EXEY 311434E(2X 3Y2 ) 2E(X ) 3E(Y 2)6 3(DY (EY) 2) 635 5 。888 、一口袋中装有四只球，分别标有数字1， 2， 2， 3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以X 、 Y 分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（ 1）X 和 Y 的联合概率分布；（ 2）关于X和关于Y 边缘概率分布。解：（ 1）（X，Y）的所有可能取值为 (1 ， 2) 、 (1 ， 3) 、 (2 ， 1) 、 (2 ， 2) 、 (2 ， 3) 、 (3 ，1) 、 (

19、3 ， 2) 。由概率乘法公式得p12P X1， Y1212364p13P X1， Y11133124同理得 p21p22p23p321/ 6,p31 1/ 12 。此外 X 1， Y1，X3， Y3 ，都是不可能事件，所以p11p330 , 于是（ X ， Y ）的概率分布表为YX 123101/61/1221/61/61/63 1/12 1/6 0（ 2） X 的边缘概率分布为X123pi1/41/21/4Y 的联合概率分布为Y123p j1/41/21/49、设总体X 的分布列为X10pkp1 pX1，X2， X n 为 X 的一个样本，求p 的极大似然估计。解：设 x1， x2 ， x

20、n 为 X1 ， X 2 ， ， X n 观测值， X 的分布律为p( x, p)px (1p) 1 x（ x 1， 0）于是似然函数nnnnxinxiL( p)p(xi , p)p xi (1p)1 xipi 1(1 p) i 1i 1i 1nnln L ln pxi (nxi) ln(1 p)i 1i 1nnd ln Lxinxii1i1dpp1p令 d ln L0，解得 p1 nxiX ，因此 p 的极大似然估计为dpn i1p1 nxiXn i110、设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以0.03 、0.04 、0.06 的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。解

21、：设 Ai表示：“第i 个电子元件被损坏” （ i =1，2，3），则有 P( A )0.03 ； P( A)0.04 ；12P( A3 ) 0.06 。依题意所求概率为P(A A A)P(A )P(A )P(A )P(AA )P(AA )P(AA)123123121323P(A AA )1230.030.040.060.030.040.040.060.030.060.030.040.060.12467211 、设 X 随机地在1，2，3 中任取一值， Y 随机地在1 X 中任取一整数值 , 求：（ 1）( X，Y)的分布律；（ 2）关于 X 和 Y 的边缘分布律。解：（ 1） ( X， Y)

22、 的概率分布表为YX123111136920116930019（2）关于 X 的边缘分布律为X123P Xxi pi111333关于 Y 的边缘分布律为Y123PYyj p j11511818912 、设X，X，Xn为X 的一个样本，且X 的概率分布为12f (x, )ax a 1 e x a , x0,0,x0,其中为未知参数， a0为常数，求的极大似然估计。解：设 x ， x， ， x为X，X，Xn观测值，构造似然函数12n12nna1x iaL（ ）f ( xi , )ax iei 1i1nxan(a) n eixia 1i1i1nnln Ln ln(a)xialnxia 1i1i1令d

23、 ln L0d解得 nnxia0 ，因此的极大似然估计为i 1?n。nX iai113、在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1，2，3 路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从 0 ， 5上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2 分钟的概率。解：设 X 表示每个人等车时间，且X 服从 0 ， 5 上的均匀分布，其概率分布为f ( x)1/ 5,0x5,其它0P X22 f (x)dx021/ 5dx0.4又设 Y 表示等车时间不超2 分钟的人数，则 Y B(3,0.4) ，所求概率为PY 21PY11C300.63C310.40.620.35214、一个盒子中有三只乒乓球，分

24、别标有数字1，2， 2。现从袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以 X 、 Y 分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（1） X 和 Y 的联合概率分布；（ 2）关于 X 和 Y 边缘分布；（ 3） X 和 Y 是否相互独立？为什么？解：（ 1）（X，Y）的所有可能取值为(1 ， 1) 、 (1 ， 2) 、 (2 ，1) 、 (2 ， 2) 。p11P X1， Y111p12P X1， Y12213，239393p21P X2， Y212P X2， Y22413， p22239393于是（ X ， Y ）的概率分布表为YX1211/92/922/94/9（2）关于 X 和 Y 的边缘概率分布分别为X12Y12pi1/32/3p j1/32/3（ 3） X 和 Y 相互独立。因为i , j 有 pipjpij15、设 X1，X 2，X 3 为来自总体 X N(,2 ) 的一个样本，且 EX存在，验证统计量(1) 、 (2) 都是 的无偏估计，并指出哪一个较好。（1） ?11 X13 X 21 X3； （2） ?21 X11 X 21 X3。5