轴向拉压杆的应力与物理变形

1、4- -3 轴向拉轴向拉( (压压) )杆横截面上的应力杆横截面上的应力 .应力的概念 受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积A上分布 内力的平均集度即， ，其方向和大小一般而言，随 所取A的大小而不同。 A F p m 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 轴向拉压杆的应力与物理变形 该截面上M点处分布内力的集度为 ，其 方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。 A F A F p A d d lim 0 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 轴向拉压杆的应力与物理变形 总应力 p 法向分量正应力s 某一截面上法向分 布内力在某一点处 的集度 切向分量剪应力t 某一

2、截面上切向分 布内力在某一点处 的集度 应力量纲：ML-1T-2 应力单位：Pa(1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)。 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 轴向拉压杆的应力与物理变形 .拉(压)杆横截面上的应力 A AFd N s (1) 与轴力相应的只可能是正应力s，与剪应力无关； (2) s在横截面上的变化规律横截面上各点处s 相等时 可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力轴力FN； 横截面上各点处s 不相等时，特定条件下也可组成轴力FN。 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 轴向拉压杆的应力与物理变形 为此： 1. 观察等直杆表面上相邻两条横向线

3、在杆受拉(压)后 的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直 于杆的轴线。 2. 设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。平 截面假设原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对 于拉(压)杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 轴向拉压杆的应力与物理变形 3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段 的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设 进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截 面上各点处的正应力s 都相等。 4. 等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式 。 A FN s 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和

4、压缩 轴向拉压杆的应力与物理变形 注意： 1. 上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些 特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假 设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。 2. 即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应 力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。 3. 圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不 同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影 响”。 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 轴向拉压杆的应力与物理变形 这一原理虽被许多实验所证实，但没有经过严格的理 论证明，也没有确切的数学表达式，因此不能随便使用。

5、上图为不能应用圣维南(Saint-Venant)原理的例子（详见奚 绍中编 材料力学精讲，p15)。 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 q=F/A q F/2 F/2 F/2 F/2 FF FF FF FF （a） （b） 轴向拉压杆的应力与物理变形 例题4-2 试求此正方 形砖柱由于荷载引起的横 截面上的最大工作应力。 已知F = 50 kN。 轴向拉压杆的应力与物理变形 段柱横截面上的正应力 12 ss 所以，最大工作应力为 smax= s2= -1.1 MPa (压应力） 解：段柱横截面上的正应力 MPa87. 0Pa1087. 0 )m24. 0()m24. 0( N1050

6、 6 3 1 1N 1 A F s (压应力) MPa1 . 1Pa101 . 1 m37. 0m37. 0 N10150 6 3 2 2N 2 A F s (压应力) 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 轴向拉压杆的应力与物理变形 例题4-3 试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的 拉应力。已知：d = 200 mm，= 5 mm，p = 2 MPa。 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 轴向拉压杆的应力与物理变形 2 R N F F 而 pbd d pbF )sind 2 ( 0 R 所以 MPa 40Pa 1040 m) 102(5 m) Pa)(0.2 102( 2 )

7、 2 ( 1 6 3- 6 s pdpbd b 解：薄壁圆环 (两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸 长变形相同。 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 轴向拉压杆的应力与物理变形 斜截面上的总应力： s coscos cos/ 0 A F A F A F p 推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截 面上各点处的总应力p相等。 式中， 为拉(压)杆横截面上( =0)的正应力。 A F 0 s 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 轴向拉压杆的应力与物理变形 斜截面上的正应力(normal stress)和剪应力(shearing stress)： ss 2 0 cosco

8、s p s t 2sin 2 sin 0 p 正应力和剪应力的正负规定： )( s )( t )( s )( t 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 轴向拉压杆的应力与物理变形 思考：1. 写出图示拉杆其斜截面k-k上的正应力s和剪应 力t与横截面上正应力s0的关系。并示出它们在图示分离 体的斜截面k-k上的指向。 2. 拉杆内不同方位截面上的正应力其最大值出现在 什么截面上？绝对值最大的剪应力又出现在什么样的截面 上？ 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 FF 45 F k k 轴向拉压杆的应力与物理变形 4- -5 轴向拉轴向拉( (压压) )杆的变形杆的变形 胡克定律胡克

9、定律 拉(压)杆的纵向变形 （轴向变形） 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)： 纵向总变形l = l1-l （反映绝对变形量） 纵向线应变 （反映变形程度） l l 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 轴向拉压杆的应力与物理变形 x 截面处沿x方向的纵向平均线应变为 x x 图示一般情况下在不同截面处杆的横截面上的轴力不同， 故不同截面的变形不同。 l x f 沿杆长均匀分布 的荷载集度为 f fl 轴力图 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 )(xxf fx x x 微段的分离体 轴向拉压杆的应力与物理变形 线应变的正负规定：伸长时为正，缩短时为负。 )(xxf fx x x

10、 微段的分离体 fl 轴力图 l x f 沿杆长均匀分布 的荷载集度为 f 一般情况下，杆沿x方向的总变形 l x xl 0 d x截面处沿x方向的纵向线应变为 xx xx x x d d lim 0 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 轴向拉压杆的应力与物理变形 横向变形与杆轴垂直方向的变形 d d 在基本情况下 ddd- 1 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 轴向拉压杆的应力与物理变形 A Fl l 引进比例常数E，且注意到F = FN，有 EA lF l N 胡克定律(Hookes law),适用于拉(压)杆。 式中：E 称为弹性模量(modulus of elasti

11、city)，由实验测定，其 量纲为ML-1T-2，单位为Pa；EA 杆的拉伸(压缩)刚度。 胡克定律(Hookes law) 工程中常用材料制成的拉(压)杆，当应力不超过材料 的某一特征值(“比例极限”)时，若两端受力 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 轴向拉压杆的应力与物理变形 胡克定律的另一表达形式： A F El l N 1 E s 单轴应力状态下的胡克定律 s s 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 低碳钢(Q235)： GPa210GPa200 Pa1010. 2Pa1000. 2 1111 E 轴向拉压杆的应力与物理变形 低碳钢(Q235)：n = 0.240.2

12、8。 亦即 n - 横向变形因数(泊松比)(Poissons ratio) 单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时， 某一方向的线应变 与和该方向垂直的方向(横向)的线应 变的绝对值之比为一常数，此比值称为横向变形因数或 泊松比(Poissons ratio)： 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 轴向拉压杆的应力与物理变形 2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变 形是什么关系？ 思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。 1.列出各段杆的纵向总变形lAB，lBC，lCD以及整个 杆纵向变形的表达式。 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压

13、缩 轴向拉压杆的应力与物理变形 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 FF FN 图 F + - + EA lF l EA lF ll BC CDAB ) 3/( ) 3/( EA lF llll BCCDAB ) 3/( ) 3/( 0 ) 3/( EA lF llll ll EA lF l CDBCABD BCABCABB 位移： 变形： 轴向拉压杆的应力与物理变形 3. 图(b)所示杆， 其各段的纵向总变形以 及整个杆的纵向总变形 与图(a)的变形有无不 同？各横截面及端面的 纵向位移与图(a)所示 杆的有无不同？何故？ 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 (a) 轴向拉压

14、杆的应力与物理变形 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 FF FN 图 F + - + EA lF l EA lF ll BC CDAB ) 3/( ) 3/( EA lF llll BCCDAB ) 3/( ) 3/( ) 3/( 0 EA lF llll EA lF lll ABBCCDA CDCBCCDB 位移： 变形： 轴向拉压杆的应力与物理变形 例题例题4- -4 求例题2-3中所示薄壁圆环其直径的改变量d。 已知 ，GPa210E。MPa2 mm,5 mm,200pd 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 轴向拉压杆的应力与物理变形 2. 如果在计算变形时忽略内压力的

15、影响，则可认为 薄壁圆环沿圆环切向的线应变(周向应变)与径向截面上的 正应力s 的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即 4- 9 6 109 . 1 Pa10210 Pa1040 E s MPa40 N s b F 解：解：1. 前已求出圆环径向截面上的 正应力此值小于钢的比例极限(低碳钢 Q235的比例极限sp200 MPa)。 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 轴向拉压杆的应力与物理变形 mm038. 0m108 . 3m2 . 0109 . 1 5-4- dd d 从而有圆环直径的改变量(增大)为 d d d d ddd -)( 3. 圆环的周向应变与圆环直径的相对改变量d有如

16、 下关系： 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 轴向拉压杆的应力与物理变形 例题4-5 如图所示杆系，荷载 P = 100 kN，试求结点A 的位移A。已知： = 30 ，l = 2 m，d = 25 mm，杆的材 料(钢)的弹性模量为E = 210 GPa。 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 轴向拉压杆的应力与物理变形 由胡克定律得 cos2 2N1N 21 EA Pl EA lF EA lF ll 其中 2 4 dA 1. 求杆的轴力及伸长 cos2 2N1N P FF 2N1N FF 解：结点A的位移A系由两杆的伸长变形引起，故需先 求两杆的伸长。 0- coscos 2N1N PFF 由结点 A 的平衡(如图)有 第四章第四章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 轴向拉压杆的应力与物理变形 2. 由杆的总变形求结点 A 的位移 根据杆系的布置、约 束、杆的材料以及受力情 况均与通过结点 A 的铅垂 线对称可知，结点A只有