北京大学群论 第一章 抽象群基础

1、 抽象群基础第一章 群1.1 为定义在任意两个元 “ ”=，g，【定义1.1】 G是一个非空集合，G 及其运算满足以下四个条件：)，若G素之间的二元代数运算(乘法运算?; hfGg=h1（）封闭性：, f, g 则G, ?，); gfGh（f(g）（2）结合律：hf, g, h? eff e G, （3）有单位元：fe G, f;-1-1-1?， f = f f （4）有逆元素：G, f 使Gff = e;-1 ff的逆元。为G则称G为一个群，e为群的单位元， e是唯一的。系1. ，、 e。e= e若eee 皆为G的单位元，则e= ee，故= e 逆元是唯一的。系2. f，则昽若存在f的两个逆

2、元 即, ff?f(f?f)?f?e?f?ef?f?f?(f?f)1 = e e 系3 1 1 -1 即：e e = e= e 。e = e, ?，为交换群，则称GfG, 有f, 系4 若群G的运算还满足交换律，g=gfg 或阿贝尔群。 群是我们定义的一种抽象结构，具有一般性，它象一个空筐子，可以装入各种具有相就可以掌握各种实际对象的通过研究抽象结构的一般性质，同抽象结构的实际对象。 性质。 + 及其上的加法z例1.1 整数集 -1 构成整数加法群。逆元z= -z,0, 单位元为 R，运算为加法：例1.2 实数集1 ?， ，构成加群。Ra -a 单位元e = 0, 逆元：a= -1 不存在。若

3、运算为数乘，R不构成群，0 ，R/0，构成乘法群，单位元e =10不过不包含的所有实数-1?=aR/0, a 逆元：1a 1 ? ， ，元素为对向量的变换 空间反演群E: I例1.3 r?r?r, IrE 运算定义为群元对向量由右到左的相继作用：?E?EE ， rEr?EEr?IE?I?EIrr?IEIr?E(?r)? ， IEEE?II2EI?rE?I(?r)?r?IIr 乘法表如右：。 3两个转动操作的二元运算为两 1.4 R中绕一固定轴的所有转动操作够成一个群，例 操作的相继转动。?n)()?C?)C(CC()群元：, 为转角，乘法：为转轴， ?nnnnC= 单位元：e () ?n1?C

4、?)C(?)(逆元： ?nn （六阶二面体群） D 例.5 平面正三角形对称群3为重心，固定不动，保持正三角形位形不变的所有空间转动操作，以相继操作为二o 元运算构成一个群。 保持正三角形不变的对称操作：y 不转动；e: A 120度；d: 绕Z轴转 240度；: 绕Z轴转f23 180度；: 绕y轴转axO 180度；: 绕2轴转b 180度；: 绕3轴转cBCDe, d, f, a, b, c 31 例1.6 置换群S, 又称n阶对称群 n群元：将（1，2，n）映为自身的置换P： 12.n1?m?1?p， ?mm.mm?2?n212置换只与每列的相对字符有关，与列顺序天关，如 123442

5、13? = ?14231243? 2 12.n?e 单位元： ?n.12?mm.m?n121?p P的逆元：?32.1?n个数码所有可能的置换数为n！，其乘法： 421312341234? =?243124311324?则所有置换及其乘法结构成一个群，记为S群。 n 可见，群的元素可以是非常广泛的东西，可以是数、操作、变换等等，二元运算也可以有多种类型。群可以简单分类为： 有限群：群元个数有限，群元的个数称为群的阶，记为|G| 可数? 无限群：群元个数无限?不可数?) 1.1 (重排定理定理G?Gu?GuG?ug|g?,G?g? ，有设? 元素重排。的作用只是将Gu 证明：gug 1），中不同

6、群元：当不同时给出G对（一）u的作用是单射，（1?g?gug?ug，（即多对一） 设， 若?-1g?g，与假设矛盾有两边左乘u ,?ug?ug 故 ?（二）u的作用是一个满射，即G中任意群元都可写成ug的形式： ?11?1?g?ugG?g)u?g(uu?)gu(g ，记?g?Gg?ug。，使 即 ? 3 uG?G?G, Gu=G。类似有： 故u的作用是双射（一一映射），即u在乘法表中，每行和每列都是群元的重排，每个群元只出现一次。 1.2 子群和陪集 【定义1.2】 设H是群G的一个子集，若对于与群G同样的乘法运算，H也构成一H?G。为G的子群，记为 个群，则称HH?G的充要条件为系1. :

7、?h,hh?H1） H,有h（?1h?h?H H，其逆（2）? 例1.7 任何群G，都有子群e和G G。 e，G称为显然子群或平庸子群，非平庸的子群称为真子群。 例1.8 整数全体构成的加法群是全体实数构成的加法群的子群。 ，fd。D群的子群e 例1.9 3 2nea?a,a? 】【定义1.3 循环子群的形式为：Z= n n为循环群的阶，循环群是阿贝尔群。 G的循环子群。n阶有限群G的任一元素出发，总可以生成一个例1.10 从G?e,?,g,?g?G， ?k32egg?g, g, 作 ， n, 存在, k ?k21G?ZZ?e , g .,g,g 且。则构成循环群,?kkkge?g 。，则称若

8、的阶为k?: D群的循环子群3 D=e, d, f, a, b, c3222 2阶循环子群：a, a=e,b, b =e,c, c=e 4 2323=e, d =e(=d), f3阶循环子群：d, df, f(f) 【定义1.4】 (左陪集和右陪集) ?，Gg G. 设H是群G的子群，H gH?gh|h?H 子群H的左陪集：Hg?hg|h?H 右陪集： ?G时，可以得到不同的陪集。当取不同的g 定理1.2 (陪集定理) 设群H为群G的子群H G，则H的两个左（右）陪集或者有完全相同的元?gH = ，或HgH = g素，或者没有任何公共元素,即：Hg,g. G,则g222111gh?gh， 有一

9、公共元素gH证明：设左陪集gH21?21?1?1?g?hhHg 则有 ?12?1?1(gg)H?(hh)H?H （重排定理） 故 ?12?1?1?1Hgg)gH?gH)ggH)?gHg(gg)?(g( 故，而12212212212HgH?g 故 证毕21 定理1.3（拉格朗日定理） 有限群的子群的阶，等于该有限群阶的因子。 证： 阶子群，G的mH G为n阶群，为? ，作陪集g取gHG，gH111?， ggH，gHgH 取g，作G22112? ?H，gH，gH，gH等，作gH 取gG，g ii-1ii12得陪集系列： ，heH, he为群的单位元； h H =m21?， gH，因Hg有单位元e；

10、 hH g=gghgh，111m11211，ghh=ghg；. H gm212222由陪集定理知，这样得到的陪集序列互不相同，没有任何公共元素。而这些陪 5 集序列最终将穷尽群G中的所有元素（或者说G的任何群元均属于某一陪集）。设共l个陪集，则群G的群元个数n为： 有n?m?l 即子群的阶m为G群阶的因子。 系1 有限群G可以分割为其子群的互不相交的陪集串（G可以其子群的陪集串展开）。 例1.11 D=e, d, f, a, b, c的子群陪集分割。 3D的子群： 3H=e, a，H=e, b 21 H=e, c，H=e, d, f 43H左陪集分割： 1 H=e, a, bH=b, f,cH

11、=c, d 1 1 1 H左陪集串： 4 H=e, d, f,aH=a, b, c 44 1.3 类与不变子群 -1 ?= h，则称元素使gfghf, h是群G的两个元素，若有元素g与G,【定义1.5】 设。 f共轭。记为h f h. f，则系1 共轭是相互的，即若h f ， ffh则h 2 系 共轭的传递性，若ff 2.1 21 -1 -1?fg，故有 使f= ghg证：fh=g h, 故g, 1 1 11 1111-1 -1-1 -1-1 -1 ?)f(gg= (ggg)f h, 故使g, f= ghg= gggf12122 1212121222 f故 f2 1 【定义1.6】 群G的所有

12、相互共轭的元素集合，称为群G的一个类。 系1 一个类被类中任意一个元素所决定，知道了类中某一个元素f，则f所属类的所有元素均可求出： 1?G,g?f|fgfg 类f=?-1 ，geg=e系2 一个群的单位无自成一类，egGxxx?-1 ? gfg= f，g阿贝尔群的每个元素自成一类，3 系 f，Gxxx 6 m=e，则ff类所有元素的阶都是m，因 系4 若元素f的阶为m，即?1?1?1?1mm,Gg?ggfg?ggfg(gfgfe).? ?系5 两个不同的类没有公共元素，一个群可以按共轭类进行分割（名类中元素个数可能不同）。 例1.12 D=e, d, f, a, b, c的类分割。 3 D的

13、元素可分为3类： 3 e类：e d类：d, f a类：a, b, c 定理1.4 有限群每类元素的个数等于群阶的因子。 证明：设G为n阶有限群，g是G的一个元素， 看g类元素的个数: gg-1?=g （即内自同构群I(G)Ghgh在g作G的子群HH：点的迷向=h子群） g由所有与g对易的元素组成。即H -1-1g ?H ggggg g 下面证明：ggg = 221112, 2-1-1g ?，HgggG（一）若ggggg = gg2111,2,212-1-1-1-1g= gggg 可得gg 由g = gggg 12 121212-1-1-1= g g）g (gg 即 （)g1212-1g-1gg

14、? gHgg H H 由重排定理： 故 g11 22?gg ?H而,g有 gggH2122?g gg) = g(gHH 所以g, ggH 21122gg?,使g=gh则存在 h (二)若g, gHgH, 21221-1-1-1 -1 gg = ghgh= g 故 gggg222121 -1-1g? gH gg gg = ggg, g 即 2221112g的一个左陪集仅能得到g类的一个元素，综上所述：用Hg类中元素的个数等于gg左（右）陪集串个数H g类元素个数= H的左陪集个数。即： g的阶为G的阶的因子，故g类元素个数亦为群G由拉格朗日定理，H阶的因子。 【定义1.7】 （共轭子群） ? G

15、，使，若有g K是G的两个子群，H G， GK 设H和1 1?H | K = gHgh=k = ghg 则称H是K的共轭子群。 7 系1 共轭子群具有对称性（即相互性）和传递性； 系2 群G的全部子群可以分割为共轭子群类。 【定义1.8】 （不变子群） 1?H，则称H为,有gh设H是G的子群，若ggGG，h的不变子H xx群, ?G。记为H 系1 如果H包含元素h，则它将包含h的类。 xx 1 ?= H或gHg. G, H为G的不变子群H有G, 则gH = Hgg定理1.5 设?H证明： h11?Hg g )=（ gh = gh(gghg）g?Hg gH 故 1-1?gH (ghg hg =

16、(gg)hg = g 又 ?gHHg 故 1 = H Hg = gH，即gHg 所以 不变子群的左陪和右陪集相等。 +? 例11.13 整数加法群是实数加法群的不变子群，ZR?Z，, zaR?Z z + z + (-a) = a 实际上阿贝尔群的所有子群都是不变子群。 ?G，HG的不变子群 设H为定理1.6和gHgHgH中元素的中，两个陪集G 则的陪集串分割H,gH,gH j2i1i乘积必属于陪集（gg）H，即gHgH =（gg）H。 jijiji?gh?gH, ?gh?gH 证明：?jiij?1)hgghhgh?g(gg?jjjiij?1hg)gg(gh?jijj 有 1?)hgh (令?g

17、hg?gh?jijj)h令?hh( )gg ?)gg?(h(H ?jiij 8 即 gHg H =（gg）H jj i i 由定理1.6可定义不变子群的商群。 【定义1.9】 （不变子群的商群） ?，H gG群的陪集串为元素，做成一个新的集合，H设HH, gG，以分割21，并定义集合中元素的乘法规则：gHgH =（gg）H，则gHG的不变子jjiii群H生成的陪集串构成一个群，称为不变子群H的商群，记为G/H。 例1.14 D群e, d, f, a, b, c的子群H=e, d, f是不变子群，子群H的陪集分割为： 443 H=e, d, f, aH=a, b, c 442 则商群D/H=H，

18、aH,可以验证（aH）= H,即D/H为二阶循环群Z。 44434434 2 1.4 群的同构与同态 ? F，且满上的满映射：G G，F，若存在一个从G到F 【定义1.10】两个群足: 映射为双射,即G与F中的元素一一对应，为一一映射： ?() g) gg( ,gggG, ?2 2 1112 映射保持群的运算结构不变： ?。(g)，其中“。”为群F)gg=的乘法运算，(g) (2112?，F，群同构，记为G称为同构映射。则称G F FG ）中任何元素在G中都有原象，满映射又称为“到上”的映射。（满映射即F? fg0 0fgiigf jj-1-1gfjj、 G同构示意图：群Fggffjiji ?

19、， F单位元G为群g, f 系1 (g) = 其中, f0 00 0 ?) 证： gG, (。) g)=(g。) ()= gg(g)=g(g(000 9 。? f(g为F的单位元，由f的唯一性，必有 即)= (g)0 00011? (g）=系2 )（g-1-1-1-1?) ) 。gg) 。(证： f= g(g)= )= (gg) = (g( g) = g(00-1? (g )(g)为的逆元即11? ）=(g)由逆元的唯一性，有（g -1?， G，同构映射为则F系3 若G，同构具有相互性。F ?， DZ/I与Z、D/H同构：EHI 例1.14 空间反演群E4332 42 ?，且该映F：G】1.1

20、1 两个群G，F，若存在一个从G到F上的满映射【定义 ?同态，记为G与g)=F(g) 。(g),射保持群的运算结构不变，则称群(g2112? 上的同态映射。G （同态不具有相互性） F，映射称为G到F 1 1? 与同构情形完全类似。g)系1 ) = (gf，（g）=, (0 0 同构是一种特殊的同态，当同态映射为一一映射时即为同构。系2 FG ? g0f g00g fiigi 同态示意图：-1g-1fii -1gi 同态。 =与仅有一单位元的群Ff则任何群例1.15 G0?f) ,?)(gf(g?G?g,?g ，证明： 有 010221 10 ?)g(?(g)?(gg)?f?f?f为同态映射。

21、 , 故 则 2001021 ?1,g?H?gKgG, 群G的两个相互共轭的子群H、K, 它们同构。 例1.15? 【定义1.12】 （同态核） ?hf:的集合的单位元对应的元素，则G同态，中与FG FF设群G与?0?(h)?f, ?h|h?GH,称为同态核。 ?0 定理1.7 （同态核定理，又称同态基本定理） 设G群与F群同态，同态核为H，则有 ?GH G的不变子群, H是?F., 同构G/H 商群G/H与F?F，f为证明：设同态映为F中：G的单位元。 0?G 1）H（?为G到FhH,的同态映射，g G，-1-1-1? = ff)= (g)有(g)(ghg )= (g)(g00-1?H gh

22、g即 ? G，为不变子群。故 H ?) gH，() = g（2）定义映射：G/H(F 同构。若能证明为同构映射，则G/H与F? 与陪集gH代表元g1首先证明映射(gH)的值的选取无关：(g)? gh为代表元，) (ghH = gH，设hH,gh则gH, ?) (g)f= (g) = ) = () = (故有gHghH(gh(g)h() = 0 gH中代表元的选取无关，唯一确定。与故映射 11 2为一一映射，且保持乘法结构不变 a. 为单射（1对1的映射） ?(g) H) H，要证(gH设gHg2121?(gg)=，) 则 ) (反证，若(gH) = (gH212111? g) = f() =

23、f, 即(g故(gg(00 1212-1-1? gf , 故亦即g( gHg) = 11202-1 ,与假设矛盾。gH = g由重排定理有：gHgH = H, 即2211 为单射。(gH), 故必有(gH) 21 .）F中的任一元素都有在G/H中的原象b. 是满射（? 为满映射，故由于同态映射?(g)?fG?g ，使, F?f?(gHg)?f?)( 故?gH?G/Hf, 有原象故即为满射 ?c保持群的乘法结构不变。 (gHgH) =(g(Hg)H) 2211=(g(gH)H) (利用了不变子群性质gH=Hg) 2221?(gg) ggH) =g=(g)(HH) =(211122?(g)H) )

24、 =(g(gH=g()2112?F 为同构映射，故G/Hb综合以上a、c三点，知 系1 若群G与群F同态，则阶|F|为|G|的因子。 例 1.16 D群与=阶循环群Z(1, -1) 同态。 32 ，f，为D的不变子群；同态核为H = e d3，aH， aH = HHa, b, c /D商群3? ZHD/ 同构映射：23 12 ?(aH)?1H)?1, ( 【定义1.13】 （自同构映射） ?G，称为群G的自同构映射，群G到自身的同构映射 ：G?(g)?g)(?g,g?G,g(gG?g(g)?G, g?。, 且 即 ?jjjiii 【定义1.14】 （自同构群） ?，由的乘积和为先实行映射定义两

25、个自同构映射再实行112212-1?存在，故群G的所有自，于每个自同构映射且有恒等映射都有逆射0同构映射构成一个群，称为群G的自同构群，记为A(G) 或 Aut(G)。 【定义1.15】 （内自同构映射和内自同构群） ?1?, g,g?(g)?gggG?。 映射集映射 :G合G，自同构g1g11?|g?G构成一个群，群的乘法定义为两个内自同构映射的相继作用，该g群称为G的内自同构群，记为I(G) 或 In(G)。 系1 内自同构群I(G)是自同构群A(G)的不变子群。 ?1?g)?(g)G?A(Gg?g?(g)?) ，设 证明：， (即?aaa?)G?I(? 做共轭运算，有， g?1?1?1?

26、)g(g(ggg)?(g)?g()?(g) ?aaaaaagag?1 ggg = ?(g)? ?g?I(G)? A(G) ) 显然 (，根据不变子群的定义，有IGg? 13 ?H亦为内自同构| (H) =hH2 若H为G的子群，则 的内自同构群I系h 群，且I(H) I(G)。 例1.17 三阶对称群S的内自同构群 3S=e, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) 3123123? , (1 2) = ) = (1 2 3?122133?、3的置换构成S2群，其内自同构映射有： 其余类推,数码13?）?(g(2 1) (g) = (1 2) g g, 01

27、?(g) = (2 3) g (3 2) (g) = (1 3) g(3 1), 32?(g) = (1 3 2) g (1 2 3) (g) = (1 2 3) g(1 3 2), ?54? , , ) = I的内自同构群SI(S)为：(S333530421 1.5 变换群 变换群即是以变换为群元构成的群。变换群的讨论涉及变换和变换的对象两个方面。 【定义 1.16】 （变换，完全对称群，变换群） ?X, f(X映入自身的一一映射f: Xx)为非空集合，设XX=x，y，z，则将，g的乘积fg为它们先后对X上的两个变换fXy, 称为X上的变换或置换；定义的作用：fg(X) = f(g(X),

28、则X上所有可能的变换在此乘法下构成一个群，称为X上的完全对称群，记为S，完全对称群的子群称为X上的变换群或对称群。若集合X为Xn个元素的集合，则其上的完全对称群称为X上的n阶置换群，记为S。 n 定理1.8 凯莱定理 任何群G同构于G上的一个变换群。 证明： 14 ?G, f(gg)=gg, 将G本身作为变换对象，构造S的一个子群F fgGGg?G g由重排定理，f(G)=gG=G, 为将X映入X的一一映射，F为一变换群。 Gg?F: 可以证明，GG?(g）= F，f 构造映射G：gG?显然为一一映射，且 ?g、gG, XG 有 ?21?(g)(g)XfX) = f(X) = ) (g(gg)

29、(X) = f(X) = g(X) = g(g(22122g21g1g211g1故映射保持了群的运算结构 ?F， G 得证 所以 G 【定义1.17】 (等价) ，y X，有gG, 使g(x) = 设G为X上的一个变换群，若xy ?则称x与y等价，记为x y。 系1 等价具有对称性，x y, 则y x -1(y) = x 有 g ) = g(xy, 系2 等价具有传递性，x y, y z, 则x z。 g(x) = y, f(y) = z, f(g(x) = z 【定义1.18】 (变换群的轨道) 设G为X上的变换群，对xX，由X中全部与x等价的点组成的集合称为含? ?G, 记为C(x。)g

30、x的G轨道。即 gx【定义1.19】 (群不变子集) ?gG, yY,有X，对g(y)Y上的变换群，若有子集G设为X Y ? 则称Y为群G在X上的不变子集。 系1 X中的G轨道及其并集是G不变的。 系2 若Y为G在X上的不变子集，则G也是Y上的变换群。 15 ?X, 总可以找到G的子群X上的对称群，对于任意子集YH，使得Y系3 G为是H不变的（Y对单位变换群e总是不变的，但是平庸的）。 ?, 2 = C() 0G设X是x-y 二维平面，是绕Z轴转动的二维转动群，G例1.18 z?r?xi?yj。平面上任意一点r X= (x, y) r经群元C()作用，变换到r Z?)xsin(cos()?y?

31、, 即：r r )r = r = C(?z?)xsin(cos()?y?(1) 以原点O为原心，过r点的圆周上的所有点，构成含r 的G轨道。 (2) 所有以O为原心的同心圆及其任意和集是X上的G不变子集，故G也是这些不变子集上的对称群。 ?, 固定点为O。X) 0为二维平面，求其子集2是三维转动群例1.19 GC(n正四边形Y=ABCD的变换群H。(H为G的子群)。 容易找出保持ABCD不变的对称操作： y DA x O CB nn21 ?332?)C(C)C()：r：恒等转动， ， r：， e， r?zzz 22?)C(C)()CC(): uv， ：a : ， b: ?nynx2132D(A

32、BCD上的变换群u, vb, , H是rH 以上元素构成G的子群= e, , r, ra, , 4。)群 （迷向子群）【定义1.20】 ?的x的群元，构成G对GxxXG设为上的变换群，对X，保持不变的所有 16 ?xx)?h(xh?G| 迷向子群，记为G=x构成群G 证明：x;?G , e存在单位元：e(x) = x1?xx?1),g(xx?;?Ggg?G,g(x)?x ，则故逆元：若g(x)?x,g(x)?xx, , g则封闭性：若g,?G2121xG?故ggx)?x,)?g(g(x)?g(gg(x。故 2211211 x, 其每一个左陪集把点x映为x的迷向子群GX中的一个特定定理1.9 G

33、对x的左陪集间有一一对应关系。 上的点和G的G轨道Cx点y, 即含x?xG?,hx)G?xh|h(为证明：设x点的迷向子群， ?xxGgh|hgG? 左陪集: ?x gG反之亦然：, 则若g(x)=g(x), 有g2211 ，则：g(x)=g(x) 若21x-1-1xx-1 ，即 gggg(x)=x, 有gGgGG112122x gG故g21xh g=gh, 则存在，使得 若ggG2211(x) (x)=gh(x)=g 有g221x 的左陪集一一对应。轨道C与G综上所述，x的Gx x的x的迷向子群,xx?X,G为G在轨道为系1 阶变换群，G上的G为Xn若xx |即左陪集的个数, n/|G，则C

34、C上轨道点的数目等于G。xx =e, d, f, a, b, c例1.20 D3ABC? 上的变换群D为 3A = G点的迷向子群 A: e, a A 左陪集串: Ge, a= A = b, f bGA = d, c cG 17 = A, B, C有D轨道CAA 33D6=3 = G2A关于迷向子群的定理把代数的陪集概念与几何上的轨道概念联系了起来。 1.6 群的直积和半直积 【定义1.21】 （群的直积） ?(g, g)| gGG, gG，（给定两个群G，G，作有序对g, g）的集合G，?2121211212若定义G上的乘法为：(g, g)*(g, g)=(gg，gg)，则G构成群，?211

35、11222称为G，G的直积，记为G=GG。（“” ，“”分别为G, G的乘法） ?221211系1 G构成群。 证明： 结合律： ?,*ggg.g,g?g,g*(gg)g*,gg =221211222111?g.g,ggg.g =212211?)g?g.g),g?(g.(g =211221?g.g?g,g,g*ggg,gg*g.g, =221122121121?*(g,g)*g(g,g),g =222111单位元：（e, e）, 其中e, e分别为G，G单位元 221112?g?,e.,ggg,?*ee,e?gg 2221221111?g,?ee,gg,.ege?* = 21111222?1?

36、11gg,gg? 逆元：2121 18 ?11?11?e,g,gg?gg,g?*gg,e? 2112221211?1?1?1?1?g*,ggg?,g?g?g,g = 21222111封闭性显然 故G在乘法“*”下构成群。 ?GGGG, G, G , = g(e, )|系2 定义ge(g, ) | gG?221222111121G?G, G?G, G,G?G 则显然：221112系3 显然还有： 1.G?G?(e,e); 2121G*G, 且此分解唯一； 2G=21G*GG*G =3. 1122G?G,G?G, 4. 21 以上用群G1，G2可以直积方式构成群G，那么反过来一个群在什么条件下可以

37、做这种分解，即直积分解？ 定理1.10 （群的直积分解） ?g.g,G,gg?G=则，群G，有子群GG，定义序对G G“.”为的乘法，21212121的充要条件为： ?g?G,gg?g?g,g?G,g?G；可唯一表示为1 211221?g?G,?g?G,g?g?gg成立。 对2 12122211 证明： 可以检验G中元素的乘法构成直积： ?g,g?G,根据条件有： 19 g?g?g21 ?g?gg21gg?gggggggg, =21221121gggg(g,g)*(g,g)gggg可以可以看成是显然的具体化形式，而211222121211(gg,gg)的具体化形式，故G中元素的乘法满足直积定义

38、。看成 2121以上两个条件的必要性很显然，前面已经做了证明。 GG?G?GGG ,且系1 若G, 2121G?G?e,G?G,G?G 则 212123456?ea,a,aa,aa,阶循环群例 1.21 6Z= 636246?a,aae,aa?e,Z有不变子群: G ，G=216G,GG Z?GG?G?e,乘法可交换, 显然： 且 2112621Z?G?G?G?G 故16221 【定义1.22】 (群的半直积) F?f，存在同态映群个群G和G，G有自同构射定给两112?,F?:G?fg,F为G的自同构群，则作序对集合 12g22?Gg,g,g?g,gg?G,gGg，|：，并定义序对的乘法*G2

39、211222111有： ?(gf(ggg),gg)gg,g*g,ggg,? 21121g122211222则G在乘法“*”下构成群，称G为G，G的半直积，记为G = G, 。 G?1 122s 20 系1. G构成群 证明： 结合律： ?*(g,gg,gg*)g 211221?gg),gg)*,f(g(g=? 211g2212?,gggfg?(gfg)? =?212211ggg?222?g,g,g *gfgg)*(ggg,g,*gg,= 又? 2g211122211212) ),ggg(gf(gf(g=? 221gg11222)gggf)f(g), g(f(g=? 22g1g112g222)g

40、gf(g), g(g?fg)? ?2g12211gg?222f及同态映上的同构映射的保乘法结构不变的性质，为G上述计算利用了g2?的性质的保乘法结构不变性质：射 ?fg?fgfg?g g22g2gg2?2222单位元：（e, e）, 21?Gg,?g, 有： 21(g,g)*(e,e)?(g?f(e),g?e)?(g?e,g)?(g,g) 211122g11121222(e,e)*(g,g)?(e?f(g),e?g)?(e?g,g)?(g,g)f （利用了21121212e11122e22为自同构群F中的单位元，即恒等映射。） ?1?1?1)(?(f),gg,gg 逆元： 21211?g2 2

41、1 ?1?1?1?1),(f(gg),ggg)?(g?,ggf*(f(?21g21122111?gg222?1),ge)(g?f(?2111?gg?22?1),e)f(g?(g? 又：2e112?1,e)?(g?g211?(e,e)21?11?1?)gg),gg?)*(,(f(gg,?2221211?g2?1)?f(g),?(f(ge)21111?gg22?1?g),e)(g?(f 2111?g2(e),e?(f)211?g2?(e,e)21封闭性显然， 故G构成群。 ? G?,（g?G?,g）gG（, G?g,e）e定义 系2. 1121222112 ,G?G.G?G, G?G; G容易检验

42、： 221211系3. 容易发现： G?G?(e,e); i. 2211GG, 且分解唯一*ii. G=; 21 GG*GG?G*G?A(G)*G *iii. ，2211G21221GG?GG?, iv. 21 证明： i显然； 22 ? (g,g)?G的分解不唯一：ii假设 21?geee,g*?,g,g?gg,e*, 2121211122?1?1?,ge,右乘,g,e有：上式第二个等号两端同时左乘 2121?1?1ge?*eg,e,g*,g,e，即： 21211122?1?1?11?g?ee,g*g,effg*,e, 2221112111?ge22?11?g*egg,e*,gef?,ef,

43、 212e112121?g22?1?1?g*e*eg,e,?eg,g, 22211211?1?1?g,g,e?e?fgge?f? 2g211112e22?1?1?g,g?g,e?eg 即 221121上式左边 ?1?1?G?g?e,?ggG?g,e?, ?右边 22221111G?G?(e,e)知，必有由 2112?1?g?e ? g?gg 11111?1gg?e ? g?g ? 22222(g,g)的分解唯一。 即21ji?gGeg,e,?G, iii212112?gg,ge,ge),*,egefg( ?=21e122121212?g),gf(eg*,ge?ef),gg(,e? 而 ?=2g12g1221211?22 23 ?egg,g*?,eg,e*,e 故一般地：21221121GG*G*G? 即 1221 不过由于：?gg),*fg,e(e,g?22111g22?ge,),e*(f(g)fe),egf(g =?=22e2111g2g1222? G?G,gg?FGeg),f( |定义21g211212G2 GG*G?F(G)* 。故一般地有：2G1212GG?GG,?iv. 21?G,