函数凹凸性在不等式证明中的应用 毕业论文

1、 【标题】函数凹凸性在不等式证明中的应用 【作者】陈 小 翠 【关键词】凸性；不等式；几何特征 【指导老师】冯 彬 【专业】数学与应用数学 【正文】 1 引言 不等式的证明在数学问题中是经常碰到的，我们在中学时代就常常接触到不等式证明的问题，在那时，我们常用的不等式证明方法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法 等。进入大学以后，我们又学习了一些高等数学中常用的证明不等式的方法，例如利用函数的单调性、极大、极小值法和泰勒展式等方法 ，除此以外，我们还学习了一种很重要的方法，即是利用函数的凹凸性性质来证明一些不等式。 函数凹凸性，反映在图像上就是曲线的凹凸方向，为此运用它可以更深入和较

2、准确地掌握函数曲线的形状，这对于描绘函数的图形有很大的作用，关于这些，在高等数学的各类教材中都有详尽的论述，本文是在凹凸性常识的基础上，抛开它的主要作用，介绍了凹凸函数的定义及其几何特征，再通过举例说明函数凹凸性在证明不等式中的应用。 2 凹凸函数定义及几何特征 图1-1 凹凸函数是区分函数增减方式的两种不同类型的函数，即：虽然函数单调增加，但却可有如图1-1中所示的两种方式增加。直观地看，函数 所表示的曲线是向下凸的，于是我们把形如 的增长方式的函数称为下凸（凸）函数，而函数 所表示的曲线是向上凸的，于是我们把形如 的增长方式的函数称为上凸（凹）函数。 在高等数学的教材中，曲线的凹凸性直观定

3、义为： “设曲线弧的方程为 ，且曲线弧上每一点都有切线。如果在某区间内，该曲线弧位于其上任一点切线的上方，则称曲线弧在该区间内是凸的；如果在某区间内，该曲线弧位于其上任一点切线的下方，则称曲线弧在该区间内是凹的。” 2.1 定义的推广 在许多教材中，曲线的凹凸性有如下定义： 定义2.1 设 在 内连续，如果对 内的任意两点 恒有 函数；如果恒有)凸(的，函数称为下凸)凸(内的图形是向下凸 在 那么称 那么称 在 内的图形是严格向下凸(凸)的，函数称为严格下凸(凸)函数 如果对 内的任意两点 ， 恒有 那么称 在 内的图形是向上凸(凹)的，函数称为上凸（凹）函数；如果恒有 那么称 在 内的图形是

4、严格向上凸(凹)的，函数称为严格上凸（凹）函数。 定义2.2 设 在 内连续，如果对 内的任意两点 ， 恒有 (1.1) 其中正数 ， 满足 ，那么称 在 内的图形是凸的，函数称为凸函数；如果恒有 那么称 在 内的图形是严格凸的，函数称为严格凸函数。 如果对 内的任意两点 ， 恒有 那么称 在 内的图形是凹的，函数称为凹函数；如果恒有 那么称 在 内的图形是严格凹的，函数称为严格凹函数。 定义中， 是 ， 之间的任一点。因为当 时，有 反之， ， 之间的任一点 可表示为 , 记 ， 时有 ， 且 ，从而 显然，定义2.1是定义2.2中 的情形。从而定义1.1的条例弱于定义1.2。 根据函数的凹

5、凸定义，不难证明，若函数 在区间I是凹的，则函数 在区间I就是凸的，从而，我们对凸函数特征的讨论可在凹函数上适用。 2.2 凹凸函数的几何特征 如图1-2： 图1-2 设 ， 是凸函数 曲线上两点，它们对应的横坐标 ， ，则存在 ， ，使得 ，过点 作 轴的垂线交函数于A，交 于B，则（1.1）式左端即为A点纵坐标，右端即为B点纵坐标，因此，凸函数的几何意义就是：其函数曲线任意两点 与 之间的部分位于弦 的下方或曲线在任一点切线上方。 根据以上几何特征，下面推导一个关于凸函数的直接不等式，设 为凸函数， 为 上的任一弦，设 ， ，不妨设 ，则直线 的方程为： 从而由上所述，凸函数几何性质为：

6、（1.2） 而对于严格凸函数则有： 因此，同理，对于凹函数，我们得到的不等式则为： 而对于严格凹函数，我们得到的不等式则为： 3 凹凸函数的判别法 凹凸函数的判别准则在一般教材中均有述及，下面是5中的一个判别凹凸函数准则： 如果函数 在 内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定函数曲线的凹凸性，这就是下面的曲线凹凸性的判定定理。我们仅就 为闭区间的情形来叙述定理，当 不是闭区间时，定理类同。 定理2.1 若函数 在 上连续，且在 内具有一阶和二阶的导数，对 ，恒有 ，则曲线 在区间 上是凸（凹）的。（证明省略） 下面我们将从不等式（1.1）、（1.2）出发，适当选取 来证明一些不等式。

7、 4 凸函数在证明不等式中的应用 在中学数学和高等数学的数学分析、高等代数、概率论等课程中，常常会遇到一些不等式证明的问题，这些不等式往往是很难通过常规方法得到证明的，然而，利用函数凹凸性，却常常可以很简洁、巧妙地得到证明。 利用函数凹凸性证明不等式，关键是构造出能够解决问题的函数。下面先证明凸函数的一个重要性质，然后用此性质很方便地证明一些不等式。 4.1 不等式（1.1）的应用 不等式（1.1）是凸函数定义的一个等价形式，所以不等式（1.1）的应用实际上是凸函数定义的直接应用，（1.1）式的一个直接结果是詹生（Jenson）不等式。 命题4.1 若函数 在区间I 是凸的， ，则有不等式 (

8、3.1) （若函数 在区间I上是严格凸的，则等号仅在 时成立）。 其证明可参见4，运用了数学归纳法。 证明 由数学归纳法 时，由凸函数的定义中的（1.1）式 若 在区间 上是严格凸的，根据定义1.2，可知若 ，则： 故等号仅在 时成立，从而结论成立； 设 时，结论成立； 当 时，设 记 则 从而 ，且 ， 又 时结论成立，有： 等号仅当 时成立。又由归纳假设，有： 因此 即 根据定义2.2，同，若函数 在区间 上是严格凸的，则等号仅在 (这时又必有 )时成立，从而等号仅在 时成立。 由于, 两步的证明，命题成立。 如在（1.1）式及（3.1）式中，适当选取 的表达式，则可巧妙地证明一些不等式。

9、下面将举例说明。 例4.1 一类有关三角不等式的问题：设 , , 是 的三个内角，证明 证明 设 ，因为在 内， 所以 是 上的凸函数，由不等式(2)可得 即 即 注：正确的设出函数 是解出本题的关键。 例4.2 证明不等式 其中 证明 设 则 ， 由条件可知 ，从而 为凸函数。 取 ，再由Jenson不等式（3.1）有 即 例4.3 有限个正数的几何平均值不超过它们的算术平均值，即设 ，则 , 且等号仅在 时成立。 分析 将本题要求证明不等式作出变形： 可以发现经变换后的不等式结构与(4.1)式结构相似，于是构造出凸函数 辅助证明。 证明 不妨设 ，令 ，则 由凹凸性的判定定理， 在 内是凸

10、函数, 取 ，根据(3.1)式，有 即 从而 即 例4.4 证明不等式 ， 。 分析 要证出本题不等式等价于证明不等式 根据凹凸函数的定义，可以利用凸函数的性质来得到证明。 证明 取 ，则 ，而 由凹凸函数判定定理，可知 为凸函数， 如取 ， ，由Jenson不等式有 即有 即 应用凸函数解决不等式的证明，特别是引进了辅助函数时，要注意考察它的上凸与下凸的特征，并要注意函数的定义域，否则容易在解题时出差错。 4.2 不等式（1.2）的应用 不等式（1.2）是由凸函数的几何特征得到的，要得到所要证的不等式，需要跟据所给出的不等式形式适当选取 ， 的值，所以这种方法具有一定的构造性，灵活性，难度相对大些。 例4.5 证明杨格（young）不等式： 证明 取 ，那么 所以 为凹函数，直线 的方程为 ， 取 则 如取 由（1.2）式 即 即 又因为 在定义域上为严格增函数，所以有 例4.6 证明不等式 证明 此例是例4.2的特例，下面用不等式（1.2）的方法给予证明。 取 ，则 所以 为凸函数，由（1.2）式有 取 从而有 ， 化简后得： 5 小结 综上所述，利用凸函数定义及几