第6章几何造型.

1、第 6 章 几何造型几何造型 :通过对点、线、面、体等几何元素 ,经过平移、旋转、变化等几何变 换和并、交、差 等集合运算 ,产生实际的或想象的物体模型。6.1 形体在计算机中的表示如何用计算机内的一维存储空间来存放由几何元素的集合所定义的形体 , 几何 造型中最基本的问 题。6.1.1 几何元素的定义几何造型中基本元素 :点、边、面、体等的定义。1. 点几何造型中最基本的元素 ,零维几何元素 ,分端点、交点、切点和孤立点。形体 定义中不允许存 在孤立点。自由曲线和曲面中的点 :(1控制点 :确定曲线和曲面的位置与形状 ,不一定经过。(2型值点 :确定曲线和曲面的位置与形状 ,一定经过。(3插

2、值点 :为提高曲线和曲面的输出精度 ,在型值点之间插入的点。一维空间中的点用一元组 t 表示;二维空间中的点用二元组 x , y 表示 ;三维 空间中的点用三元 组 x, y , z 表示。用计算机存储、管理、输出形体的实质就是对点集及其连接关系的处理。2. 边一维几何元素 ,两个邻面 (正则形体或多个邻面 (非正则形体的交界。直线边由端点定界 ;曲线边由型值点或控制点表示。3. 面二维几何元素 ,形体上一个有限、非零区域 ,范围由一个外环和若干个内环界 定。可以无内环 ,必须有且只有一个外环。有方向性 ,面的正向定义为外法矢量方向。正向 :外法矢量向外 ;反向 :外法矢量 向内。 区分面的方

3、向在面面求交、交线分类、真实感图形显示等方面很重要。4. 环有序、有向边组成的面的封闭边界。环中的边不能相交 ,相邻两条边共享一个端点。内环 :确定面的最大外边界的环 ,边按逆时针方向排序。外环 :确定面的中内孔的环 ,边按顺时针方向排序。在面上沿一个环前进 ,左侧总是面内 ,右侧总是面外。5. 体三维几何元素 ,由封闭表面围成的空间 ,欧氏空间 R 3中非空、有界的封闭子集 , 边界是有限面的 并集。为了保证几何造型的可靠性和可加工性要求定义的形体是正则形体。正则形体:形体上任意一点的足够小的领域在拓扑上应是一个等价的封闭圆, 即 围绕该点的形体 邻域在二维空间中可构成一个单连通域非正则形体

4、举例：悬面、悬边、一条边有两个以上邻面、点的小邻域不是单连通域，如图6.1所示图6.1非正则形体举例表6.1基于点、边、面几何元素的正则形体和非正则形体的区别几何元素正则形体非正则形体面是形体表面的一部分 可以是形体表面的一部分，也可以是形体内的一部分 也可以与形体分离。边只有两个邻面可以有多个邻面、一个邻面或没有邻面。点至少和三个面（或三条边邻接可以与多个面（或边邻接，也可以是聚集体、 聚集面、聚集边或孤立点。6. 体素可以用有限个尺寸参数定位和定形的体。定义形式 :(1 从实际形体中选择出来 ,可用确定的尺寸参数控制其最终位置和形状的单元 实体 ,如长方体、 圆柱体、圆锥体、圆环体、球体等

5、。(2 由参数定义的一条 (或一组 截面轮廓线沿一条 (或一组 空间参数曲线作扫描 运动产生的形体。(3用代数半空间定义的形体,(x , y , z |f(x , y ,z只能定义正则形体。几何元素间有两类信息 :几何信息和拓扑信息。几何信息 :表示几何元素性质和度量关系 ,如位置、大小、方向等。拓扑信息 :表示几何元素之间的连接关系。形体 =几何信息 +拓扑信息7. 定义形体的层次结构形体在计算机中用几何元素按六个层次表示 ,如图 6.2所示 :图 6.2 形体定义层次结构6.1.2 几何模型在几何造型系统中 ,描述物体的三维模型通常有三种 ,即线框模型、表面模型和 实体模型。 1. 线框模

6、型线框模型是计算机图形学和 CAD/CAM 领域最早用来表示物体的模型 , 计算机 绘图是这种模型的 一个重要应用。线框模型用顶点和棱边来表示物体 ,如图 6.3所 示的立方体。图6.3立方体若给出其8个顶点v 1, v 2,V的坐标，则此立方体的形状和位置在几何上就 被确定了，再用e 1, e 2,e血12条棱就可以把立方体表示出来。其立方体棱边 和顶点的关系如图6.4所示。图6.4立方体棱边和顶点的关系通过给出的顶点坐标、顶点与棱边之间的关系表实现物体的表示图6.5线框模型各顶点坐标和端点与线段之间的关系表优点:模型简单、实现方便、运算量小缺点:没有面的信息，不能表示表面含有曲面的物体；不

7、能明确定义给定点于物体 之间的关系，不能处理剖切图、消隐图等。2.表面模型表面模型在线框模型的基础上增加了物体中面的信息，用棱边所围成的封闭区域定义实体表面，用面的集合来表示物体。物体中面的信息一般采用单链面边表数 据结构表示，对应于图6.1的立方体的单链面边表数据结构如图6.6所示。表鹿棱线表11, 3U224103, 12,7 , 1168 12图6.6立方体的单链面边表数据结构由于增加了面的信息，因此表面模型扩大了线框模型的应用范围，能够满足面面 求交、线面消隐、明暗色彩图、数控加工等需要。但在该模型中，除了边点表外，只 有面的信息，物体究竟存在于表面 的哪一侧，并没有给出明确的定义，无

8、法计算和分析 物体的整体性质，如物体的表面积、体积和重心 等，也不能将这个物体作为一个整体 去考察它与其它物体相互关联的性质，如是否相交等。3.实体模型实体模型是在表面模型的基础上，通过对表面的那一侧存在实体给出明确定义， 由表面直接构造 实体的一种几何模型。确定实体存在侧的方法通常有三种(如图6.7所示:(1在定义表面的同时，给出实体存在侧一个点；(2直接用一向量指明实体存在侧；(3用有关棱边隐含表示外法向量方向，有向棱边按右手法则取向表面11, 2d冷5.rt.7.S图6.7确定实体存在侧的方法优点:可以明确点与物体的关系。缺点:只能表示正则形体、抽象形体的层次较低。4.三种模型的功能比较

9、表6.2三种模型功能比较模型应用范围局限性二维线框 画二维线框图(工程图无观察参数变化；不可能产生有实际意义的形体。三维线框画二、三维线框图 不能表示实体；图形会有二义性。 表面模型艺术图形；形体表面显示；数控加工。不能表示实体。实体模型物性计算；有限元分析；用集合运算构造形体。只能产生正则形体；抽象形体的层次较低。为了克服某种模型的局限性，在实用化的几何造型系统中常统一使用线框、表面和实体模型。6.1.3常见形体表示方法1.分解表示分解表示是将形体按某种规则分解为小的更易于描述的部分，每一小部分又可 分为更小的部分这种分解过程直至每一小部分都能够直接描述为止优点:简单，容易实现形体的交、并、

10、差计算缺点：占用的存储空间大，物体的边界面没有直接表示般把形体空间细分每一小部分都是一种固定形状的单元（8）COlc）图6.8八叉树表示形体的一个实例2.构造表示构造表示是按照生成过程来定义形体的方法，通常有扫描表示、构造实体几何 表示和特征表示三种方法。(1扫描表示扫描表示是一种基于图元（如一个点、一条线或一个面，沿某一个给定轨迹移 动而形成特定几何 体的方法。如图6.7所示，图形B是梯形A绕z轴作旋转扫描后 形成的形体。图6.9图形B是梯形A绕Z轴作旋转扫描后形成的形体两个要素：被移动的形体和移动轨迹。优点:易于理解、易于执行。（2构造实体几何表示（CSG构造实体几何是通过对体素定义运算而

11、得到新形体的一种表示方法。体素表示的有效性决定了形 体表示的有效性，必须细致定义各种体素。图6.10定义形体的CGS树优点：（1数据结构简单，数据量小，数据管理容 易；（2每个CGS表示都和一个实际有效的形体相对应；（3可方便的转换为边表示，支持广泛的应用；（4形状容易修改。缺点：（1对形体的局部操作不易实现； （2边界元素隐含表示，不易绘制形体。3.边界表示 边界表示（BoundaryReprese ntatior也称为BR表示或BRep表示，是以物体边界为基础，定义和 描述 几何形体的方法。物体的边界通常由面的并集来表示，而每个面又由它所在的曲 面的定义加上其边界来表示，面的 边界是边的并

12、集，而边又是由点来表示的。最基本的几何元素点（V、边（E、面（F,三种几何元素一共有九种连接关系，如图6.11所示。图6.11点、边、面之间的连接关系6长方体：六个面围成，对应六个环，每个环由四条边界定，每条边又由两个端 点定义。 优点： (1 表示形体的点、边、面等几何元素是显式表示的，绘制形体速 度较快，较容易确定几何元素间 的连接关系； (2 可有多种操作和运算。 缺点： (1 数据结构复杂，需要大量的存储空间，维护内部数据结构的程序比较复杂； (2 修 改形体的操作比较难以实现； (3 边界表示并不一定对应一个有效形体， 即需要有 专门的程序来保证边界表示形体的有效性、 正 则性等。

13、6.2 边界表示的数据结构 与欧拉操作 6.2.1 翼边结构 翼边数据结构：出发点为形体的边，从边出发查找该边 的邻面、邻边、端点及其属性。 图 6.12 翼边数据结构 举例： 边 e1 起点 v1 终点 v2 左上边 e2 右上边 e10 左下边 e4 右下边 e9 左外环 s1 右外环 s4 优点：能很好的 表示多面体。 缺点：不能表示曲面边界实体。 6.2.2 欧拉操作 对于正则形体 , 其面 (f、边(e、顶点(v的数目满足欧拉公式：v-e+f=2例如，长方体8个顶点，12条 边， 6 个面。满足公式 8-12+6=2。这就是著名的欧拉公式。 对于任意的正则形体，弓I入形体的其它几个参数：形体所有面上的内孔总数(r、穿透形体的孔洞 数(h和形体非连通部分总数(s,则形体满足公式v-e+f=2(s-h+r例如，中间有长方体孔 洞的长方体， 16 个顶点， 24 条边， 10 个面， 2 个内孔， 1 个孔洞， 1 个形体。满 足公式