教师培训课件：数学建模中的风险决策

1、风险决策的例风险决策的例 渔船是否出海？ 是否应该投资房产业？ 如何填报高考志愿？ 共同点：要求在具有不确定因素下作出决策 为什么说这是一个骗局（随机变量及数学为什么说这是一个骗局（随机变量及数学 期望）期望） 问题提出： 小华在一次旅游途中看到，有人用 20 枚签（其中 10 枚标有 5 分分值，10 枚标有 10 分分值）设赌。 让游客从中抽出 10 枚，以 10 枚签的分值总和为 奖、罚依据。具体奖罚金额见下表： 这些奖是不是这么好拿呢？让我们来 做一番计算。 分值50，10055，9560，65，85，9070，75，80 奖罚金额奖100元奖10元不奖不罚罚1元 随机变量及其分布随机

2、变量及其分布: 用用X 表示奖罚金额。表示奖罚金额。 X 以一定的概率取值，我们称以一定的概率取值，我们称 X 为为随机变量随机变量。 此处，此处，X 的取值范围为的取值范围为 -1、0、10、100，我们又称之为，我们又称之为离散型随机离散型随机 变量。变量。 X 取以上取以上4个值的概率：个值的概率： X -1 0 10 100 P0.821100.177811.0825*10-31.0825*10-5 数学期望数学期望: 如何来计算平均值？设想上表中的第二行不是相应的概率值，而是如何来计算平均值？设想上表中的第二行不是相应的概率值，而是n次试次试 验相应的频率值。那么在这验相应的频率值。

3、那么在这 n 次试验中，次试验中，X 的的实际实际平均值为：平均值为： 当试验次数越来越大时，频率将稳定于概率。上 式算出的不是n 次试验中 X 的实际平均值，而是 指：如果把试验一直进行下去，我们期望能得到 的理论上的平均值。数学上称之为数学期望 （expectation），记为EX。 利用数学期望的概念，可以得出这样的结论：近 似地说，所有参加的人平均每人给摊主0.81元。 人数越多，这种说法就越精确。 元元）(81. 0 100825. 1100100825. 1101778. 008211. 0) 1( 53 X 他该如何选择（风险决策）他该如何选择（风险决策） 数学期望最优决策和填志

4、愿数学期望最优决策和填志愿 问题提出：问题提出： 小华参加高考前需填报三个志愿。根据其学习成绩及对各专业（学校小华参加高考前需填报三个志愿。根据其学习成绩及对各专业（学校 ）的喜好程度得到下表：）的喜好程度得到下表： 专业 喜好程度第一志愿第二志愿第三志愿 (学校) 分值录取概率录取概率录取概率 A 10 0.2 0 0 B 9 0.4 0.1 0 C 8 0.6 0.5 0.3 D 6 0.9 0.9 0.7 他该如何选 择？ 客观状况带有随机性的决策称为风险决策。 决策准则是：使决策在平均意义下达到最优。 即在客观状况带有随机性波动的情况下，追求的 是目标均值（数学期望）的最优化。 替小华

5、做参谋替小华做参谋 决策准则是：使喜好程度得分决策准则是：使喜好程度得分X 的数学期望的数学期望EX最高。最高。 学校录取学生是按志愿依次录取。若第学校录取学生是按志愿依次录取。若第3志愿还未被志愿还未被 录取，小华将高考落第。所以应先考虑第录取，小华将高考落第。所以应先考虑第3志愿。志愿。 C、D 两种选择的喜好程度得分期望值分别为：两种选择的喜好程度得分期望值分别为： E3(XC) =0.3*8=2.4， E3(XD) =0.7*6 = 4.2。 因为因为E3(XD) E3(XC），），第第3志愿应选择志愿应选择 D 。 再考虑第再考虑第2志愿，在志愿，在B、C、D这这3种选择中，喜好程度

6、得分期望值分别为种选择中，喜好程度得分期望值分别为 ： E2(XB) = 0.1*9+0.9*4.2 = 4.68 E2(XC)= 0.5*8+0.5*4.2 = 6.1 ； E2(XD) = 0.9*6+0.1*4.2 = 5.82。 因为因为E2(XC) E2(XD) E2(XB），第第2志愿应选择志愿应选择C。 最后再考虑第最后再考虑第1志愿。喜好程度得分期望值分别为志愿。喜好程度得分期望值分别为 ： E1(XA)=0.2*10+0.8*6.1=6.88；E1(XB)=0.4*9+0.6*6.1=7.26； E1(XC)=0.6*8+0.4*6.1=7.24； 因为：因为：E1(XB)

7、E1(XC) E1(XA) , 所以第所以第1志愿应选择志愿应选择B。 小华第小华第1、第、第2、第、第3志愿应分别选择志愿应分别选择B，C，D。 验血问题 问题提出： 全校1500名同学都参加了学校组织的体检。 如 果检验阳性率 p 较低，而需检验的人数又很多。用 下面这种方法进行验血是否可以减少化验次数： 按 k 个人一组进行分组, 把从k 个人抽来的血混 合在一起进行检验。如果这混合血液呈阴性反应， 就说明 k 个人的血都呈阴性反应。若呈阳性，则再 对这 k 个人的血分别进行化验。 如果这种方法进行验血可以减少化验次数的话 ，那么 k 等于几时，可以使检验次数最少？ 以X 表示某人的验血

8、次数。 若按常规方法验血，每人验一次，则X=1为常 数； 若进行分组，则 X 为随机变量： 当此人所在小组的混合血液呈阴性反应时 X=1/k ； 当此人所在小组的混合血液呈阳性反应时 X=1+1/k 。 PX=1/k=P该小组的混合血液呈阴性反应 =P小组的每一位成员的血液均呈阴性反应= （1-p）k； PX=1+1/k=P该小组的混合血液呈阳性反应 =P小组中至少有一位成员的血液呈阳性反应 =1-（1-p）k。 X的概率分布为： X1/k1+1/k p（1-p）k1-（1-p）k 平均验血次数平均验血次数 EX= 1/k*（1-p）k+(1+1/k )*( 1-（1-p）k)=1-（1-p）

9、k+1/k. 当当 p已知时，我们可以选取已知时，我们可以选取 k 使之最小。使之最小。 例如例如 p=0.1，当当 k = 4时，时，EX=1-0.9 k+1/4=0.594。 所需的平均验血次数为所需的平均验血次数为 n=1500* 0.594= 891次次 面包房进货问题 问题提出： 一家面包房，某种面包每天的需求量为100、 150、200、250、300的概率分别为0.2、0.25、 0.3、0.15和0.1。每个面包的进货价为2.50元， 销售价为4元，若当天不能售完，剩下的只能以 每只2元的价格处理。每天该进多少货？（进货 量必须是50的倍数） X 为随机变量其概率分布为： X1

10、00150200250300 p0.20.250.30.150.1 利润用 L 表示；进货量用 y 表示。有： yXy yXyX yXy yXXyX L 5 . 1 5 . 02 )5 . 24( )(25 . 2()5 . 24( L依赖于进货量 y 和需求量 X，所以L也是随机 变量。 这是一个风险决策问题。 决定进货量应以平均利润 E(L) 为标准。 当 y=100 时, EL=1.5y=150(元)； 当 y=150 时, 若X=100，则L=2X-0.5y=125（元）； 若X150，则L=1.5y=225（元）； L的概率分布为： L125225 p0.20.8 EL=0.2*12

11、5+0.8*225=205(元)； 当 y=200 时 若 X =100，则L=2X-0.5y=100（元 ）； 若 X =150，则L=2X-0.5y =200（元 ）； 若 X 200，则L=1.5y=300（元）； L的概率分布为： EL=0.2*100+0.25*200+0.55*300=235(元) L100200300 p0.20.250.55 当 y=250 时 若 X = 100，则L=2X- 0.5y=75（元）； 若 X = 150，则L=2X-0.5y =175（元）； 若 X = 200，则L=2X-0.5y =275（元）； 若 X 250，则L=1.5y=375（ 元）； L 的概率分布为： L75175275375 p0.20.250.30.25 EL=0.2*75+0.25*175+0.3*275+0.25*375 =235（元） 当 y=300 时 L的概率分布为： 比较