第9章平稳时间序列模型

1、. 第 9 章 平稳时间序列模型 9.1 随机过程 、时间序列 1.随机过程 由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，随机过程简记为xt 或 x(t) ，xt 。随机过程也常简称为过程。 2.随机过程的为类 随机过程一般分为两类。 （ 1 ）离散型 。如果一个随机过程 xt 对任意的 t T 都是一个离散型随机变量，则称此随机过程为离散型随机过程 。 （ 2 ）连续型 。如果一个随机过程 xt 对任意的 t T 都是一个连续型随机变量，则称此随机过程为连续型随机过程 。 3 宽平稳过程 （ 1）m 阶宽平稳过程 。如果一个随机过程 m 阶矩以下的矩的取值全部与时间无关，则称该过程为 m 阶宽

2、平稳过程 。 （ 2）二阶宽平稳过程 。如果一个随机过程 xt Ex(t ) = E x(t + k) = , Var x(t ) = Var x(t + k) = 2 , Cov x(ti ),x(tj ) =Cov x(t i + k),x(tj + k)= i j 2 , 其中 , 2 和 2 为常数，不随 t , ( t T ); k ,( r + k ) , r = i , j ) 变化而 ij t T 变化，则称该随机过程 xt 为二阶平稳过程 。该过程属于宽平稳过程 。 4.时间序列 随机过程的一次实现称为时间序列 ，也用 x t 或 x t 表示。 时间序列中的元素称为观测值

3、。xt 既表示随机过程 ，也表示时间序列 。xt 既表示随机过程的元素随机变量 ，也表示时间序列的元素观测值 。在不致引起混 专业 .专注. . 淆的情况下 ，为方便， xt 也直接表示随机过程和时间序列。 5.滞后算子 (1) 一阶滞后算子 。L 称为一阶滞后算子 ，其定义是 ： Lx t = xt-1 (2) 高阶滞后算子 。 L2 x t = xt- 2 ， Ln x t = xt- n 6.差分算子 时间序列变量的本期值与其滞后值相减的运算叫差分 。对于时间序列 x t ， （1）一阶差分可表示为 x t = x t - x t -1 = x t - L x t =(1- L) x t

4、 (9.1) 其中 称为一阶差分算子 。 =(1- L) （2 ）二次一阶差分表示为 xt =( xt) =xt -xt -1 =( xt - x t -1 )(xt-1 -x t -2 ) = xt- 2 xt -1 + x t 2， 或 xt = (1- L )2xt = (1 2L + L 2 ) xt = xt 2 x t-1 + xt2 (9.2) (3) k 阶差分可表示为 k x t =xt - xt - k = xt Lk x t =(1-Lk ) xt k 阶差分常用于季节性数据的差分。 7.两种基本的随机过程 (1) 白噪声（white noise）过程 对于随机过程 x

5、t , tT , 如果 (1) E( xt ) = 0, (2) Var( xt) = 2 , t T; 专业 .专注. . (3) Cov( xt ,xt + k )=0, ( t + k )T , k0 ,则称 xt 为白噪声过程 。 白噪声是平稳的随机过程 ，因其均值为零 ，方差不变 ，随机变量之间非相关。显然上述白噪声是二阶宽平稳随机过程 。 (2) 随机游走 （random walk ）过程对于下面的表达式 xt = xt -1 + u t (9.3) 如果 ut 为白噪声过程 ，则称 xt 为随机游走过程 。 “随机游走 ”一词首次出现于 1905 年自然 （ Nature ）杂志

6、第 72 卷 Pearson K. 和 Rayleigh L.的一篇通信中 。该信件的题目是 “随机游走问题 ”。 文中讨论寻找一个被放在野地中央的醉汉的最佳策略是从投放点开始搜索。 随机游走过程的均值为零 xt = xt -1 + u t = ut + ut -1 + xt -2 = ut + ut-1 + u t -2 + E(xt ) = E( ut + ut -1 + u t-2 + ) = 0, 随机游走过程的方差为无限大 Var( xt ) = Var( ut + t u ut-1 + u t-2 + )= 2 所以随机游走过程是非平稳的随机过程。 专业 .专注. . 1.2 时间

7、序列模型的分类 1 自回归过程 1) 定义 如果一个线性过程xt 可表达为 xt = 1 xt-1 +2 xt -2 + + p xt- p + u t (9.4) 其中 , i =1, , 是自回归参数 ， ut 是白噪声过程 ，则称 xt 为 p 阶自回归过 i p 程，用 AR(p)表示 。 模型 : xt =1 xt -1 +2 xt -2 + + p xt - p + u t 称为 p 阶自回归模型 。xt 是由它的 p 个滞后变量的加权和以及 ut 相加而成 。 2) 滞后算子表示自回归过程 xt = 1 xt -1 + 2 xt -2 + + p xt - p + u t xt

8、= 1 Lx t + 2 L2xt + + p Lp x t + u t 即xt - 1 L x t - 2 L2xt - - p Lp x t = u t (1- 1 L - 2L2- - p Lp ) xt = u t ) x t = u t (9.5) L 其中 L)=1- 1 L - 2L2- - p Lp 称为特征多项式或自回归算子 。 L 或 1- 1 L - 2 2 - - p = 0 ，称为特征方程 。 )=0, L p L 3）平稳性 （1）一阶自回归过程的平稳性 AR( p)过程中最常用的是 AR(1) 过程 : xt = 1 xt-1 + u t 特征方程是 (1 - 1

9、 ) = 0 L 特征方程根是 L =1/ 1 保持其平稳性的条件是特征根的绝对值必须大于1，满足 |1/1|1 专业 .专注. . . . . 也就是 | 1|1 解释如下 ：一阶自回归过程 ，xt = 1 xt-1 + u t ，可写为 (1- 1L) xt = u t xt 1 ut 1 1 L 在 | 1|1 条件下，有 x t = (1+ 1 L + ( 1 ) 2 + ( 1 ) 3 + ) u t L L 若保证 AR(1) 具有平稳性 ， i i 必须收敛 ，即 1 必须满足 | 1| 1。这是容 i 0 1 L 易理解的 ，如果 | 1| 1 ， i 0 1i Li 发散，于

10、是 xt 变成一个非平稳随机过程 。 （2）一阶自回归过程的均值方差 由（9.7 ）式有 xt = ut + 1 u t -1 + 12 xt -2 = ut + 1 u t-1 + 2 u t -2 + （短记忆过程 ） 1 因为 ut 是一个白噪声过程 ，所以对于平稳的 AR(1) 过程 E(xt) = 0 Var ( xt) = 2 + 2 2 + 4 2 +=1 1 2 1 12 u u 1 u u 上式也说明若保证 xt 平稳，必须保证 | 1|1 。 对于自回归过程AR(p)，如果其特征方程 z) = 1- 1 z - 2 z2 - - p z p= 0 (9.6) 的所有根的绝对

11、值都大于1，则 AR( p)是一个平稳的随机过程。 专业 .专注. . 2移动平均过程 1）定义 如果一个线性随机过程xt 可用下式表达 xt = u t +1 u t 1 +2 u t -2+ + q u t q 其中1 ,2 , ,q 是回归参数 ，ut 为白噪声过程 ，则称 xt 为 q 阶移动平均过 程，记为 MA( q ) 。上式称移动平均模型 。 2) 滞后算子表示移动平均过程 x t = u t + 1 u 1 + 2 u t -2+ q u t q t = (1 u t + 1 L u t + 2 L2 u t + + q Lq u t) =(1+ 1 L + 2 L2 + +

12、 q Lq) u t = L) u t 其中 L)=1+ 1 L + 2L2+ + q Lq 称为特征多项式或移动平均算子 。 )=0,或1+ 1L + 2 + q = 0 ，称为特征方程 。 L 2 L + q L 之所以称 “移动平均 ”，是因为 xt 是由 q +1 个 ut 和 ut 滞后项的加权和构造 而成 。“移动”指 t 的变化，“平均 ”指加权和 。 3）平稳性 由定义知任何一个 q 阶移动平均过程都是由 q +1 个白噪声变量的加权和组成，所以任何一个移动平均过程都是平稳的 。 4）可逆性 与移动平均过程相联系的一个重要概念是可逆性。 （1）一阶移动平均过程可逆性 MA( q

13、) 过程中最常见的是一阶移动平均过程 ， xt = (1+ 1 L) ut (9.7) 其具有可逆性的条件是 （ 1 + 1 ) = 0 的根（绝对值 ）应大于 1 ，即 |1/ L 专业 .专注. . 1| 1,或|1| 1 。 当| 1 | 1 时，MA(1) 过程（1.14 ）应变换为 ut =(1 + 1 )1 xt =(1- 1 L + 1 2 2 - 1 3 3 + ) xt (9.8) L L L 这是一个无限阶的以几何衰减特征为权数的自回归过程。 （2）一阶移动平均过程的均值和方差 对于 MA(1) 过程有 E(x t ) = E( ut ) + E( 1 u t - 1 )

14、= 0 Var( xt ) = Var( ut) + Var( 1 u t 1) = (1 + 1 2 ) u 2 （3）一般移动平均过程可逆性 移动平均过程具有可逆性的条件是特征方程 。 z) = (1 +1 z +2 z2 + +q zq ) = 0(9.9) 的全部根的绝对值必须大于1。 MA( q)过程具有可逆性的条件是特征方程L) = 0 的根必须在单位圆之 外。 （4）移动平均过程均值方差 对于无限阶的移动平均过程 xt = ( i u t -i = (1+ 1 L + 2 L 2 + ) ut (9.10) i 0 其方差为 Var( xt ) = ( i 2 Var ( ) =

15、 2 2 (9.11) ut i u i i 0 i 0 很明显虽然有限阶移动平均过程都是平稳的 ，但对于无限阶移动平均过程还须 另加约束条件才能保证其平稳性 。这条件就是 x t 的方差必须为有限值 ，即 2 i i 0 5）自回归与移动平均过程的关系 专业 .专注. . 一个平稳的 AR( p)过程 (1 -1 L -2 L2 - -p Lp ) xt = ut 可以转换为一个无限阶的移动平均过程， xt = (1 -1L -2L2 - -pLp )-1 u t =L)-1 ut 一个可逆的 MA( p)过程 x t = (1 + 1 L + 2 2 + + q q ) t = ) t L

16、 L u L u 可转换成一个无限阶的自回归过程 ， (1 + 1L + 2 + + q q)-1 x t = ) -1 x t = u t 2 L L L 对于 AR( )过程只需考虑平稳性问题 ，条件是 ) = 0 的根（绝对值） p L 必须大于 1。不必考虑可逆性问题 。 对于 MA( q )过程，只需考虑可逆性问题 ，条件是 ) = 0 的根（绝对 L 值）必须大于 1，不必考虑平稳性问题 。 3 自回归移动平均过程 1）自回归移动平均过程定义 由自回归和移动平均两部分共同构成的随机过程称为自回归移动平均过 程，记为 ARMA( p, q), 其中 p, q 分别表示自回归和移动平均

17、部分的最大阶 数。ARMA( p, q) 的一般表达式是 xt =1 xt-1 +2xt-2+ p xt- p +ut +1 ut -1 +2 ut-2 + .+q ut-q (9.12) 即 (1 -1 L -2 L2 - -p Lp ) xt = (1 +1 L +2 L2 + + q Lq )ut 或 ( ) x t = ( ) u t （9.13 ） L L 专业 .专注. . 其中(L) 和(L) 分别表示 L 的 p, q 阶特征多项式 。(L) =0 和(L)=0 分别表示 L 的 p, q 阶特征方程 。 2）平稳性和可逆性 ARMA( p, q) 过程的平稳性只依赖于其自回归

18、部分，即(L) = 0的全部 根取值在单位圆之外 （绝对值大于 1）。 可逆性则只依赖于移动平均部分，即(L) = 0 的根取值应在单位圆之 外。 实际中最常用的是ARMA(1, 1) 过程 。 xt -1 xt -1 =ut +1 ut - 1(9.14) 或（1 -1 L）xt = （1 +1 L）ut 很明显只有当1 1 1 和 1 1 1 时，上述模型才是平稳的，可逆 的。 4 单整自回归移动平均过程 1）单位根过程的差分 随机游走 xt = 1 xt- 1 + ut xt = ut xt 平稳 即特征方程的若干根取值恰好在单位圆上 。 这种根称为单位根 ，这种过程也是非平稳的 。下面

19、介绍这种重要的非平稳随机过程 。 2）强非平稳过程差分 如果若干个或全部根取值在单位圆之内，则该过程是强非平稳的 。 例如，xt = 1.3xt- 1 + ut 专业 .专注. . 特征方程为 （ 1-1.3 L）=0 ，特征方程的根 （L = 1/1.3 = 0.77 ）xt 是非平稳 的。 上式两侧同减xt-1 得 xt = 0.3xt- 1 + ut xt 仍然非平稳 。 3）单整自回归移动平均过程。 假设一个随机过程含有d 个单位根 ，其经过 d 次差分之后可以变换为一个平 稳的自回归移动平均过程。则该随机过程称为单整自回归移动平均过程。 伯克斯 詹金斯积数十年理论与实践的研究指出，时

20、间序列的非平稳性是多 种多样的 ，然而幸运的是经济时间序列常常具有这种特殊的线性齐次非平稳特 性（即参数是线性的 ，xt 及其滞后项都是一次幂的）。对于一个非季节性经济 时间序列常常可以用含有一个或多个单位根的随机过程模型描述。 考虑如下模型 ( ) d y t = ( ) (9.15) L L u t 其中 (L) 是一个平稳的自回归算子 。即 (z) = 0 的根都大于 1。 (L)表示可 逆的移动平均算子 。若取 xt =d yt(9.16) 则（9.16 ）可表示为 (L) x t =(L) u t(9.17) 说明 yt 经过 d 次差分之后 ，可用一个平稳的 、可逆的 ARMA 过

21、程 xt 表示 。 专业 .专注. . 10 ARIMA 0 - 1 0 - 2 0 - 3 0 20406080100120140160180200 图 1.5 ARIMA(1,1,1) 过程 随机过程 yt 经过 d 次差分之后可变换为一个以(L)为 p 阶自回归算子 ， (L)为 q 阶移动平均算子的平稳 、可逆的随机过程 ，则称 yt 为（p, d, q）阶单整 (单积 )自回归移动平均过程 ，记为 ARIMA ( p, d, q)。这种取名的目的是与以后各章中的称谓相一致 。ARIMA 过程也称为综合自回归移动平均过程 。 其 中 (L) d 称为广义自回归算子 。 (1.15) 是

22、随机过程的一般表达式 。当 p 0, d = 0, q 0 时，（ 1.15 ）变 成 ARMA ( p, q)过程， p = 0, d = 0, q 0 时，ARIMA 过程变成 AM( q)过 程；而当 p = d = q = 0 时，ARIMA 过程变成白噪声过程 。 4 AR(1) 3 2 2 1 0 0 -1 -2 -2 -3 -4 -4 MA(1) 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 4.Wold 分解定理 Wold 分解定理 ：任何协方差平稳过程xt，都可以被表示为 xt

23、- - dt = ut + 1 u t-1 + 2 u t-2 + + = j ut j j 0 专业 .专注. . 其中表示 xt 的期望 。dt 表示 xt 的线性确定性成分 ，如周期性成分 、时间 t 的 多项式和指数形式等 ，可以直接用 xt 的滞后值预测 。0 = 1 ，j 2 0 ，指数衰减是平滑的 ，或正或负 。 5 ）若 1 0 ，相关函数为正负交替式指数衰减 。 对于 ARMA( p, q )过程，p , q2 时，自相关函数是指数衰减或正弦衰减 的。 5. 相关图（correlogram） (1) 样本均值 、样本方差 对于一个有限时间序列 （x1 , x2,x,T ）用样

24、本平均数 1 T xxt T t 1 估计总体均值，用样本方差 S21T ( x x)2 T t t 1 估计总体方差x2。 (2) 样本协方差 定义 1 T k =0,1,2, , , (9.28) ck (xt x)( xt k x), k T t 1 K 为样本协方差 ，是对 k 的估计，注意：(9.28) 式分母为 T，不是 T- k。rk 为 有偏估计量 。但在小样本条件下更有效 。 c0 1 T (xt x) 2 (9.29) T t 1 是对 c0 的估计，T 是时间序列数据的样本容量。实际中 T 不应太小 ，最好能大 专业 .专注. . 于 60。 (3) 样本自相关系数 称

25、ck rk k =0,1,2, , ( K 1 时， kk =0 ，所以 AR(1) 过程的偏自相关函数特征是在 k =1 出现峰值 （ 11 = 1 ）然后 截尾。 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0.0 0.0 -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 -0.8 -0.8 2 4 6 8 10 12 14 2 4 6 8 10 12 14 专业 .专注. . 11011 2 时， kk = 0 。 偏自相关函 数在滞后期 2 以后有截尾特性 。 （3 ）AR(p)过程偏自相关函数 对于 AR( p)过程，当 kp 时， kk0 ，当 k p

26、 时， kk = 0 。偏自相关 函数在滞后期 p 以后有截尾特性 ，因此可用此特征识别AR( p )过程的阶数 。 3.移动平均过程的偏自相关函数 （1）MA(1) 过程的偏自相关函数 MA(1) 过程的偏自相关函数呈指数衰减特征 。若 10, 偏自相关函数呈交替 改变符号式指数衰减 ；若 1 0 ，偏自相关函数呈负数的指数衰减 。 因为任何一个可逆的 MA( q) 过程都可以转换成一个无限阶的系数按几何递 减的 AR 过程，所以 MA( q) 过程的偏自相关函数呈缓慢衰减特征 。 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0.0 0.0 -0.2 -0.2 -0.4

27、-0.4 -0.6 -0.6 -0.8 -0.8 2 4 6 8 10 12 14 2 4 6 8 10 12 14 1010 MA(1)过程的偏自相关函数 （2）MA(2) 过程的偏自相关函数 对于 MA(2) 过程，若 (L) = 0 的根是实数 ，偏自相关函数由两个指数衰减形式叠加而成 。若 ( L) = 0 的根是虚数 ，偏自相关函数呈正弦衰减形式 。4.自回归移动平均过程的偏自相关函数 专业 .专注. . ARMA(p, q) 过程的偏自相关函数也是无限延长的，其表现形式与 MA( q) 过程的偏自相关函数相类似。根据模型中移动平均部分的阶数q 以及参数i 的 不同，偏自相关函数呈指

28、数衰减和（或）正弦衰减混合形式 。 5.偏自相关图 对于时间序列数据 ，偏自相关函数通常是未知的。可用样本计算11 ,22 , 的估计量 ?11 , ?22 , 。估计的偏自相关函数 ?kk , k =1,2, , , (9.32) K 称为偏相关图 。因为 AR 过程和 ARMA 过程中 AR 分量的偏自相关函数具有截 尾特性，所以可利用偏相关图估计自回归过程的阶数p。实际中对于偏相关图 取 k = 15就足可以了 。 6.偏自相关函数的方差 ?kk 的方差近似为 T-1 。当 T 充分大时 ，近似有 ( ?kk -0) /T-1/2 = T1/2 ?kk N (0, 1) 所以在观察偏相关

29、图时，若 ?kk 的绝对值超过 2 T-1/2 （2 个标准差 ），就被认为 是显著地不为零 。 专业 .专注. . 1.5 时间序列模型的建立与预测 1.建立时间序列模型步骤 。 （ 1）模型的识别 ，（ 2）模型参数的估计 ，（ 3）诊断与检验 。 （ 1 ）模型的识别就是通过对相关图的分析，初步确定适合于给定样本的 ARIMA 模型形式 ，即确定 d, p, q 的取值 。 （ 2）模型参数的估计就是待初步确定模型形式后对模型参数进行估计。 （ 3 ）诊断与检验就是以样本为基础检验拟合的模型 ，以求发现某些不妥之处。如果模型的某些参数估计值不能通过显著性检验 ，或者残差序列不能近似为一个

30、白噪声过程 ，应返回第一步再次对模型进行识别 。如果上述两个问题都不存在，就可接受所建立的模型 。 2.模型的识别 模型的识别主要依赖于对相关图与偏相关图的分析 。在对经济时间序列进行分析之前 ，首先应对样本数据取对数 ，目的是消除数据中可能存在的异方差，然后分析其相关图 。 1) 判断随机过程是否平稳 。 (1) 利用相关图 如果一个随机过程是平稳的，其特征方程的根都应在单位圆之外。如果 (L) = 0 的根接近单位圆 ，自相关函数将衰减的很慢 。所以在分析相关图时 ，如果发现其衰减很慢 ，即可认为该时间序列是非平稳的 。 这时应对该时间序列进 行差分，同时分析差分序列的相关图以判断差分序列

31、的平稳性 ，直至得到一个平稳的序列 。对于经济时间序列 ，差分次数 ，即模型（1.51 ）中的参数 d 通常只取 0，1 或 2。 专业 .专注. . （2）防止过度差分 另外 ，估计的模型形式不是唯一的，所以在模型实际中也要防止过度差 分。一般来说平稳序列差分得到的仍然是平稳序列 ，但当差分次数过多时存在两个缺点 ，（ 1）序列的样本容量减小 ；（ 2）方差变大 ；所以建模过程中要防止差分过度 。对于一个序列 ，差分后若数据的极差变大 ，说明差分过度 。 2) 识别 ARMA 模型阶数 p, q 。 相关图可为识别模型参数 p, q 提供信息 。相关图和偏相关图 （估计的自相关系数和偏自相关

32、系数 ）通常比真实的自相关系数和偏自相关系数的方差要 大，并表现为更高的自相关 。实际中相关图 ，偏相关图的特征不会像自相关函数与偏自相关函数那样 “规范 ”，所以应该善于从相关图 ，偏相关图中识别出模型的真实参数 p, q。表 1.3 给出了不同 ARMA 模型的自相关函数和偏自相关函 数。当然一个过程的自相关函数和偏自相关函数通常是未知的 。用样本得到的只是估计的自相关函数和偏自相关函数 ，即相关图和偏相关图 。建立 ARMA 模 型，时间序列的相关图与偏相关识别阶段应多选择几种模型形式 ，以供进一步选择。 3 模型参数的估计 （略） 4 诊断与检验 完成模型的识别与参数估计后 ，应对估计

33、结果进行诊断与检验 ，以求发现所选用的模型是否合适 。若不合适 ，应该知道下一步作何种修改 。这一阶段主要检验拟合的模型是否合理 。 1）检验模型参数的估计值是否具有显著性； 参数估计值的显著性检验是通过t 检验完成的 ， 2）检验模型的残差序列是否为白噪声。 模型的残差序列是否为白噪声的检验是用Box-Pierce(1970)提出的 Q 统 专业 .专注. . 计量完成的 。 （1）Q 检验的模型是 ut =1 ut -1 +2ut -2 + .+K ut- K +v t （2）Q 检验的零假设是 H： 1=2= =K=0 即模型的误差项是一个白噪声过程。 （3）Q 统计量定义为 K 2 (

34、9.33) Q T rk k 1 近似服从 2 分布，其中 T 表示样本容量 ，rk 表示用残差序列计算的自 ( K - p - q ) 相关系数值 ，K 表示自相关系数的个数 ，p 表示模型自回归部分的最大滞后 值，q 表示移动平均部分的最大滞后值。 另， Ljung 和 Box 认为 (9.33) 式定义的 Q 统计量的分布与 2 分布存 ( K - p - q ) 在差异（相应值偏小 ），于是提出修正的 Q 统计量 。 K rk 2 Q T(T 2) (9.34) k 1 T k 其中 rk ，K，p，q 的定义如 (9.33) 式。修正的 Q 统计量 (9.34) 近似服从 2 ( K

35、 - p - q )分布 。且它的近似性比原 Q 统计量的近似性更好 。（ EViews 中给出的 Q 统计量就是按 (9.34) 式定义的 。） （4）判别规则 用残差序列计算 Q 统计量的值 。显然若残差序列不是白噪声 ，残差序列中必含有其他成份 ，自相关系数不等于零 。则 Q 值将很大 ，反之 Q 值将很小 。判 别规则是 ： 若 Q 2 ( K - p - q ) ，则拒绝 H 0。 专业 .专注. . 其中表示检验水平 。 5 时间序列模型预测 下面以 ARMA(1, 1) 模型为例具体介绍预测方法。其他形式时间序列模型 的预测方法与此类似 。 设对时间序列样本 xt, t = 1,

36、 2, , ，所拟合的模型是 T xt = 1 xt-1 + ut + 1 ut -1 (9.35) 则理论上 T +1 期 xt 的值应按下式计算 x T+1 = 1 x T + T+1 + 1 u T (9.36) u ? ? ? 1 , 1 和 uT 。上式中的 uT+1 是未知 用估计的参数 1 , 分别代替上式中的 1 和 uT 的，但知 E(uT+1 ) = 0 ，所以取 uT+1 = 0 。 xT 是已知的 （样本值）。对 xT+1 的 预测按下式进行 ? = ? xT ? ? (9.37) xT 1 1 + 1 uT 由(9.37) 式，理论上 xT+2 的预测式是 xT+2

37、= 1 xT+1 + uT+2 + 1 uT+1 仍取 uT+1 = 0 ，uT+2 = 0 ，则 xT+2 的实际预测式是 ? 2 ? ? 1 (9.38) xT 1xT 其中 x?T1 是上一步得到的预测值 ，与此类推 xT+3 的预测式是 x?T 3 ? (9.39) 1 x?T 2 由上可见 ，随着预测期的加长 ，预测式 (9.37) 中移动平均项逐步淡出预测模型，预测式变成了纯自回归形式 。 若上面所用的xt 是一个差分变量 ，设yt = xt ，则得到的预测值相当于 ? )因。为 yt , ( t = T +1, T +2 , yt = yt- 1 + y t 专业 .专注. .

38、所以原序列T+1 期预测值应按下式计算 ? = yT + ? (9.40) yT 1 yT 1 对于 t T +1 ，预测式是 ? ? + ? (9.41) yt = yt 1 yt , t = T +2, T +3, 其中 y?t 1 是相应上一步的预测结果。 专业 .专注. . 表 1.3ARIMA 过程与其自相关函数偏自相关函数特征 模 型 自相关函数特征 偏自相关函数特征 ARIMA(1,1,1) 缓慢地线性衰减 1.0 0.5 xt = 1 xt-1 1.0 + u t + 0.0 0.5 -0.5 1 ut -1 0.0 -1.0 2 4 6 8 10 12 14 -0.5 -1.0 2 4 6 8 10 12 14 AR （ 1 ）若1 0，平滑地指数衰减若110 ， k =1时有正峰值然后截 xt =1 xt-1 +u t 0.8 尾 0.6 0.4 0.8 0.2 0.