第二章误差与测量不确定度(修订).

1、第二章误差与测量不确定度2.9用图2.23中(a)、(b)两种电路测电阻 Rx，若电压表的内阻为 Rv,电流表的内阻为 Ri , 求测量值受电表影响产生的绝对误差和相对误差，并讨论所得结果。解: (a) RxVIR=RxRrR=RT(b)Rx图 2.23(RxRv)lRx100Rx(b)题2.9图RxRxR_RR2xRxRv0oRxRxRv1000o1,100 %1 rvRx在R 定时被测电阻 R越小，其相对误差越小,故当R相对R很小时，选此方法测量。V I (Rx Ri) R xIRxRlR R xRxRlrR 100 00-Rl 10000RxRx在R定时，被测电阻R越大.其相对误差越小，

2、故当Rx相对R很大时，选此方法测量。2.10用一内阻为 Ri的万用表测量图示电路 A、B两点间电压，设 E = 12V , R1= 5k Q , R2= 20k Q,求：(1 )如E、R1、R2都是标准的，不接万用表时A、B两点间的电压实际值UA为多大？(2)如果万用表内阻 Ri= 20kQ,贝U电压Ua的示值相对误差 和实际相对误差各为多大？(3)如果万用表内阻 R = IM Q,则电压Ua的示值相对误差和实际相对误差各为多大?解：（1） A、B两点间的电压实际值 UAER1R2R21220k9.6V5k 20k（2） Ua测量值为：UARiR2 / RIR2 / RI20k/20k5k 2

3、0k/20k10k8.0V5k 10k所以Ua的示值相对误差Ux8.0 9.68.020%UA的实际相对误差为U 8.0 9.6U A 9.617%（3） Ua测量值为：UaR1ErtrR2ri1220k1M5k 20k/1M19.6k9.56 V5k 19.6k所以Ua的示值相对误差U 9.56 9.6Ux9.56Ua的实际相对误差为UA9.56 9.69.60.42%0.42%由此可见，当电压表内阻越大，测量结果越准确。2.11 CD 13型万用电桥测电感的部分技术指标如下:5 H 1. 1mH 挡：戈 （读数值） 5H;L 2% 800 H 5 H16 H 5 H 21 H10mH 11

4、0mH挡：土 2 % （读数值）土 0.4% （满度值）。试求被测电感示值分别为 10叮, 800叮，20mH , 100mH时该仪器测量电感的绝对误差和相对误差。并以所得绝对误差为例，讨论仪器误差的绝对部分和相对部分对总测量误差的影响。解：根据误差公式计算各电感误差如下：(1) 10HL2%10 H 5 H0.2 H 5 H5.2 HL5.2 Hn/L52%L10 H(2) 800 HLLL21 H2.6%800 H(3)20mHL2%20mH0.4% 110mH0.4mH0.44mH0.84mHL0.84mH4.2%LL20mH(4)100mHL2%100mH0.4% 110mH2mH0.

5、44mH2.44mHL2.44mH2.44%LL100mH由以上计算过程中的绝对误差，可知当被测电感较小时仪器误差的绝对部分对总误差 影响大，而被测电感较大时仪器误差的相对部分对总误差影响大。这里对每个量程都有一 个临界值：5 叮一1.1mH 档：临界值 Li,2% L,5 H , L, 250 H即当被测电感L小于250 yH时：仪器误差的绝对部分对总误差影响大。 即当被测电感L大于250 yH时：仪器误差的相对部分对总误差影响大。10mH 110mH 档：临界值 L2,2% L20.5% 110mH , L2 27.5mH即当被测电感L小于27.5mH时：仪器误差的绝对部分对总误差影响大。

6、 即当被测电感L大于27.5m H时：仪器误差的相对部分对总误差影响大。2.12 设两个电阻 R = (150 0.6) Q, R?= 62Q 0.4%，试求此两电阻分别在串联和并联时的 总电阻值及其相对误差，并分析串并联时对各电阻的误差对总电阻的相对误差的影响？解：(1)串联时，总电阻值 R$= R1 R2150 62212R$= (R1R1) (R2R2)(R1R2 )R1R20.662 0.4%0.60.2480.848R串0.848r串一0.4%R串212(2)并联时，总电阻值 R并艮氏150 62 43.9RR2150 62因式中含有两个变量的乘积项且含有分母，所以用相对误差传递公式

7、较方便，得In R并In R并R并并R1并R2R1R2In R并 In R-iIn R2ln( R,R2)RiR2RiR2R2R2R1 R2旦R1&R1 R2R26215062空( 0.4%)1501506262 0.0033150 0.4%0.2046+212 212060.38%+212 212由以上计算结果可知，串联时大电阻R1对总电阻误差影响大，并联时小电阻R2对总电 阻误差影响大。2.13检定一只2.5级电流表 用哪只最适合，为什么？(1) 0.5 级 10mA 量程；(3) 0.2 级 15mA 量程；3mA量程的满度相对误差。现有下列几只标准电流表，问选(2)(4)解：2.5级电

8、流表3mA量程的绝对误差为级10mA量程的绝对误差为级10mA量程的绝对误差为级15mA量程的绝对误差为级100mA量程的绝对误差为(1)(2)(3)(4)0. 50.20.20.1由以上结果可知(1), (2), (3)都可以用来作为标准表，而(0.2级10mA量程；0.1级100mA量程。2.5 %X 3mA = 0.075mA0.5 %x 10mA = 0.05mA0.2 %x 10mA = 0.02mA0.2 %x 15mA = 0.03mA0.1 %x 100mA = 0.1mA4)的绝对误差太大，其中(1), (2)量程相同，而(3)的量程比(1), ( 2)大，在绝对误差满足要求

9、的情况下， 应尽量选择量程接近被检定表量程，但(2), (3)准确度级别高，较贵，所以最适合用作标准表的是0. 2级10mA量程的。2.14 检定某一信号源的功率输出，信号源刻度盘读数为90 yW,其允许误差为土 30%，检定时用标准功率计去测量信号源的输出功率，正好为75 yW。问此信号源是否合格 ？解：信号源频率的测量绝对误差为75 yW- 90yW = - 15yW2.17方法方法1516.7%30%，所以此信号源合格。90两种不同的方法测量频率，若测量中系统误差已修正，所测得的频率的单位为1 100.36100.41100.28100.30100.322 100.33100.35100

10、.28100.29100.30相对误差为kHz。靠？解:100.31100.37100.29100.29(1 )若分别用以上两组数据的平均值作为该频率的两个估计值，问哪一个估计值更可(2)用两种不同方法的全部数据，问该频率的估计值(即加权平均值)为多少?(1)方法1：100.00 0.011 8 (36412830 32313729)100.330kHz8 i 1次数123456781f/kHz100.36100.41100.28100.30100.32100.31100.37100.292残差(10 kHz)38-5-3-1-24-4标准偏差估值s( f1)1 (fi f 1)2V 7 i

11、i1 8 32 82 .7ii38(5)2( 3)2( 1)2( 2)2 42(4)2 (10 2)2.y89 64 25 9 1 4 16 16 (10 2)27 i 1I 144 10 40.045 kHz7算术平均值的标准差:s( fjs(f1)n0.0450.0159kHzf2100.00 0.01标准偏差估值s( f2)2.324.322(2.7)2 2 2 2 2(1.7)1.3( 1.7) (10 )同理可求出方法2的标准偏差估值,次数123456f/kHz100.33100.35100.28100.29100.30100.29残差(10 2kHz)2.34.3-2.7-1.71

12、.3-1.766 i1(33 3528 29 3029)100.307 kHzf2)25：38.54 105.29 18.49 7.29 2.89 1.69 2.89 (10 2)20.027 kHz算术平均值的标准差:s( f2)0.0110kHz由此可见方法2测得的数据更为可靠。(2)由 X2i 1 Si100.330 100.307220.01590.011100.31kHz1 10.015920.0112该频率的估计值为100.31kHz。2.18 设对某参数进行测量，测量数据为1464.3, 1461.7, 1462.9, 1463.4, 1464.6，1462.7,试求置信概率为

13、95%的情况下，该参量的置信区间。解：因为测量次数小于 20，所以测量值服从t分布，第一步：求算术平均值及标准偏差估值1460-(4.3 1.76 i 1次数123456X1464.31461.71462.91463.41464.61462.7残差1.0-1.6-0.40.11.3-0.62.93.44.62.7)1463.3标准偏差估值s(x) J- (xi x)2.5 i 11 65i11.02(1.6)2( 0.4)2 0.12 1.32(0.6)21.07算术平均值标准偏差估值s(x)S(X)1.07 0.437-6 、6第三步：估计该参量的置信区间X ts(x),x ts(x)，其中

14、第二步：查附录B: t 分布表，由 n 1=5 及 P=0.95，查得 t=2.571ts(X) 2.571 0.4371.123则在95%的置信概率下，电感L的置信区间为1462.3 , 1464.3。2.19具有均匀分布的测量数据，当置信概率为100%时若它的置信区间为E(X) k d (X),E(X) + k d (X)，问这里k应取多大？解：依题意得E(X) k (X)2(x)x E(X)2p(X)dxba【Xa b2-dxb a(b a)212(x)baba.122*3代入E(X) k (X)E(X) k (X)P(X)dx2k (X)b a2k2 3k100%，解得kE（x）k（x

15、）P（X）dx 100% 由均匀分布可得 P（X）E(X) xP(X)dx dx -a b a 246(0.98 0.97 0.9610 i 10.96 0.810.95 0.920.94 0.93 0.91)2.20对某电阻进行了 10次测量，测得数据如下:次数12345678910R/k Q46.9846.9746.9646.9646.8146.9546.9246.9446.9346.91问以上数据中是否含有粗差数据？若有粗差数据，请剔除，设以上数据不存在系统误差 在要求置信概率为 99%的情况下，估计该被测电阻的真值应在什么范围内？ 解：先求得被测电阻的平均值46.933 k Q次数12

16、345678910R/k Q46.9846.9746.9646.9646.8146.9546.9246.9446.9346.91残差103 k Q47372727-12312-137-3-23标准偏差估值s（R）(RiR)21 10I22222222223 247372727( 123)12( 13)7( 3)( 23) (10 )9 i 10.049K q按格拉布斯检验法，在置信概率为99%的情况下，n= 10查表得 G = 2.41Gs 2.41 0.049 0.11850.123，剔除Rs后重新计算判别，得n= 9, Pc= 99%时,G= 2.32R 46(0.98 0.97 0.96

17、 0.96 0.95 0.92 0.94 0.93 0.91)46.947 kQ19I2222222223 2s(R)4737272712( 13)7( 3)( 23) (10 )8 i 10.023K qGs 2.32 0.023 0.053可见余下数据中无异常值。2.21对某信号源的输出频率 fx进行了 10次等精度测量，结果为110.050, 110.090, 110.090,110.070, 110.060，110.050，110.040，110.030，110.035，110.030( kHz)，试用马利科夫及 阿卑-赫梅特判剧判别是否存在变值系差。解：输出频率fx的平均值fx1 f

18、x 1100.001(50 9090 7060 5040 3035 30)10110.0545 110.054(45 35555)( 45 145245) 10 4 1750 10 4 | iMAX |故存在累进系差(b)由阿卑-赫梅特判据得：n 1i i 1(0.00135 0.0009i 10.000750.00485(45) 355 355 355(245) ( 195)( 195)(245) 10-15975 126025 55025 85252475 35525 47775 4777510次数12345678910fx/kHz110.050110.090110.090110.0701

19、10.060110.050110.040110.030110.035110.030残差104 kHz-4535535515555-45-145-245-195-245(a)由马利科夫判据得:n/2nDii 1i n/2 1349975 10-80.003510标准偏差估值s2(fx)(fif)2102(45)223552224 2(195)2( 245)2 (10 4)21 10-402470 109 i 10.0005.n 1s2 (x).9 0.00050.0015ViVii 10.0035 n 1s2(x)0.0015故存在变值系差2.23采用微差法测量一个 10V电源，使用标准为标称相

20、对误差为土0.1%的9V稳压电源。若要求测量误差 AUo/Uov 0.5%，电压表量程为 3V，问选用几级电表？解：由题意及微差法误差公式得U0这里标准量B为9V，微差A为1V，标准相对误差为土 0.1%U。U。A 1.0.1%0.5%19可得A 3.6%AUm3.6%31.2%所以选用3V量程的1级电压表即可。2.24按公式4Ld2R测量金属导线的电导率,式中L为导线长度(cm) ,d为截面直径(cm),R为被测导线的电阻(Q)。试说明在什么测量条件下误差最小？对哪个参量要求最高?解：因为公式中含有分子和分母，用相对误差传递公式较方便。InIn L2I ndInRLdR2LdRInIn 4 In L In2lnd In R由上式可知对截面直径 d的要求最高。2.25通过电桥平衡法测量某电阻，由电桥平衡条件得出Rx，已知电容 C2的允许C2误差为土 5%,电容C4的允许误差为土 2%, R3为精密电位器，其允许误差为土1%,试计算Rx的相对误差为多少？解：因为公式中含有分子和分母，用相对误差传递公式较方便。解：U cA.112442 3In RxIn RxIn RxRxR3-C4C2R3C4C2In RxIn R3In C4In C2R3C4C2RxR3C4C21%2% (5%)8%2.27设某测量结果有关 A类不确定度如下表所示，求该测量结果的合成不确定度、自由