解排列组合问题的七种常用策略

1、 2.2.掌握解决排列组合问题的常用策略掌握解决排列组合问题的常用策略; ;能运能运 用解题策略解决简单的综合应用题。用解题策略解决简单的综合应用题。 提高学生解决问题分析问题的能力提高学生解决问题分析问题的能力 3.3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. . 教学目标教学目标 1. .进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 12n N=m +m +m 复习巩固复习巩固 12n N=m mm : 例例1.由由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字可以组成多少个没有重复数字 五位奇数五位奇数.

2、 解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安应该优先安 排排,以免不合要求的元素占了这两个位置以免不合要求的元素占了这两个位置 先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_ 最后排其它位置共有最后排其它位置共有_ 1 3 C 1 3 C 1 4 C 1 4 C 3 4 A3 4 A 由分步计数原理得由分步计数原理得 =2881 3 C 1 4 C 3 4 A 1.1.7 7种不同的花种在排成一列的花盆里种不同的花种在排成一列的花盆里, ,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆 里里，问有多少不同的种法？问有多少不同

3、的种法？ 25 45 1440 A A 练习题 例例2. 72. 7人站成一排人站成一排 , ,其中甲乙相邻且丙丁相其中甲乙相邻且丙丁相 邻邻, , 共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法. . 甲甲乙乙丙丙丁丁 由分步计数原理可得共有由分步计数原理可得共有 种不同的排法种不同的排法 5 5 A 2 2 A 2 2 A =480 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列，复合元素，再与其它元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行自排。同时对相邻元素内部进行自排。 .

4、 . 某人射击某人射击8 8枪，命中枪，命中4 4枪，枪，4 4枪命中恰好枪命中恰好 有有3 3枪连在一起的情形的不同种数为（枪连在一起的情形的不同种数为（ ） 练习题 20 5 5 A 第二步将第二步将4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排 好的好的6 6个元素中间包含首尾两个空位共有个元素中间包含首尾两个空位共有 种种 不同的方法不同的方法 4 6 A 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有 种 5 5 A 4 6 A 相相相相独独独独独独 某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的5 5个节目已排成节个节目已排成节 目单，开演前又增加了两个新节目目单，开演前又增加了两个新节目. .如果如果

5、将这两个新节目插入原节目单中，且两将这两个新节目插入原节目单中，且两 个新节目不相邻，那么不同插法的种数个新节目不相邻，那么不同插法的种数 为（为（ ） 30 练习题 四四. .定序问题倍缩空位插入策略定序问题倍缩空位插入策略 例例4.74.7人排队人排队, ,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人顺序一定共有多人顺序一定共有多 少不同的排法少不同的排法 解: ( (倍缩法倍缩法) )对于某几个元素顺序一定的排列对于某几个元素顺序一定的排列 问题问题, ,可先把这几个元素与其他元素一起可先把这几个元素与其他元素一起 进行排列进行排列, ,然后用总排列数除以这几个元然后用总排列数除以这几个元 素之间的全排

6、列数素之间的全排列数, ,则共有不同排法种数则共有不同排法种数 是：是： 7 7 3 3 A A （空位法）设想有空位法）设想有7 7把椅子让除甲乙丙以外把椅子让除甲乙丙以外 的四人就坐共有的四人就坐共有 种方法，其余的三个种方法，其余的三个 位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 种坐法，则共有种坐法，则共有 种种 方法方法 4 7 A 1 4 7 A 思考思考: :可以先让甲乙丙就坐吗可以先让甲乙丙就坐吗? ? （插入法（插入法) )先排甲乙丙三个人先排甲乙丙三个人, ,共有共有1 1种排法种排法, ,再再 把其余把其余4 4四人依次插入共有四人依次插入共有 方法方法 4 4* *5 5* *6 6

7、* *7 7 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 空模型处理空模型处理 练习题 1010人身高各不相等人身高各不相等, ,排成前后排，每排排成前后排，每排5 5人人, ,要要 求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五五. .重排问题求幂策略重排问题求幂策略 例例5.5.把把6 6名实习生分配到名实习生分配到7 7个车间实习个车间实习, ,共有共有 多少种不同的分法多少种不同的分法 解解: :完成此事共分六步完成此事共分六步: :把第一名实习生分配把第一名实习生分配 到车间有到车间有 种分法种分法. .

8、 7 7 把第二名实习生分配把第二名实习生分配 到车间也有到车间也有7 7种分法，种分法，依此类推依此类推, ,由分步计由分步计 数原理共有数原理共有 种不同的排法种不同的排法6 7 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限不同的元素没有限 制地安排在制地安排在m个位置上的排列数为个位置上的排列数为 种种 n n m m 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这 两个节目插入原

9、节目单中，那么不同插法的种数为（ ） 42 2. 2. 某某8 8层大楼一楼电梯上来层大楼一楼电梯上来8 8名乘客人名乘客人, ,他们他们 到各自的一层下电梯到各自的一层下电梯, ,下电梯的方法下电梯的方法 （ ） 8 7 练习题 六六. .环排问题线排策略环排问题线排策略 例例6. 56. 5人围桌而坐人围桌而坐, ,共有多少种坐法共有多少种坐法? ? 解：解：围桌而坐与围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人圆形没有首尾之分，所以固定一人A A并从并从 此位置把圆形展成直线其余此位置把圆形展成直线其余4 4人共有人共有_ 种排法即种排法

10、即 4 4 A A A B B C C E E D D D DA A A A B BC C E E （5-1)5-1)！ 1 m nm A 练习题 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 60 例例7.87.8人排成前后两排人排成前后两排, ,每排每排4 4人人, ,其中甲乙在其中甲乙在 前排前排, ,丁在后排丁在后排, ,共有多少排法共有多少排法 解解:8人排前后两排人排前后两排,相当于相当于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以 把椅子排成一排把椅子排成一排. 先在前先在前4个位置排甲乙两个位置排甲乙两 个特殊元素有个特殊元素有_种种,再排后再排后4个位置上的个位置上的 特殊元素有特殊元素有_种

11、种,其余的其余的5人在人在5个位置个位置 上任意排列有上任意排列有_种种,则共有则共有_种种. 前排后排后排 2 4 A 1 4 A 5 5 A 2 4 A 5 5 A 1 4 A 一般地一般地,元素分成多排的排列问题元素分成多排的排列问题, 可归结为一排考虑可归结为一排考虑,再分段研究再分段研究. 有两排座位，前排有两排座位，前排1111个座位，后排个座位，后排 1212个座位，现安排个座位，现安排2 2人就座规定前排人就座规定前排 中间的中间的3 3个座位不能坐，并且这个座位不能坐，并且这2 2人人 不左右相邻，那么不同排法的种数不左右相邻，那么不同排法的种数 是是_ 346 练习题 例例

12、8.8.有有5 5个不同的小球个不同的小球, ,装入装入4 4个不同的盒内个不同的盒内, , 每盒至少装一个球每盒至少装一个球, ,共有多少不同的装共有多少不同的装 法法. . 解解: :第一步从第一步从5 5个球中选出个球中选出2 2个组成复合元共个组成复合元共 有有_种方法种方法. .再把再把5 5个元素个元素( (包含一个复合包含一个复合 元素元素) )装入装入4 4个不同的盒内有个不同的盒内有_种方法种方法. . 2 5 C 4 4 A 根据分步计数原理装球的方法共有根据分步计数原理装球的方法共有_ 2 5 C 4 4 A 练习题 一个班有一个班有6 6名战士名战士, ,其中正副班长各

13、其中正副班长各1 1人人 现从中选现从中选4 4人完成四种不同的任务人完成四种不同的任务, ,每人每人 完成一种任务完成一种任务, ,且正副班长有且只有且正副班长有且只有1 1人人 参加参加, ,则不同的选法有则不同的选法有_ _ 种种 192192 例例9.9.用用1,2,3,4,51,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数组成没有重复数字的五位数 其中恰有两个偶数夹其中恰有两个偶数夹1,1,在两个奇数之在两个奇数之 间间, ,这样的五位数有多少个？这样的五位数有多少个？ 解：把解：把,当作一个小集团与排队当作一个小集团与排队 共有共有_种排法，再排小集团内部共有种排法，再排小集团内部共有

14、_种排法，由分步计数原理共有种排法，由分步计数原理共有 _种排法种排法. 2 2 A 22 22 A A 22 22 A A 2 2 A 3 1524 小集团小集团 小集团排列问题中，先整体后局小集团排列问题中，先整体后局 部，再结合其它策略进行处理。部，再结合其它策略进行处理。 .计划展出计划展出10幅不同的画幅不同的画,其中其中1幅水彩画幅水彩画, 幅油画幅油画,幅国画幅国画, 排成一行陈列排成一行陈列,要求同一要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两品种的必须连在一起，并且水彩画不在两 端，那么共有陈列方式的种数为端，那么共有陈列方式的种数为_ 2. 5男生和女生站成一排照像男生和

15、女生站成一排照像,男生相邻男生相邻,女女 生也相邻的排法有生也相邻的排法有_种种 255 255 A A A 254 254 A A A 十十. .元素相同问题隔板策略元素相同问题隔板策略 例例10.有有1010个运动员名额，在分给个运动员名额，在分给7 7个班，每个班，每 班至少一个班至少一个, ,有多少种分配方案？有多少种分配方案？ 解：因为解：因为10个名额没有差别，把它们排成个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成个空隙。一排。相邻名额之间形成个空隙。 在个空档中选个位置插个隔板，在个空档中选个位置插个隔板， 可把名额分成份，对应地分给个可把名额分成份，对应地分给个 班级，每

16、一种插板方法对应一种分法班级，每一种插板方法对应一种分法 共有共有_种分法。种分法。 一班 二班 三班 四班 五班 六班 七班 6 9 C 1 1 m nC 练习题 1.1.1010个相同的球装个相同的球装5 5个盒中个盒中, ,每盒至少一每盒至少一 有多少装法？有多少装法？ 2 .2 .x+y+z+w=100 x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解求这个方程组的自然数解 的组数的组数 3 103C 4 9C 例例11.从从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三这十个数字中取出三 个数，使其和为不小于个数，使其和为不小于10的偶数的偶数,不同的不同的 取法有多少种？取法

17、有多少种？ 解：这问题中如果直接求不小于解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很的偶数很 困难困难,可用总体淘汰法。可用总体淘汰法。 这十个数字中有这十个数字中有5 5 个偶数个偶数5 5个奇数个奇数, ,所取的三个数含有所取的三个数含有3 3个偶数的取法有个偶数的取法有_,_,只含有只含有1 1个偶数的取法有个偶数的取法有 _,_,和为偶数的取法共有和为偶数的取法共有_ 再淘汰和小于再淘汰和小于10的偶数共的偶数共_ 符合条件的取法共有符合条件的取法共有_ 3 5 C 12 55 CC 9 9 0130130150150170170230230250250270270410410450450

18、43043 12 55 CC 3 5 C+ - 9- 9 12 55 CC 3 5 C+ 我们班里有我们班里有4343位同学位同学, ,从中任抽从中任抽5 5人人, ,正、正、 副班长、团支部书记至少有一人在内的副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种抽法有多少种? ? 练习题 十二十二. .平均分组问题除法策略平均分组问题除法策略 例12. 6本不同的书平均分成本不同的书平均分成3堆堆,每堆每堆2本共有本共有 多少分法？多少分法？ 解解: 分三步取书得分三步取书得 种方法种方法,但这里出现但这里出现 重复计数的现象重复计数的现象,不妨记不妨记6本书为本书为ABCDEF 若第一步取若第

19、一步取AB,第二步取第二步取CD,第三步取第三步取EF 该分法记为该分法记为(AB,CD,EF),则则 中还有中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有共有 种取法种取法 ,而而 这些分法仅是这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法一种分法,故共故共 有有 种分法。种分法。 222 642CCC 222 642CCC 3 3A 222 642CCC 3 3A 平均分成的组平均分成的组,不管它们的顺序如何不管它们的顺序如何,都是一种情况都是一种情况,所以分组后要一定要除以所以分组后要一定要除以 (n为均为均 分的组数分

20、的组数)避免重复计数。避免重复计数。 n nA 1 将将13个球队分成个球队分成3组组,一组一组5个队个队,其它两组其它两组4 个队个队, 有多少分法？有多少分法？ 2.10名学生分成名学生分成3组组,其中一组其中一组4人人, 另两组另两组3人人 但正副班长不能分在同一组但正副班长不能分在同一组,有多少种不同有多少种不同 的分组方法的分组方法 （1540） 544 1384 2 2 C C C A 3.3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入入4 4名学生，要安排到该年级的两个班级且名学生，要安排到该年级的两个班级且 每班安排每班安排2 2名，则不同的安

21、排方案种数为名，则不同的安排方案种数为_ 222 642 2 2 90 A CC A 十三. 合理分类与分步策略 例例13.13.在一次演唱会上共在一次演唱会上共1010名演员名演员, ,其中其中8 8人能人能 能唱歌能唱歌,5,5人会跳舞人会跳舞, ,现要演出一个现要演出一个2 2人人 唱歌唱歌2 2人伴舞的节目人伴舞的节目, ,有多少选派方法有多少选派方法? ? 解： 10演员中有演员中有5人只会唱歌，人只会唱歌，2人只会跳舞人只会跳舞 3人为全能演员。人为全能演员。 以只会唱歌的以只会唱歌的5 5人是否人是否 选上唱歌人员为标准进行研究选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱只会唱 的的5 5

22、人中没有人选上唱歌人员共有人中没有人选上唱歌人员共有_ 种种, ,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有1 1人选上唱歌人人选上唱歌人 员员_种种, ,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有2 2人人 选上唱歌人员有选上唱歌人员有_种，由分类计数种，由分类计数 原理共有原理共有_种。种。 22 33CC 112 534CCC 22 55C C 22 33CC 112 534CCC 22 55C C+ + + 解含有约束条件的排列组合问题，可按元素 的性质进行分类，按事件发生的连续过程分 步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不 漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。 1.1.从从4 4名

23、男生和名男生和3 3名女生中选出名女生中选出4 4人参加某个座人参加某个座 谈会，若这谈会，若这4 4人中必须既有男生又有女人中必须既有男生又有女 生，则不同的选法共有生，则不同的选法共有_ _ 练习题 2. 3 3成人成人2 2小孩乘船游玩小孩乘船游玩,1,1号船最多乘号船最多乘3 3人人, 2, 2 号船最多乘号船最多乘2 2人人,3,3号船只能乘号船只能乘1 1人人, ,他们任选他们任选 2 2只船或只船或3 3只船只船, ,但小孩不能单独乘一只船但小孩不能单独乘一只船, , 这这3 3人共有多少乘船方法人共有多少乘船方法. . 十四十四. .构造模型策略构造模型策略 例例14. 14.

24、 马路上有编号为马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9的的 九只路灯九只路灯, ,现要关掉其中的现要关掉其中的3 3盏盏, ,但不能关但不能关 掉相邻的掉相邻的2 2盏或盏或3 3盏盏, ,也不能关掉两端的也不能关掉两端的2 2 盏盏, ,求满足条件的关灯方法有多少种？求满足条件的关灯方法有多少种？ 解：把此问题当作一个排队模型在解：把此问题当作一个排队模型在6 6盏盏 亮灯的亮灯的5 5个空隙中插入个空隙中插入3 3个不亮的灯个不亮的灯 有有_ _ 种种 3 5C 一些不易理解的排列组合题如果能转化为 非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队 模型，装

25、盒模型等，可使问题直观解决 练习题 某排共有某排共有1010个座位，若个座位，若4 4人就坐，每人左右人就坐，每人左右 两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？ 120 十五十五. .实际操作穷举策略实际操作穷举策略 例例15.15.设有编号设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和编号的五个球和编号1,21,2 3,4,53,4,5的五个盒子的五个盒子, ,现将现将5 5个球投入这五个球投入这五 个盒子内个盒子内, ,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.,

26、. 有多少投法有多少投法 解：从从5个球中取出个球中取出2个与盒子对号有个与盒子对号有_种种 还剩下还剩下3球球3盒序号不能对应，盒序号不能对应， 利用实际 操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5号球号球, 3,4,5号盒号盒 3号球装号球装4号盒时，则号盒时，则4,5号球有只有号球有只有1种装法种装法 3 3号盒号盒 4 4号盒号盒 5 5号盒号盒 34 5 2 5C 十五十五. .实际操作穷举策略实际操作穷举策略 例例15.15.设有编号设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和编号的五个球和编号1,21,2 3,4,53,4,5的五个盒子的五个盒子, ,现将现将5 5个球

27、投入这五个球投入这五 个盒子内个盒子内, ,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.,. 有多少投法有多少投法 解：从从5个球中取出个球中取出2个与盒子对号有个与盒子对号有_种种 还剩下还剩下3球球3盒序号不能对应，盒序号不能对应， 2 5C 利用实际 操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5号球号球, 3,4,5号盒号盒 3号球装号球装4号盒时，则号盒时，则4,5号球有只有号球有只有1种装法种装法, 2 5C 同理同理3号球装号球装5号盒时号盒时,4,5号球有也号球有也 只有只有1种装法种装法,由分步计数

28、原理有由分步计数原理有2 种种 练习题 1.1. 同一寝室同一寝室4 4人人, ,每人写一张贺年卡集中起来每人写一张贺年卡集中起来, , 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种？贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9) 2.2.给图中区域涂色给图中区域涂色, ,要求相邻区要求相邻区 域不同色域不同色, ,现有现有4 4种可选颜色种可选颜色, ,则则 不同的着色方法有不同的着色方法有_种种 2 1 3 4 5 7272 十六十六. 分解与合成策略分解与合成策略 例例16. 3003016. 30030能被多少个不同的偶数整除能被多少个不同的偶数整除 分析：先把分析：先把3003030030分解成质因数的乘积形式分解成质因数的乘积形式 30030=2 30030=23 35 5 7 7 11111313依题依题 意可知偶因数必先取意可知偶因数必先取2,2,再从其余再从其余5 5个个 因数中任取若干个组成乘积，所有因数中任取若干个组成乘积，所有 的偶因数为：的偶因数为： 012345 555555C C C C C C 例17.正方体的8个顶点可连成多少对异面 直线 解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四