专题19：动态几何之定值问题探讨

1、初中学习资料整理总结专题19:动态几何之定值问题探讨、线段（和差）为定值问题:典型例题:例1 :（2012黑龙江绥化8分）如图，点E是矩形ABCD的对角线 BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4 ,点P为直线EC上的一点，且 PQ丄BC于点Q ,PR丄BD于点R.（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证:PR+ PQ= 1?（不需证明）.56（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不n与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎

2、样的数量关系？请直接写出你的猜想.12【答案】 解：（2）图2中结论PR+PQ=，仍成立。证明如下:5连接BP，过C点作CK丄BD于点K。四边形ABCD为矩形，/ BCD=90。又 CD=AB=3 , BC=4 , BD = JCD2 +BC211 Sa bcd= BC?CD= BD?CK , 3 X4=5CK ,2211 Sabce=BE?CK , Sabep= PR?BE,221 1 1- BE?CK= PR?BE+ PQ?BC。2 2 2口 CL M111又 BE=BCCK= 一 PR+ - PQ。2221212又 CK= , PR+ P Q=。555BCP= PQ?BC,且 SaBCE

3、=SBEp+ Sbcp,2 CK= PR + PQ。12(3)图3中的结论是 PRPQ= .5【考点】 矩形的性质，三角形的面积，勾股定理。【分析】(2)连接BP,过C点作CK丄BD于点K.根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明。(3)图3中的结论是 PRPQ=125 。连接 BP, $ BPE $ BCP=Smec , SA BEC 是固定值，BE=BC 为两个底,12PR, PQ分别为高，从而 PRPQ= o5例2: (2012江西省10分)如图，已知二次函数 L1: y=x2 - 4x+3与x轴交于A .B两点(点A在点B左边)，

4、与y轴交于点C.(1)写出二次函数Li的开口方向、对称轴和顶点坐标;2(2)研究二次函数L2： y=kx - 4kx+3k ( k0 . 写出二次函数 L2与二次函数Li有关图象的两条相同的性质;是否存在实数k，使 ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由;EF的长若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出度；如果会，请说明理由.【答案】解：(1 )抛物线y =xX二次函数Li的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标(2,- 1) O(2)二次函数L2与Li有关图象的两条相同的性质:对称轴为x=2;都经过 A (1 , 0)

5、, B (3, 0)两点。 存在实数k，使ABP为等边三角形.2 y =kx2 -4kx +3k =k(x -2 ) k，顶点 P (2, k). A (1 , 0), B (3, 0), AB=2要使 ABP为等边三角形，必满足I k|=73 ,k=0时，抛物线的开口向上；av 0时，抛物线的开口向下。抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解。(2)新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。 当 ABP为等边三角形时，P点必为函数的顶点，首先表示出P点纵坐标，它的绝对值正好3是等边三角形边长的倍，由此确定k的值。2E、F的坐

6、标，从而可表示出EF的长，若该长度 联立直线和抛物线 L2的解析式，先求出点为定值，则线段 EF的长不会发生变化。例3: (2012山东德州12分)如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片 ABCD，点P为正方形AD边上B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H ,的一点(不与点 A、点D重合)将正方形纸片折叠，使点折痕为EF，连接BP、BH .(1) 求证：/ APB= / BPH ;(2) 当点P在边AD上移动时， PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论;(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在,求出这个最小值；若不存在，请说明理由.G

7、G(备用图【答案】 解：(1)如图 1,v PE=BE ,/ EBP= / EPB .又/ EPH= / EBC=90 ,/ EPH -/ EPB= / EBC -/ EBP,即/ PBC= / BPH。又 AD / BC， / APB= / PBC。./ APB= / BPH。(2) PHD的周长不变为定值 8。证明如下:如图2,过B作BQ丄PH,垂足为Q。由(1)知/ APB= / BPH ,又/ A= / BQP=90 , BP=BP , ABP N QBP (AAS )。 AP=QP , AB=BQ。又.AB=BC，BC=BQ。G又/ C= / BQH=90 , BH=BH , BCH

8、 N BQH (HL )。 CH=QH。 PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8(3)如图3,过F作FM丄AB，垂足为 M，贝U FM=BC=AB。又 EF为折痕， EF丄BP。/ EFM+ / MEF= / ABP+ / BEF=90。/ EFM= / ABP。又/ A= / EMF=90 , AB=ME , EFM BPA (ASA )。 EM=AP=x .2222x在 Rt APE 中，(4 - BE) +x =BE，即 BE =2+。 8x2 CF=BE EM =2+-x。8又四边形PEFG与四边形BEFC全等,11 f x2 Sh(BE+CF)BC

9、=訂4打1 2-x 4=-x 2x+8=丿2丄(X -2 Y +6。281T 0 .* ZHAF=ZDAF同理 RtAAHERtAABE, ZHAE=ZBAEnT ZHAF+ZDAF代二 ZEAF=ZHAF +Z：HAET54二ZEAF的大小不会发生变化(2)AECF的周长不会发生变化理由如下;由 C1)知：RtAAHFRtAADF, RtAAHERtAABE,二FH=FD, EH=E氐二 EFEH十FH=EB十FD /.CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD二 CE+CF+EF- CE+CF+ EB+FD=BC+CDu【蓍点】正方ffi性ffi,动点和定值间题，全等三角形的

10、判定和性质.【分析1(1)由 HL 证得 RtAAHFRtiADF 和 RtAAHE宰 RtZi ABE 即可得 Z EAF=Z HAF+ Z HAE=45%目卩ZEAF的大小不会发生变化(2)由(1)两个全等即可得 CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD.即 CE+CF+EF= CE+CF+ER+FDTC+CD.练习题:1. （2011湖南岳阳8分）如图，将菱形纸片 AB （E） CD （ F）沿对角线BD（EF）剪开，得至ABD和 ECF，固定 ABD，并把 ABD与厶ECF叠放在一起.（1）操作：如图，将 ECF的顶点F固定在 ABD的BD边上的中点处，ECF绕点F在B

11、D边上方左右旋转，设旋转时 FC交BA于点H （H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）.求证：BH?GD=BF2（2）操作：如图， ECF的顶点F在 ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG / CE,交FE于点G,连接DG .探究：FD+DG=.请予证明.图2.（2011四川眉山11分）如图，在直角坐标系中，已知点(0,1),B （- 4, 4）,将点B绕点A顺时针方向旋转90得到点C;顶点在坐标原点的拋物线经过点求抛物线的解析式和点 C的坐标;抛物线上一动点 P,设点P到x轴的距离为di，点P到点A的距离为d2，试说明d2=di +

12、1;在（2）的条件下，请探究当点 P位于何处时， PAC的周长有最小值，并求出 PAC的周长的最小值.3.（2011湖南郴州10分）如图，Rt ABC中，/ A=30 BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动,点P在线段BA上从B向A运动.Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动作PM丄PQ交CA于点M,过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为 E、F.(1) 求证： PQEsA pmf；（2）当点P、Q运动时，请猜想线段 PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想;（3）设BP =x , PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并

13、将这个值求出来.4. （2011辽宁营口 14分）已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点 P的运动而运动，PE= PD总成立.（1）如图（1），当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）;如图，当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明; 如果不成立，请说明理由；（3）画出满足条件的图形，并判断此时（3）如图（3），当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）5. （2011贵州遵义12分）如图，梯形 ABCD

14、中，AD / BC , BC = 20cm , AD = 10cm,现有两个动点 P、Q分别从B、D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E,过E作EF / BC交CD于点F,射线QF交BC的延长线于点 H ,设动点P、Q移动的时间为t （单位：秒，0t10）.当t为何值时，四边形 Pcdq为平行四边形?在P、Q移动的过程中，线段 PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由.6. （2011黑龙江龙东五市 8分）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且 BE=BC , AB=3

15、 ,BC=4 ,点P为直线EC上的一点，且 PQ丄BC于点Q, PR丄BD于点R。（1）如图1，当点P为线段（2）如图2，当点P为线段12EC中点时，易证：PR+ PQ=r （不需证明）。5EC上的任意一点（不与点 E、点C重合）时，其它条件不变，则（1 ）中的结论是否仍然成立？若成立,请给予证明；若不成立，请说明理由。（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。D二、面积（和差）为定值问题:典型例题:例1 : （2012湖北十堰3分）如图，0是正 ABC内一点，OA=3 , OB=4 , OC=5，将线段BO以点

16、B为旋转中心逆时针旋转 60得到线段B0 ,下列结论： B0 A可以由 BOC绕点B逆时针旋转60得到；Q jTq点0与0的距离为4;/ AOB=150 :S四边形AOBO =6+3丁3 :Sjaoc +Saob =6+.其中正确的4结论是【A .B.C.D .【答案】A。【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。【分析】正 ABC , AB=CB , / ABC=60 0。线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转 60得到线段BO , BO=BO , / 0 AO=60o/ O BA=6C0-/ AB0= / OBA。二 BO AN BOC。_BO A可

17、以由 BOC绕点B逆时针旋转60得到。故结论正确。连接OO ,/ BO=BO , / O AO=6tf, OBO是等边三角形。 OO =OB=4。故结论正确。在 AOO中，三边长为O A=OC=5, OO =OB=4, OA=3，是一组勾股数, AOO是直角三角形。/ AOB= / AOO +/ OOB =90 + 600=150匕故结论正确。1 1S四边形 AOBO，=$出00 +S“BO =2 -3 4+ 2 4=6+473。故结论错误。如图所示，将 AOB绕点A逆时针旋转60使得AB与AC重合,点O旋转至O点.易知 AOO是边长为3的等边三角形， COO是边长为3、直角三角形。1 1贝y

18、 S孙OC +S必OB =Saoco ”=S少OO ”+SAOO”=2 3 +故结论正确。综上所述，正确的结论为：。故选例2: (2012广西玉林、防城港 12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是(0,4),现有两动点P、Q,点P从点O出发沿线段OC (不包括端点O, C)以每秒2个单位长度的速度,匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD (不包括端点C, D)以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P, Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=2J5.(1)求点D的坐标，并直接写出t的取值范围;(2)连接AQ并延长交x轴于点E,把AE沿AD翻折

19、交CD延长线于点F连接EF,则 A EF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值.(3)在(2)的条件下，t为何值时，四边形 APQF是梯形?在Rt PCQ中，由勾股定理得:【答案】解:P C= Jpq2_CQ22 2)-22 =4,/ 0C=0P+P.C=4+4=8。又矩形 AOCD , A (0, 4), D (8, 4)。t的取值范围为:0 8+- (8 t)2化简得：S=32为定值。所以 AEF的面积S不变化,S=32。8t4t(3) 若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有 PQ / AF。由 PQ / AF 可得： CPQsA

20、DAF。 CP: AD=CQ : DF，即 8- 2t: 8= t: 4 t,化简得 t2 12t + 16=0,解得：=6+25,t2= 6 -2/5。由(1)可知，0 t 4,. ti=6+2诟不符合题意，舍去。当t=62j5秒时，四边形 APQF是梯形。【考点】动点和翻折问题，矩形的性质，勾股定理，翻折对称的性质，相似三角形的判定和性质，梯形的 性质，解一元二次方程。0 tv 4。【分析】(1)由勾股定理可求 PC而得点C的坐标，根据矩形的性质可得点 D的坐标。点P到达终点所需时间为8吃=4秒，点Q到达终点所需时间为 4+1=4秒，由题意可知，t的取值范围为:(2)根据相似三角形和翻折对

21、称的性质，求出S关于t的函数关系式，由于关系式为常数，所以 AEF的面积S不变化，S=32。(3) 根据梯形的性质，应用相似三角形即可求解。例3:( 2012江苏苏州9分)如图，正方形 ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形 ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点 A与点F重合.在移动过程中，边 AD始终与边FG重合,连接CG,过点A作CG的平行线交线段 GH于点P,连接PD已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为 x ( s),线段GP的长为y (cm),其中试求出y关于X的函数关系式，并求出 y

22、=3时相应X的值;记 DGP的面积为Si,A CDG的面积为S2.试说明Si- S2是常数;当线段PD所在直线与正方形 ABCD的对角线AC垂直时，求线段 PD的长.【答案】 解：(1 ) CG/ AP，/ CGD= / PAG,贝y tanZCGD=tan NPAG。二 CD = -PG。 GD AG/ GF=4, CD=DA=1 , AF=x , a GD=3 x, AG=4 X。 丄=丄，即y=m 0 y关于X的函数关系式为 3 X 4 X3 X当 y =3 时，3=士*，解得：x=2.5 03 -x4Xy=。3X1 1 4 -x ,1(2)- S1 = GP GD= BE=h /. t

23、anZBAE=4= = -NBAET胪. 爺3/AB=AD, ZABT=ZADr=90% AE= AE . R.tA ABERtA ABRtA ADE.ZDAE=ZBAE=ZBAE=30%二AB W AE在同一直线上 即BF与A占的交点是G.设BF与Ah?的交点为H,则ZBAG=ZHAG=30% 而ZAGB=ZAGH=90% AG= AG, /. ABAGAHAG.S四边形 gheB = AAEE SiA(5H = SaAEE 应g = SEiQE 二ABE在旋转前后与BCF重醫部分的积没有变化.【若点】正方的性质，全等三形ffl判定和性质，相似三角册的判定和性祐，旋转的性质，解直三【分析】(

24、1)由四边形ABCD是正方形，可得ZABE=ZBCF=9D% AB=BC.又由AE丄BF,由同甬的余角相等，即可证得ZBAE=ZCBF,然后利用ASA,即可判定：AABEABCF.(2)由正方形MCD的面积等于即可求得此正方形的边长，由在iBGE与AME中,ZGBE=ZBAE, ZEGB=ZEBA=90可证得BGEsABE.由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案.(3)由正切函数，求得ZBAE=30% 易证得 RtAABERlAABERtAADE/,可得 AB2 AE在同一直线上冃ZF与点B哥交点是G,然后设BF与直E哥交点为H可证得ABAG竺AHAG.从而证得结论.练习题:1.(

25、2011山东东营12分)如图所示，四边形 OABC是矩形.D是线段BC上的动点(与端点B、C不重含)，过点D作直线点A、C的坐标分别为(3,0), (0, 1)，点1y = x+b交折线OAB于点E。2(1)记 ODE的面积为S.求S与b的函数关系式:1当点E在线段 OA上时，且 tan/ DEO= 。若矩形2OABC关于直线 DE的对称图形为四边形OiAiBiG .试探究四边形 OiAiBiCi与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不交，求出该重叠部分妁面积;点P到达点A时两点同时停止运动（如图 1）.2.（2011浙江舟山、嘉兴12分）已知直线y=kx+3 （ k 0）分别交x轴、

26、y轴于A、B两点，线段 OA上有一动点P由原点0向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点 P作x轴的垂线交直线 AB于点C,设运动时间为t秒.(1)当k=1时，线段0A上另有一动点 Q由点A向点0运动，它与点P以相同速度同时出发，当直接写出t = 1秒时C、Q两点的坐标;若以Q、C、A为顶点的三角形与 AOB相似，求t的值.(2)当3 2k=-时，设以C为顶点的抛物线 y=（x + m）2 + n与直线AB的另一交点为 D （如图2）,4求CD的长;三、其它定值问题:典型例题:例1: （2012浙江义乌12分）如图已知直线y=kx与抛物线2 22y=-7X2 +年X 交于点 A (3, 6).

27、 2 73（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;M （点M、0不重合），交直线QM与线段QN的长度之比是否（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM,交x轴于点OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N 试探究：线段 为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由;(3) 如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段0A上(与点0、A不重合)，点D (m, 0)是x轴正半轴上的动点，且满足/BAE= / BED= / AOD .继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个?【答案】 解：(1)把点A (3, 6)代入y=kx得；6=3k，即k

28、=2。y=2x。-OA =晶2+62=3/5。(2)线段QM与线段QN的长度之比是一个定值，理由如下:如图1，过点Q作QG丄y轴于点G, QH丄x轴于点H .当QH与QM重合时，显然 QG与QN重合,此时QM QH QHQN QG OH=tanNA0M=2 。当QH与QM不重合时,/ QN丄QM , QG丄QH不妨设点H , G分别在的正半轴上,/ MQH= / GQN。又/ QHM= / QGN=9 , QHM QGN。.QM QH QHQN QG OH =taAOM=2。当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得QMQN=2。线段QM与线段QN的长度之比是一个定值。(3) 如图2，延长

29、AB交x轴于点F,过点F作FC丄0A于点C,过点A作AR丄x轴于点R。/ AOD= / BAE , AF=OF。1 5 LOC=AC= OA= V 5。2 21丿时E点有2个./ ARO= / FCO=90 , / AOR= / FOC , AOR FOCoA 竺二竺二迹 OF=5xJ15 o2* 2(15 ,0)o2点 F设点B(X,BKAKOCOR 3=J5 o42 22一X + X273，过点B作BK 丄 AR 于点 K，则 AKB sARF oX -3FR AR，即 7.5-36-x2+ xI 273o解得 xi=6, X2=3 (舍去)。.点 B (6, 2 )o BK=6 - 3=

30、3, AK=6 - 2=4 o AB=5 o在 ABE 与 OED 中，/ BAE= / BED , / ABE+ / AEB= / DEO+ / AEB o/ ABE= / DEO o/ BAE= / EOD , ABE设 OE=x，贝U AE= 3/5 - x ( 0AE 由 ABE OED 得一ABODOE- m= -X (3亦-x )= -x2 +55顶点为如图3,当m=9时,4OE=x=OED ox=53 J5，此时E点有1个;2,9当Ovmv-时，任取一个 m的值都对应着两个 X值，此499当m=4时，E点只有1个，当0m4时，E点有2个0相似三角形的判定和性质,【考点】二次函数综

31、合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义, 二次函数的性质。【分析】(1)利用待定系数法求出直线y=kx的解析式，根据 A点坐标用勾股定理求出线段 OA的长度。（2）如图1，过点Q作QG丄y轴于点G, QH丄x轴于点H，构造相似三角形 QHM与 QGN ,将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比，即空=空=空=tanNAOM=2为定QN QG OH值.需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立。（3）由已知条件角的相等关系/ BAE= / BED= / AOD ,可以得到 ABE OED o在相似三角形 ABE与 OED中，运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度，如图2,可以通过构造相似三角形,或者利用一次函数（直线）的性质求得AB的长度。设 OE=x，则由相似边的比例关系可以得到m关于x1的表达式m=-51x2丿9+ -，这是一个二次函数.借