两角和与差的正弦余弦和正切公式(教师版

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式【最新考纲】 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 .2. 会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、 正切公式 .3.会用两角差 的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、 余弦、正切公式，了解它们的内在联系 .4.能利用两角和 （差）、二倍角 公式进行简单的三角恒等变换 （包括导出积化和差、和差化积、半角 公式，但不要求记忆 ）1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1) sin( s)in_cos_cos_sin_；(2) cos( )cos_cos_?sin_sin_；tan tan (3) tan( ) 1?tan tan 2二倍角的

2、正弦、余弦、正切公式(1) sin 2 2sin cos ；(2) cos 2 cos2 sin2 2cos2112sin2；2tan (3) tan 21tan23有关公式的变形和逆用(1)公式 T( )的变形：tan tan tan( )(1 tan_ tan_ )；tan tan tan( )(1tan_tan_)(2)公式 C2的变形：21sin22(1cos_2)；21(12cos_2)(3)公式的逆用1sin 2 (sin cos )2；sin cos 2sin 4辅助角公式sin bcos 2b2sin( )其( 中 tan a)1(质疑夯基 )判断下列结论的正误 (正确的打“”

3、，错误的 打“”)(1) 存在实数 ，使等式 sin( )sin sin 成立()(2) 在锐角 ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B大小不确定()tan tan (3) 公式 tan( )可以变形为 tan tan 1tan tan tan( )(1 tan tan )，且对任意角 ，都成立 ( )(4) 公式 sin xbcos x 2b2sin(x 中) 的取值与 a，b 的 值无关 ( )答案： (1) (2) (3) (4)2 （2015 课标全国 卷）sin 20cos 10 cos 160sin 10 （）A 23B. 23C12D.12解析： sin 20

4、cos 10 cos 160sin 10 sin 20cos 10 1cos 20sin 10sin（2010）sin 30 2.答案：D23（经典再现）已知 sin 2 3，则 cos2（ 4）（）A.166B.13解析： sin 223， cos21 cos 2 21sin 222答案：A12C.12D.2342131.2 6.1113134（2015 重庆卷）若 tan 3，tan（ ）2，则 tan （1155A.17B.16C.57D.56解析：tan tan（ ）tan（ ）tan 1 tan （ ）tan 11.7.21112答案：A5若锐角 、满足 （1 3tan ）（1 3t

5、an ）4，则 解析： 由(1 3tan )(1 3tan )4， tan tan 可得 3，即 tan( ) 3. 1 tan tan 又 (0， )，所以 3.答案：一点注意三角函数是定义域到值域的多对一的映射， 时刻关注角的范围是 防止增解的有效措施两个技巧1拆角、拼角技巧： 2 （ ）（ ，） （ ）， 22，22 .2化简技巧：切化弦， “1”的代换等三种变化1变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系2变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”、“升幂与降幂”等3变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等、选择题1若 sin 23，3，则 cos (ABC.13D.23解析

6、：cos 12sin2 21232313.答案：3sin 70 ()2.2 cos210 ()A.12B.22CD. 3D. 2解析：原式3 sin 7021( 3cos 202( 3sin 70)3 sin 702.答案：3已知sin cos13，sin2 4 (4A.118B.1178D.92解析：由 sin cos1 3得 1 sin 2191，解得 sin 28，9，所以 sin2 41 cos 2 221 sin 217 1178. 答案： B24已知 3，24且 cos 45，则 tan 4 等于 （22.A7B.17C7D7解析：因，2且 cos 45，5所以 sin0，即 si

7、n335，所以 tan 3. 4.所以 tan1 tan 1 tan 131 4 137.134 7答案：B5已知sin55 ，sin（ ）10，10 ，均为锐角，角 等于 (）5A. 12B. 3 C. 4 D. 6解析： ，均为锐角， 2 2 .又 sin（ 10 3 10 ） 10 ， cos（ ） 10 .5 2 5sin 5 ， cos 5 ，sin sin （ ） sin cos（ ）cos sin（ ）5 3 105 10255 11005 104 . 答案： C、填空题36若 sin 2 5，则 cos 2 解析：sin 2cos 35，cos 2 2cos2 1235 1 2

8、75.答案：7257 （2014 山东卷 ）函数 y 23sin 2x cos2x 的最小正周期为解析：原式 23sin 2x1c2os 2xsin 2x6 21，2周期 T22 .答案： 8（2014 课标全国 卷）函数 f（x） sin（x2）2sin cos（x） 的最大值为 解析： f（x）sin（x2）2sin cos（x）sin（x ） 2sin cos（x）sin（xc）os cos（x）sin 2sin cos（x ）sin（xc）os cos（x s）in sin（x）sin x，f（x） 的最大值为 1.答案：19设函数 f(x) sin xcos x，f(x)是 f(x)

9、的导数，若 f(x)2f (，x)sin2x sin 2xcos2x解析： f （x） cos xsin x，由 f（x） 2f （x得）sin xcos x2cos x2sin x， cos x3sin x，22sin x sin 2x sin x 2sin xcos x 于是cos2xcos2xsin2x6sin2x29sin2x59.答案：三、解答题10已知2， sin62cos2 2 .（1）求 cos的值；（2）若 sin（2， ，求 cos 的值解： （1）因为 sin 2 cos2两边同时平方，得1 sin 2.又 2 ，所以cos3.2.（2）因为 2 2 所以 2 ，故 2 2.34又 sin（ ） 5，得 cos（ ）5.cos cos （） cos cos（ ）sin sin（ ）3412345213 4 335 101 2sin 2x 4cos x11(郑州质检 )已知函数 f(x) 4(1)求函数 f(x) 的定义域；(2)设 是第四象限的角，且 tan43，求 f( 的)值解析： (1)要使 f(x)有意义，则需cos x 0， f(x)的定义域是 x|x k 2 ，kZ .1 2 22sin 2x 22cos 2x(2)f(x) 2 cos x 21co