专题7：几何辅助线(图)作法探讨

1、七年级数学（下）教学教案（人教版）专题7:几何辅助线（图）作法探讨、构造基本图形： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形。如平行线，垂直线，直角三角形斜边 上中线，三角形、四边形的中位线等。等腰（边）三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊 四边形和圆的特殊图形也都是基本图形，但我们后面把它们单独表述。典型例题:例1.（2012湖北襄阳3分）如图，直线I / m，将含有45。角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上,12若/ 1=25则/ 2的度数为【A. 20B. 25C.30【答案】A。【考点】

2、平行线的性质。【分析】如图，过点B作BD/ I,BD / I /m。4=/ 1=25D. 35/ ABC=45, / 3=/ ABC-/4=45 - 25 =20/ 2=/ 3=20 故选 A。A.1000B.1050例2. （2012四川内江3分）如图,【答案】B。【考点】平行的性质，三角形外角性质。【分析】如图，反向延长b，形成/ 4。/ a/b ,/ 3=180/ 4。又/ 2=/ 1 + / 4,即/ 4=/ 2 / 1。 Z3 =180 （N2-N1 ） = 180 -（140 -65 ） = 105。故选 B。例 3. （2012 广东梅州 3 分）如图，/ AOE=/ BOE=1

3、5, EF/ OB, EC丄OB,若 EC=1,贝U EF= 【答案】【考点】角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形的性质。【分析】作EG丄OA于F,/ EF/ OB, / OEF=/ COE=15,/ AOE=15, / EFG=15+1530/ EG=CE=1 EF=2X1=2o例4.（ 2012广东佛山3分）依次连接任意四边形各边的中点,得到一个特殊图形（可认为是一般四边形的性质）,则这个图形一定是A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形【答案】A。【考点】三角形中位线定理,平行四边形的判定。【分析】根据题意画出图形,如右图所示:连接AC, 四边形 ABCD各边

4、中点是E、F、G、H,1 1 HG/ AC, HG=AC, EF/ AC, EF=AC。； EF=GH EF/ GH。2 2四边形EFGH是平行四边形。由于四边形EFGH是平行四边形，它就不可能是梯形；同时由于是任意四边形，所以AC=BD或AC丄BD不一定成立,从而得不到矩形或菱形的判断。故选A。例5.（2012江苏宿迁3分）已知点E, F, G, H分别是四边形 ABCD的边AB, BC, CD, DA的中点，若AC丄BD,且AO BD则四边形EFGH的形状是.（填 梯形”矩形”菱形”）【答案】矩形。【考点】三角形中位线定理，矩形的判定。【分析】如图，连接AC, BD。 E, F, G, H

5、 分别是 AB, BC, CD, DA 的中点,根据三角形中位线定理,又 AC丄 BD, / EHG=/ HGF=/ GFE=/ FEH=9C0o四边形EFGH是矩形。HE/ AB/ GF, HG/ AC/ EF。且 AO BD 四边形 EFGH邻边不相等。四边形EFGH不可能是菱形。例6. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，线段AC=n+1 （其中n为正整数），点B在线段AC上,在线段AC同侧作正方形 ABMN及正方形BCEF连接AM、ME、EA得到 AME.当AB=1时， AME的面积记为 S1 ;当AB=2时， AME的面积记为 Q;当AB=3时， AME的面积记为S3

6、;；当AB=n时, AME的面积记为 Sn.当n罗？时，Sn- S,-1 = 【答案】【考点】2n 1o2正方形的性质，平行的判定和性质，同底等高的三角形面积，整式的混合运算。【分析】连接BE,在线段AC同侧作正方形 ABMN及正方形BCEF BE/ AM o AME 与 AMB 同底等高。 AME的面积= AMB的面积。当AB=n时， AME的面积为Sn1 2=n2 ,当 AB=n 1 时,2 AME 的面积为 Sn 二1 (n -1 2 o1112n 1当 n淳时，Sn -Sn=-n2 -(n T f = -n+n -1 加-n+1 =-。例7. （2012江苏镇江6分）如图，在四边形 A

7、BCD中，AD / BC, E是AB的中点，连接 DE并延长交CB的延长线于点 F,点G在BC边上，且/ GDF=/ ADFo(1)求证： ADEBA BFE（2）连接EG判断EG与DF的位置关系，并说明理由。【答案】【考点】【分析】解：（1）证明： AD/ADE=/ BFE（两直线平行，内错角相等）/ E是 AB 的中点， AE=BB又/ AED=/ BEF,. ADEA BFE (AAS。（2） EG与DF的位置关系是 EG丄DF。理由如下:/ ADE=/ BFE, / GDF=/ ADF,/ GDF=/ BFE （等量代换）。.GD=GF （等角对等边）。又 ADEA BFE DE=EF

8、（全等三角形对应边相等） EG丄DF （等腰三角形三线合一）。平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。（1）由已知，应用 AAS即可证明 ADEA BFE(2)由/ ADE=/ BFE / GDF=/ ADF可得/ GDF=/ BFE从而根据等角对等边得 GD=GF由(1) ADEA BFE可得DE=EF根据等腰三角形三线合一的性质可得EG 丄 DF。例8. （2012广西南宁10分）如图，已知矩形纸片 ABCD AD=2, AB=4.将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB, CD交于点G, F, AE与FG交于点.0.（1）如图1,求证：A, G,

9、E, F四点围成的四边形是菱形;（2）如图2,当 AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点;（3）如图2,在（2 ）的条件下，求折痕 FG的长. B【答案】解:（1）由折叠的性质可得，GA=GE / AGF=/ EGF,DC/ AB,./ EFG=/ AGF。./ EFG=/ EGF EF=EG=AG四边形 AGEF是平行四边形（EF/ AG, EF=AG。又 AG=GE 四边形AGEF是菱形。(2)连接ON, AED是直角三角形，AE是斜边，点 O是AE的中点, AED的外接圆与 BC相切于点N , ON丄 BC。/点O是AE的中点， ON是梯形ABCE的中位线。点N是线

10、段BC的中点。(3 ) OE、ON 均是 AED的外接圆的半径， OE=OA=ON=2 AE=AB=4在 RtA ADE 中，AD=2, AE=4, / AED=30。在 RtA OEF中，OE=2,/ AED=30 , OF =。二 FG=2OF。33【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据折叠的性质判断出 AG=GE / AGF=/ EGF,再由CD/ AB得出/ EFG=/ AGF,从而判断出EF=AG得出四边形 AGEF是平行四边形，从而结合 AG=GE可得出结论。（2）连接ON,贝U ON丄BC

11、,从而判断出 ON是梯形ABCE的中位线，从而可得出结论。（3）根据（1）可得出 AE=AB,从而在 RtA ADE中，可判断出/ AED为30 在 RtA EFO中求出FO,从而可得出FG的长度。练习题:1.（2012宁夏区3分）如图，C岛在A岛的北偏东45方向，在B岛的北偏西25方向，则从C岛看A、B两岛的视角/ ACB= 度.2. （ 2012浙江嘉兴、舟山 5分）在直角 ABC中，/ C=90AD平分/ BAC交BC于点D,若CD=4,则点D到斜边AB的距离为3. （2012江苏南京8分）如图，梯形 ABCD中，AD/BC,AB=CD对角线 AC、BD交于点0, AC丄BD, E、F、

12、G、H分别为AB、BC、CD DA的中点（1）求证：四边形 EFGH为正方形;(2)若AD=2, BC=4,求四边形EFG H的面积。4.（2011湖南怀化3分）如图,已知直线 a / b , / 1=40 / 2=60 则/ 3等于 【】5.（2011湖北恩施3分）A、43 B、47 6.（2011广东茂名3分）A、100D、20B、60C、40将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果/C 30D、60a =43；则的度数是【】如图，两条笔直的公路 11、12相交于点0,村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D,已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄 C到公路1i的距离为4公里，则村

13、庄 C到公路1?的距离是【 】A、3公里B、4公里C、7. （ 2011辽宁辽阳3分）如图，已知菱形 ABCD的边长为2,/ BAD = 60若DE丄AB，垂足为点E,则DE的长为 8. （2011贵州黔东南4分）顺次连接一矩形场地ABCD的边AB、BC CD DA的中点 E F、G、H，得到四边形EFGH M为边EH的中点，点P为小明在对角线 EG上走动的位置，若 AB=10米，BC=1/3米，当PM+PH的和为最小值时,EP的长为。9. （2011广西玉林、防城港 10分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形 AEFG线段EB和GD相交于点H.

14、(1) 求证：EB=GD（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由;(3)若 AB=2, AG=J2，求 EB 的长.10. （2011湖南衡阳10分）如图，在矩形 ABCD中，AD=4cm , AB=m （ m 4）,点P是AB边上的任意一点（不与点 A、B重合），连接PD,过点P作PQ丄PD ,交直线BC于点Q.当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由;连接AC,若PQ/AC,求线段BQ的长（用含m的代数式表示）;若 PQD为等腰三角形，求以 P、Q、C D为顶点的四边形的面积 S与m之间的函数关系式，并写的取值范围.、构造等腰（边）三角形

15、：当问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰（边）三角形；出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰（边）三角形。通过构造等腰（边）三角形，应用等腰（边）三角形的性质得到一些边角相等关系，达到求证（解）的目的。典型例题:例1.（ 2012浙江丽水、金华 4分）如图，在等腰ABC中，AB= AC, / BAC= 50 / BAC的平分线与 AB的中垂线交于点 0,点C沿EF折叠后与点0重合,则/ CEF的度数是_【答案】50【考点】【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出/OBC= 40 以及/ OBC=/ OCB= 40 再利用翻折变换的性质得出 EO=

16、EC / CEF=/FEO,进而求出即可:连接BO, AB= AC, AO 是/ BAC的平分线, AO是BC的中垂线。BO= CO。/ BAC= 50 , / BAC 的平分线与AB的中垂线交于点 O,/ OAB=/ OAC= 25翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质。等腰 ABC中，AB= AC, / BAO50 / ABC=/ ACB= 65 / OBC= 65 25= 40 /./ OBC=/ OCB= 40点C沿EF折叠后与点 O重合， EO= EC, / CEF=/ FEQ / CEF=/ FEO=( 180 240)吃=50例2.(

17、 2012甘肃白银10分)如图，已知 ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC AB 上, / EFB=60 ,DC=EF.(1)求证：四边形 EFCD是平行四边形;(2)若BF=EF 求证：AE=AD.C【答案】证明：(1 ) ABC是等边三角形，/ ABC=60。/ EFB=60 , / ABC=/ EFB . EF/ DC (内错角相等，两直线平行)。/ DC=EF 四边形EFCD是平行四边形。(2) 连接B巳/ BF=EF/ EFB=60, EFB是等边三角形。 EB=EF/ EBF=60。/ DC=EF EB=DC/ ABC是等边三角形，/ ACB=60 , AB=ACo/ EBF

18、=/ ACBoA AEBA ADC ( SAS o . AE=AB【考点】【分析】等边三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质,(1) 由 ABC是等边三角形得到/ B=60 ,而/ EFB=60 ,由此可以证明 EF/ DC,而DC=EF然后即可证明四边形 EFCD是平行四边形;(2)如图，连接BE,由BF=EF / EFB=60可以推出 EFB是等边三角形，然后得到EB=EF, / EBF=60 ,而DC=EF由此得到 EB=DC又 ABC是等边三角形，所以得到/ACB=60 , AB=AC,由SAS即可证明 AEBA ADC,利用全等三角形的性质就证明AE=AB

19、例3. (2011上海12分)如图，在梯形 ABCD中，AD/BC , AB= DC,过点 D作DEX BC,垂足为 E,并延长 DE 至 F, 使 EF= DE.联结 BF、CD AC.(1)求证：四边形 ABFC是平行四边形;(2) 如果DE2= BECE求证四边形 ABFC是矩形.【答案】解：(1)证明：连接BDo梯形 ABCD中，AD/ BC, AB=DC, / AC=BD, / ACB=/ DBC/ DE丄 BC EF=DE 二 BD=BF / DBC=/ FBG AC=BF / ACB=/ CBFo. AC/ BFo四边形ABFC是平行四边形;(2)v DE2= BECE =-CE

20、 obe de/ DEB=Z DEC=9O, BDEsA DECoAZ cde=z dbe,/ BFC=/ BDC=/ BDE+Z CDE=Z BDE+Z DBE=90 o四边形abfc是矩形。【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质， 相似三角形的判定和性质,矩形的判定，等量代换。【分析】(1)连接BD,利用等腰梯形的性质得到 AC=BD再根据垂直平分线的性质得到DB=FB从而得到AC=B F然后证得AC/ BF,利用一组对边平行且相等判定平行四边形。(2 )利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形。练

21、习题:1.(2011山东潍坊3分)已知长方形 ABCD, AB=3cm, AD=4cm,过对角线 BD的中点 0做BD的垂直平分线EF分别交AD、=60若de丄AB，垂足为点E,2.( 2011辽宁辽阳3分)则de的长为3. （2011湖北十堰8分）如图，AB是半圆0的直径，点 C为半径0B上一点，过点 C作CD丄AB交半圆 0于点。，将ACD沿AD折叠得到 AED, AE交半圆于点F,连接DF。（1）求证：DE是半圆的切线;（2）连接0D,当OC=BC时，判断四边形 ODFA的形状，并证明你的结论。4. （2011四川巴中10分） 如图所示， ABC的外接圆圆心 0在AB上，点D是BC延长线

22、上一点，DM丄AB于M，交AC于N,且AC=CD CP是 CDN的ND边的中线.求证： ABC DNC;（2）试判断CP与O 0的位置关系，并证明你的结论。5. （2011广东河源9分） 如图，等腰梯形 ABCD中，AB/ CD, AD=BCo将 ACD沿对角线 AC翻折后,点D恰好与边AB的中点M重合.点C是否在以AB为直径的圆上？请说明理由；当AB=4时，求此梯形的面积.三、构造直角三角形： 通过构造直角三角形，应用直角三角形的性质得到一些边角关系（勾股定理，两锐角互余，锐角三角函数），达到求证（解）的目的。典型例题:例丄广东广州5分)在RtAABC中，ZC=90% AC=9, BC=12

23、,则点C g| AB的距离是【】A. B. 12 c. D墜52544【答案】乩【分析】根据题意画出相的图形，如图所示【苇点】勾股定理，点到直线的距离，三角形的面积.在 RtiABC 中，AC=P, BC=12,根据勾股定理得；电AJaL+ECJX+lF =15.过C作CD丄AB,交AB于点D,15则由 s ABb丄aoboLab-cd,得 cd = MBc=Z111=兰3 2AB 155二点C到AB的距离是=故选A-5例2. (2012广西柳州3 分）已知：在 ABC中，AC=a, AB与BC所在直线成45角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为(即cosC=J5),则AC边上的中线长是5

24、【答案】a或逅a10 10513【考点】【分析】分两种情况:ABC为锐角三角形时，如图 1, BE为AC边的中线。作 ABC的高AD,过点E作EF丄BC于点F。在 RtA ACD 中，AC=a, cosC= 75 ,5 CD= J5a, AD出a o55在 RtAABD 中，/ ABD=45 , BD=AD迟53亦BC=BD+CD a o5点E是AC的中点，EF/ AD,1 /5 EF是 ACD的中位线。 FC=1 DC a,2 5EF=1 AD= 10二 BF=2 J5 a o解直角三角形，锐角三角函数定义，三角形中位线定理，勾股定理。IIIV85aa。10、ABC为钝角三角形时,如图 2,

25、 BE为AC边的中线。作 ABC的高AD。在 RtA ACD 中，AC=a2cosC= 75 ,5吨忌,AD=a。ffl2在 Rf ABD 中，/ ABD=45 , - BD=AdM5 BC= BD出 a。5点E是AC的中点， BE是 ACD的中位线。二BE=1 AD=a。2 10综上所述，AC边上的中线长是 返a或一a。10 10例3. （2012广西河池3分）如图，在矩形 ABCD中，AD AB,将矩形ABCD折叠,使点C与点A重合，折痕为 MN，连结CN.若 CDN的面积与 CMN的面积比为1 : 4，贝U也匕的值为【】BMAA/A.B. 4D. 2/6【答案】Do【考点】翻折变换（折叠

26、问题），折叠的性质,矩形、菱形的判定和性质,勾股定理。【分析】过点N作NG丄BC于G,由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质,在RtA BEF中，由勾股定理，得 BE = JbF2 + EF2 = 希屁214，根据等高三角形的面积比等于对可得四边形 AMCN是菱形，由 CDN的面积与 CMN的面积比为1:应底的比，可得 DN: CM=1: 4，然后设DN=x,由勾股定理可求得 MN的长，从而求得答案:过点N作NG丄BC于G, 四边形ABCD是矩形，四边形 CDNG是矩形，AD/ BG CD=NG CG=DN,/ ANM= / CMN。由折叠的性质可得： AM=CM ,

27、 / AMN= / CMN, / ANM= / AMN。 AM=AN。 AM=CM，四边形 AMCN是平行四边形。/ AM=CM，二四边形 AMCN是菱形。/ CDN的面积与 CMN的面积比为1: 4,.DN: CM=1 : 4。设 DN=x，贝U AN=AM=CM=CN=4x, AD=BC=5x CG=x / BM=x, GM=3x。在 RtA CGN 中,NG =JCN2 -CG2 =J(4x f X2 =,+ (715x ) =2j6x ,MN =x/GM2 +NG2 =.MN =2屈BM = x=26。故选 Do例4. （2012北京市5分）如图，在四边形 ABCD中，对角线 AC,

28、BD交于点E,/ BAC=900, / CED=4罠在 RtA MNG 中,/ DCE=900, DE=J2 , BE=2j2 .求CD的长和四边形 ABCD的面积.【答案】解：过点D作DH丄AC,【考点】【分析】半得出/ CED=45 , DH丄 EC DE=J2 , EH=DH=1。又/ DCE=30 , DC=2, HC=J3。/ AEB=45 , / BAC=90 , BE=2寸2 ,-AB=AE=2. AC=2+1+73 =3+。- S四边形ABCD2 咒(3+75 +x(3 +，j3 = 92勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质,利用等腰直角三角形的性质得出

29、EH=DH=1,进而得出再利用直角三角形中30所对边等于斜边的CD的长，求出 AC, AB的长即可得出四边形 ABCD的面积。例5. （2012山东莱芜9分）某市规划局计划在一坡角为16o的斜坡AB上安装一球形雕塑，其横截面示意图如图所示已知支架 AC与斜坡AB的夹角为280,支架BD丄AB于点B,且AC、BD的延长线均过O O的圆心，AB= 12m, O O的半径为1.5m ,求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离（结果精确到0.01m,参考数据：cos28o 0.9 sin62o 0.,9 sin44o 0.7 cos46o 0.7)【答案】解：如图，过点 0作水平地面的垂线，垂足为点E。ab在

30、 RtAAOB 中，coNOAB =，即 cos280OA120A 0A=1212c 俺“3.333。cos28 0.9/ BAE=160,a/ OAE=280 + 16=44。在 Rf AOe中，SWAO!，即 sin4400Eaz13.333二 0E 上 13.333xsin44 13.333x0.7 9.3339.333 + 1.5=10.833 10.83n )。【考点】答：雕塑最顶端到水平地面的垂直距离为解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。10.83 m。【分析】如图，过点 0作水平地面的垂线，构造 RtA AOEo解RtA A0B,求出0A;解RtA A0E,求出0E,即可得出雕

31、塑最顶端到水平地面的垂直距离。例6. （2012山东聊城7分）周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）小船从P处出发，沿北偏东 60划行200米到达a处，接着向正南方向划行一段时间到达B处.在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37方向上，这时小亮与妈妈相距多少米 （精确到米）？（参【答案】 解：作PD丄AB于点考数据：sin37 0.60, cos37D,V21.41 , Vs 1.73)由已知得 PA=200米，/ APD=30, / B=37,在 RtA PAD 中, 由 cos30=匹，得 PD=PAcos30=2OOX=ioo75 （米）。PA2

32、在 RtA PBD 中，由 sin37=ID，得斧叫6耳288 （米）。答：小亮与妈妈的距离约为288 米。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数。【分析】作PD丄AB于点D,分别在直角三角形 PAD和直角三角形PBD中求得PD和PB即可求得结论。例7.（2012吉林省8分）如图，在扇形OAB中，/ AOB=90，半径OA=6.将扇形OAB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在 AB上点D处,折痕交OA于点C,求整个阴影部分的周长和面积.【答案】解：连接OD。根据折叠的性质，CD=COBD=BO, /DBC=/ OBC,【考点】 OB=OD=BD OBD 是等边三角形。/ CBO=1

33、 / DBO=30。2/ AOB=90 , OC=OB?tan/ CBO=6C- S2BDC =S3C =2x0BX0C =c90 弧 62S扇形 AOB =9 兀,360整个阴影部分的周长为:/ DBO=60。AB=9180=3兀AC+CD+BD+AB =AC+OC+OB+AB =6+6+3 冗=12+3n整个阴影部分的面积为：S扇形AOB S洋DC SBC =9兀一6J36虫=9兀123。翻折变换（折叠问题），等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值,弧长的扇形面积的计算。【分析】 连接OD,由折叠的性质，可得 CD=CO, BD=BO,/ DBC=/ OBC,则可得

34、OBD是等边三角形,继而求得 0C的长，即可求得 OBC与 BCD的面积，又由在扇形 OAB中，/ AOB=90，半径0A=6，即可求得扇形OAB的面积与AB的长，从而求得整个阴影部分的周长和面积。练习题:1.（2012四川绵阳3分）1已知 ABC中，/ C=90, tanA=-, D 是 AC上一点，/ CBD=/ A,贝U sin/ ABD= 2】。A.710 B. -5-2.35（2012山东青岛8分）D.辔C. &10如图，某校教学楼 AB的后面有一建筑物 CD,当光线与地面的夹角是 22o时,教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE;而当光线与地面的夹角是 450时，教学楼顶A在地面

35、上的影子F与墙角C有13m的距离（B、F、C在一条直线上）.（1）求教学楼AB的高度;（2）学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）（参考数据:Sin2203 , cos22o ,8 16A2tan220-)5七nnn、4. g迟3. （2012湖北襄阳3分）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD.如图,已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点 C,此时，铅垂线 OE经过量角器的60刻度线，则假山的高度为【A. ( 4

36、 丽+1.6) mB. (1273+1.6) mC. (4 73+1.6) mD. Wsm4. （2012江苏南京2分）如图，将45的/ AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点 B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将 37的/ AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点 C在尺上的读数约为 cm（结果精确到0.1 cm,参考数据:275)5. （2012福建福州 4分）如图，已知 ABC, AB= AC= 1 , / A= 36 / ABC的平分线 BD交AC于点D,则AD的长是 , cosA的值是 .（结果保留根号）6. （ 2012陕西

37、省8分）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先 在湖岸上的凉亭 A处测得湖心岛上的迎宾槐 C处位于北偏东65。方向，然后，他从凉亭 A处沿湖岸向正东方向走了 100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐 C处位于北偏东45。方向（点A、B、C在同一水平面上）.请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐 C处与湖岸上的凉亭 A处之间的距离（结果精确到1米）.(参考数据：sin 25 止 0.4226, cos25 丸 0.9063,tan 25 丸 0.4663,sin 65 丸 0.9063 ,cos65 止 0.4226, ta n657. （ 2012江苏连云

38、港10分）已知B港口位于A观测点北偏东53.2方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的 BC方向航行，15m in后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8方向，求此时货轮与A观测点之间的距离 AC的长（精确到0.1km）.（参考数据：sin53.2 0,80os53.2 0,6(Sin79.8 0,98os79.8 0.,18an26.6 0.,52 1.41 庐 2.24)卫观测点8. （2012四川乐山10分）如图，在东西方向的海岸线I上有一长为1千米的码头MN，在码头西端 M的正西方向30千米处有一观察站 O.某时刻测

39、得一艘匀速直线航行的轮船位于0的北偏西30方向，且与0相距2（V3千米的A处；经过40分钟，又测得该轮船位于0的正北方向，且与 0相距20千米的B处.（1）求该轮船航行的速度;MN靠岸？请说明理由.（参考数据:（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头“81. 414,血81. T32)四、构造全等三角形： 通过构造全等三角形，应用全等三角形对应边、角相等的性质，达到求证（解）的目的。典型例题:例1. （ 2012浙江绍兴5分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC, CD上，将 ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B处，又将CEF沿EF折叠，使点C落在EB与AD的交点

40、C处.则BC:AB的值为_【答案】【苇点】翻折变换（折g间题）,折g的性质，拒形的性质，平行的性质，等三角形的性质，全等三角形的判定和性质，鋭三角函数定义.特殊角的三函数值M【分析竝接CC，将AABE沿AE折養，使点B落在AC上的点B处,又将iCEF沿EF折盏 使点C落在 田与AD的交点C处./-EC；=ECS .ECOZECC1/ ZDCr=ZECC .ZECC=ZDCC.二ccr是WECD的平分线口*.ZCBV=ZD=90ACBVACDCUAAS)，二CBT又TAB JAB,二 B是对线 AC 中点，目卩 AC=2AB .ZACB=30/.tanZACB=tan30= BC例2.（2012

41、山东泰安3分）如图,AB/ CD, E，F分别为 AC, BD的中点，若 AB=5，CD=3,贝U EF的长是A.4 B. 3C. 2 D.【答案】Do【考点】三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。【分析】连接DE并延长交AB于H,/ CD/ AB,./ C=/ A, / CDE=/ AHE。/ E是 AC中点， DE=EH DCEA HAE ( AAS。 DE=HE DC=AHo F是 BD 中点， EF是 DHB 的中位线。二 EF=BH。2 BH=AB- AH=AB- DC=2o. EF=1。故选 Do例3. （2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片 ABCD

42、,点P为正方形AD边上的一点（不与点 A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF,连接BP、BH.(1) 求证：/ APB=/ BPH;(2) 当点P在边AD上移动时， PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论;(3) 设AP为X,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式，试问 S是否存在最小值？若存在,求出这个最小值；若不存在，请说明理由.G(备用图【答案】 解: (1)如图 1,v PE=BE / EBP=ZEPB又/ EPH=/ EBC=90 ,/ EPH- / EPB=/ EBC-/ EBP,即/ PBC=Z BPHo又 AD /

43、BC, / APB=/ PBCoA/ APB=/ BPH。(2 ) PHD的周长不变为定值 &证明如下:如图2,过B作BQ丄PH,垂足为Q。由(1)知/ APB=/ BPH,又/ A=/ BQP=90, BP=BF, ABPA QBP (AAS)。 AP=QP, AB=BQ。Q圉2又 AB=BC, BC=BQ又/ C=/ BQH=90 , BH=BH, BCHA BQH ( HL)。 CH=QHo PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8(3)如图3,过F作FM丄AB ,垂足为 M ,贝U FM=BC=AB又 EF为折痕， EF丄BPo/ EFM+/ MEF=

44、/ ABP+/ BEF=90o ./ EFM=/ ABP。又/ A=/ EMF=90 o AB=ME , EFMA BPA( ASA) o EM=A P=x.2在 RtA APE 中，(4 - BE) 2+x2=bE2 ,即 BE =2+% ox2 CF=BE -EM =2+1X。8又四边形 PEFG与四边形BEFC全等, sJ (BE +CF) BC=- 14+ 2 丿 24-X jJx2 2x+8=丄(X _2 $+6。2 2* 3210丄V4 ,当x=2时，S有最小值6o2【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理, 次函数的最值。【分析】（

45、1）根据翻折变换的性质得出/PBC=/ BPH,进而利用平行线的性质得出/APB=/PBC即可得出答案。(2)先由AAS证明 ABPA QBP,从而由HL得出 BCHA BQH,即可得 CH=QH=因此， PDH的周长=P D+DH+PH=AP+P D+DH+HC=AD+CDM 定值。（3）利用已知得出 EFMA BPA从而利用在 RtAAPE中，（4 - BE） 2+x2=bE2，利用二次函数的最值求出即可。例4. （ 2011广西南宁3分）如图，在 ABC中，/ ACB= 90o, / A= 15o, AB= 8,贝U ACBC的值为【】A.14B. 16诉【答案】Do【考点】全等三角形的

46、判定和性质，锐角三角函数。【分析】延长BC到点D,使CD= CB连接AD,过点D作DEXAB,垂足为点E。则知 ACDA ACB,从而由已知得/ CAD=/ A= 15o, AD= AB。因此，在 RtA ADE 中，AD= 8,/ BAD= 30o,A DE= AD-sin30o= 4。从而Saade= - AB DE= 16,又 &ade= - B D AC= - 2 BC AC= AC BC,I卩 AC BC= 16。 2 2 2例5.（2011山东济南3分）如图，在 ABC中,/ ACB= 900, AO BC,分别以 AB、BC、CA 为一边向 ABC外作正方形 ABDE、BCMN、

47、CAFG连接EF、GM、ND,设 AEF、A BND、A CGM 的面积分别为0、S2、S3,则下列结论正确的是【A.Si = S2 = S3C.【答案】Si = Qv S2【考点】【分析】DB. Si= S2V S3D. S2= S3V Si正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质。过点D作DQ丄MN交CB的延长线于点 P,交MN的延长线于点过点E作ER丄GF交CA的延长线于点 S,交GF的延长线于点 R。D易证CGMA CAB (SAS ,即 S2= &abc；易证PBDB CAB (AAS), BP=AC 即 S3 的底为 BN=BC,高为 BP=AC S2= $ abc；

48、易证SEAA CAB (AAS), AS=BC 即 Si 的底为 FA=CA 高为 AS=BC 二 S= & abc。 - S1 = $2= S3=ABCo 故选 Ao例6.（2011山东德州8分）如图AB=AC, CD丄AB于D, BE丄AC于E, BE与CD相交于点0.(1)求证 AD=AE（2）连接0A, BC,试判断直线0A, BC的关系并说明理由.(2)在 RtAADO 与 RtA AEO中，t OA=OA, AD=AE,【答案】 解：（1）证明：在 ACD与 ABE 中,/ A=/ A, / ADC=/ AEB=90 , AB=AC ACDA ABE ( AAS)。 AD=A& A

49、DOBA AEO ( HL)。/ DAO=/ EAO。即OA是/ BAC的平分线。又 AB=AC, OA丄 BCo【考点】全等三角形的判定和性质【分析】（1）根据全等三角形 AAS的判定方法，证明 ACDA ABE即可得出AD=AE。（2）根据已知条件得出 ADOBA AEO,得出/ DAO=/ EAO,即可判断出 OA是/ BAC的平分线,即OA丄BCo练习题:1. （2012湖南岳阳3分）如图，在RtAABC中，/ B=90沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若 AB=3,BC=4,贝U BD= 2. （2011湖北恩施3分）如图，AD是 ABC的角平分线，DF丄AB,垂足为F, DE=DG

50、 ADG 和 AED的面积分别为50和39,则 EDF的面积为 【】A、11B、5.5C、7D、3.53.（2011湖北随州4分）如图， ABC的外角/ ACD的平分线CP与内角/ABC平分线BP交于点P,若/ BPC=40 ,则/ CAP= ABCD,4. （2011广西贵港2分）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形 若AD= 6cm, / ABC= 60则四边形 ABCD的面积等于cm2.5. （2011江苏徐州6分）如图，将矩形纸片 ABCD按如下顺序进行折叠：对折、展平，得折痕EF如图）;沿GC折叠，使点B落在EF上的点B处（如图）;展平，得折痕GC如图）;沿GH折叠，使点C落在DH得折痕GC、GH（如图）。上的