专题20：动态几何之存在性问题探讨(20200915064728)

1、七年级数学（下）教学教案（人教版）专题20:动态几何之存在性问题探讨、等腰（边）三角形存在问题:典型例题:例1: （2012广西崇左10分）如图所示，抛物线 y=ax2+bx + c （aO的顶点坐标为点 A （ 2, 3）,且抛物线y =ax2+bx + c与y轴交于点B（0，2）.(1)求该抛物线的解析式;3是否在x轴上存在点P使 PAB为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由;若点P是x轴上任意一点，则当 PA PB最大时，求点P的坐标.0【答案】解：（1 ）抛物线的顶点坐标为A（ 2, 3）,.可设抛物线的解析式为y=a（x+2）2+3。1由题意得 a （ M 2

2、）中 3，解得a =-丄。4物线的解析式为 y=-1（x +2）2 +3，即 y=-1x2-x +2。4 4（2）设存在符合条件的点P,其坐标为（P, 0）,则P a2=(-2 - P)2+32, PB=p2 +22 , AB2 = (3-2)2+22 =5当PA=PB时,(2P)2 +32 = P2 +22，解得 p=94当PA=PB时,（-2-P ）2 +32=5，方程无实数解;当PB=AB时,P2+22 =5,解得P = 1。 x轴上存在符合条件的点(3)v PAPBC AB 当 A、B、9P,其坐标为（，0 ）或（-1,0 ）或（1,0 ）。4P三点共线时，可得 PA- PB的最大值，

3、这个最大值等于AB,此时点P是直线AB与x轴的交点。设直线AB的解析式为y=kx+b，则 1!b=2，解得卜2。直线AB的解析式为,E+b=3b=2y 2,1当 y =-x +2=0 时，解得 X =4。2当PAPB最大时，点P的坐标是(4, 0)。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质。【分析】(1)由已知用待定系数法，设顶点式求解。(2) 分PA=PB PA=PB PB=A三种情况讨论即可。(3)求得PAPB最大时的位置，即可求解。例2: (2012辽宁朝阳14分)已知，如图，在平面直角坐标系中，RtA ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在

4、y轴的正半轴上，A (0, 2) , B ( 1, 0)。(1) 求点C的坐标;(2) 求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴;(3) 设点P(m, n)是抛物线在第一象限部分上的点， PAC的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求使S最大时点P的坐标;(4)在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得 MPC ( P为上述(3)问中使S最大时点)为若不存在，请说明理由。等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标;【答案】解：(1 ) A (0, 2) , B ( 1, 0), OA=2, OB=1。=丄，解得OC=42由 RtA ABC 知 RtA ABO RtA CAO,； O -OBOC

5、 OA点C的坐标为(4, 0)。(2)设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a(x+1)(x 4 ),1将 A ( 0, 2)代入，得 2=a(0+1)(04 卜解得 a=-。113过A、BC三点的抛物线的解析式为y=-（x+1yx4卜即卩y=-x2 + -x+2。y=x2+3x+2=X-222 I 2 丿 8+25 ,抛物线的对称轴为 x= 3。（3）过点P作x轴的垂线，垂足为点H。1点 P( m , n)在 y-2X2+2x+2 上，即- Pfm，一 m2+3m+2。I 22)1 f 1 2 3)1 3 3 2- S梯形AOHP!2 m + m+2 m= m + m +2m2( 22丿4

6、41S皆HC =2(4 -m23J 13721m +- m+2 = - m - m +2m+4 , SaacC=- 4 2=4。2 丿44出 2_1332_13-S=S梯形 aohp +S狞hc 一S出oc = -一 m + m +2m+ m 4442 2 S=m +4m= (m -2 ) +4，当 m =2时，S最大。722-m +2m+4-4=-m +4m 。4当 m =2 时，n= X 2? + X 2+2=3。.点 P 的坐标为（2 2（4）存在。点 M的坐标为（3, 1 ）或（ 3仝73 ）或（ 3,-浊 ）或（3, 3710 ）或2 2 2 2 2 2 22, 3)。10 )。【考

7、点】二次函数综合题，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次 函数的性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）由RgABgRtACAO可得0=-0B，从而求出点C的坐标。OC OA（2）设抛物线的交点式，用待定系数法求出抛物线的解析式；化为顶点式可得抛物线的对称轴。（3）过点P作x轴的垂线于点H，则由S=S弟形AOHP+S卸HC -S皿0C可得S关于m的函数关系式;化为顶点式可得S最大时点P的坐标。1 1另解：点A、C的坐标可求AC的解析式：y= 一 X ,设过点P与AC平行的直线为y= -一 x+b。2 2113由点卩在y-X+b和y=-2X2 + 2X+2可得

8、1 n= _ m+b21 2 3n= m +- m+22 21 13- m+b=- m2 + -m+2，整理，得 m2 _4m _4+2b=0。2 22要使 PAC的面积最大，即要点 P到AC的距离最大，即y=-丄x+b与y-x2 + -x+2只有2 2 2一个交点，即 m? _4m -4+2b=0 的= 0，即(-4$ -4(7+2b )=0 ,解得 b=4。将 b=4 代入 m2 -4m -4+2b=0 得 m = 2，将 m = 2代入 n= m+2 得 n=3。2当S最大时点P的坐标为（2, 3）。(4)设点 M ( 3, h ),2 C (4,0), P ( 2, 3), PC=J(

9、4 -2 2 + 32 =丽,PM=-2 I +(3 -h $ = 6h + ,CM=g【分三种情况讨论:当点M是顶点时,PM= CM,即 Jh2 -6h +卫V4225h2 +仝，解得,4h=-。二 M 1 ( , ) o2 2 2当点C是顶点时,PC= CM即 713 =Jh2 +手，解得,h=評。 M2( 3,評),M2 ( 3,-2当点P是顶点时,PC= PM即 713h637，解得， h=3J-0 o43” 3(,3 +寸10 ), M 5 ( , 3- v10 ) o 23综上所述，当点M的坐标为(3, M4 ( 321-）或（-,-73 )或(-,-373 )或(-,3+J10

10、)或2 2 2 2 2（3, 3-師）时， MPC为等腰三角形。222#例3: (2012山东临沂13分)如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点0顺时针旋转120至OB的位 置.求点B的坐标;(2)求经过点A. 0、B的抛物线的解析式;11在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求点P的坐标；若不存在，说明理由.【答案】 解：(1)如图，过B点作BC丄x轴，垂足为C,则/ BCO=90。/ AOB=120, / BOC=60o又OA=OB=4,11J3=Oc=rB=2 g BC=OBsin604笃g。点B的坐标为(-2,- 2(3 )。(

11、2)v抛物线过原点O和点A. B,可设抛物线解析式为y=ax2+bX,将A (4, 0), B (-2,- 2/3 )代入，得P6a+4b=0i解得广|4a 2b= -2736oI 2/3 jb=I 3此抛物线的解析式为(3)存在。如图，抛物线的对称轴是若 OB=OP,贝U 22+|y|2=42，解得 y=2j3 ,当 y=2/3时,x=2,直线x=2与x轴的交点为PD在 RtA POD 中，/ PDO=90, sin/ POD=OP/ POD=60P O、B三点在同一直线上。/ POB=/ POD+/ AOB=60120180 即 y=2、#3不符合题意，舍去。点P的坐标为（2,- 2J3

12、）。 若 OB=PB,则 42+|y+ 2J3 |2=42，解得 y=- 2寸3。点P的坐标为（2,- 2庙）。若 OP=BR 贝y 22+|y| 2=42+|y+ 2J3|2，解得 y=- 2品。点P的坐标为（2,- 2（3 ）。综上所述，符合条件的点 P只有一个，其坐标为（2,- 2矗）。【考点】二次函数综合题，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系,等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论。【分析】（1）首先根据OA的旋转条件确定 B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标。（2）已知O、A、B三点

13、坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式。P点的坐标，而O、B坐标（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出已知，可先表示出 OPB三边的边长表达式，然后分 OP=OBOP=BROB=BP三种情况分类讨论,然后分辨是否存在符合条件的 P点。1 r例4:（ 2012内蒙古包头12 分）已知直线y = 2x + 4与x轴、y轴分别交于A , D两点，抛物线y=x2 +bx+c2经过点A , D ,点B是抛物线与x轴的另一个交点。求这条抛物线的解析式及点 B的坐标;设点M是直线AD上一点，且S卸0M : SOmd =1:3，求点M的坐标;如果点C （2, y）在这条抛物线上，在

14、y轴的正半轴上是否存在点卩，使 BCP为等腰三角形？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：(1)在y = 2x + 4中，令y =0，得 x= 2;令 x=0，得 y =4。-A ( 2, 0),(0, 4)。将 A ( 2, 0),(0, 4)代入 y=-丄x2+bx+c，得2t 1I *4-2b+c=0 (2c=4，解得?：4。12这条抛物线的解析式为y= -x2+x+4。2令 y= -1 x2+x+4=0 ,解得 x1 -22(2)设M (m, 2 m + 4 )，分两种情况:当M在线段AD上时，由SoM2 2m+j 2 4 ( *1 :33解得，m = - M1

15、 ( 一，1) o22当M在线段DA延长线上时，由 S细OM : SiOMD =1 : 3 得旨加2)4 5卜1:3，解得 m = 3 O M2 ( 3,-4 )。综上所述，点 M的坐标为MJ3 1 ) , M2 (-3，- 4 )o2，(3)存在。点 C (2, y)在 y= lx22+X+4 上,1 2 y=-厂2 +2+4=4。二 C(2, 4)。Tj*MMLJ-0设p(0, P),根据勾股定理，得BC2 =(4-2 2+42 =20 ,PB2 =扌 + 1 6+ pPC2 =22 + (P-4 f =p2-8p+20。分三种情况:若PB=BC ,则 16+P2 =20，解得，P =2。

16、/点p在y轴的正半轴上， p1 (0, 2)。若2 2 1 1PB=PC，则 16+p8p+20，解得，p=?P2( 0,-八若2BC=PC ,贝U 20 = p 8p+20，解得，p =0或p =8。/点P在y轴的正半轴上， p=0不符合要求。当p=8时，B、C、P在一直线上，不构成三角形，也不符合要求。 BC=PC时，在y轴的正半轴上是不存在点卩，使 BCP为等腰三角形。1综上所述，在 y轴的正半轴上是存在点 P1 (0, 2), P2 (0,-)，使 BCP为等腰2三角形。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，等腰三角形的判定。一 1 2【分析】(1)求出点A,

17、D的坐标，代入y=-x+bx+c，即可求出抛物线的解析式。令y=0，即可求出2点B的坐标。(2)分M在线段AD上和M在线段DA延长线上两种情况两种情况讨论。(3) P(0, P )，由勾股定理，表示出各边长，分PB=BC PB=PC BC=PC三种情况讨论。例5: (2012福建龙岩14分)在平面直角坐标系 xoy中，一块含60角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点 C在y轴正半轴上，已知点 A (- 1, 0).(1)请直接写出点 B、C的坐标：B ()、C();并求经过A、B、C三点的抛物线解析式;(2)现有与上述三角板完全一样的三角板DEF(其中/ EDF=90 / DEF=6

18、0 ,把顶点E放在线段AB上(点E是不与A、B两点重合的动点)，并使ED所在直线经过点 C.此时，EF所在直线与(1)中的抛物线交于第一象限的点M 设AE=x当x为何值时， OCE OBC;在的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使 PEM是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由.备用图【答案】解：(1) B ( 3, 0), C (0, J3 )。 A (1,0)B (3, 0)可设过A、B C三点的抛物线为y=a(x+1 肿3)(a H0)。又 C (0,矗)在抛物线上，经过A、B、C三点的抛物线解析式y=73=a (0+1 T 0 - 3 )，解得 a=o 玫x+1

19、 “-3 )即 y=-亚x2+空3 X+J3 o3 3OC(2)当 OC0 OBC时，贝U OEOBOOC 0C= 73 , OE=AE-AO=x- 1,0B=3,. L 。x=2 o3 旧当 x=2 时， OC0 OBCo 存在点P。由可知 x=2,. OE=1o.E (1 , 0)o此时， CAE为等边三角形。/ AEC=/ A=60又/ CEM=60 ,/ MEB=60 o2/3点C与点M关于抛物线的对称轴x=2a3=1对称。on/ C (0, 73 ), M (2,73 )o过M作MN丄x轴于点N (2, 0), MN/3。 EN=1。 EM =JeN2+MN2 = (12 + (亦(

20、=2。若PEM为等腰三角形，则:i )当 EP=EM时， EM=2，且点 P在直线 x=1 上，二 P(1, 2)或 P (1 , - 2)。ii）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上， P （1, 2）。2品iii）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线 x=1的交点，二P（1, ）3综上所述，存在 P点坐标为（1 , 2）或（1 , 2）或（1, 2J3 ）或（1 ,空3 ）时,3 EPM为等腰三角形。【考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方 程的关系，二次函数的性质，相似三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰

21、三角形的判 定。0C和AB的长，从而求得点【分析】（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出B、C的坐标。设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式。（2）根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解。 求得EM的长，分EP=EM, EM=PM和PE=PM三种情况求解即可。练习题:1. （2012广西百色10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= ax2+bx+ 6经过点A（-3, 0）和点B（2, 0）.直线y= h （h为常数，且0 hv 6）与BC交于点D,与y轴交于点E,与AC交于点F,与抛物线在第二象限交于点G.(1)求抛物线的解析式;连接BE,求h为何值时， BD

22、E的面积最大;已知一定点 M （ 2, 0）.问：是否存在这样的直线 y=九使 OMF是等腰三角形，若存在，请求出h的值和点G的坐标；若不存在，请说明理由.A. B两点(点A在点B左边)，2.（2012江西省10分）与y轴交于点C.(1) 写出二次函数 Li的开口方向、对称轴和顶点坐标;（2）研究二次函数 L2： y=kx2- 4kx+3k （ k老）.写出二次函数 L2与二次函数Li有关图象的两条相同的性质; 是否存在实数 人使 ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由; 若直线y=8k与抛物线L2交于E F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长

23、度;如果会，请说明理由.3.(2012湖南衡阳10分)如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点0,矩形ABCD的顶点A, D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F, AB的中点E在x轴上，B点的坐标为(2, 1),点P(a, b)在抛物线上运动.(点P异于点O）(1)求此抛物线的解析式.(2)过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R, 求证：P F=PR是否存在点P,使得 PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由; 延长PF交抛物线于另一点 Q,过Q作BC所在直线的垂线，垂足为 S,试判断 RSF的形状.C3OX/&F八24.(2012湖南永州10分)如图所示，已知二次函数

24、y=ax+bx-1( aM)的图象过点A (2,0)和B(4,3), I为过点(0，- 2)且与X轴平行的直线，P(m, n)是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH丄I,H为垂足.(1)求二次函数 y=ax2+bx- 1 ( a老)的解析式;(2)请直接写出使 yv 0的对应的x的取值范围;(3)对应当m=0, m=2和m=4时，分别计算|P0| 2和|PH| 2的值.由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m,此结论成立;的值；若不存在，请说明理由.(4)试问是否存在实数m可使5.(2012广东梅州11分)如图,矩形 OABC中，A (6, 0)、C (0, 恥)、D (0, 33

25、),射线 I 过点 D且与X轴平行，点P、出答案)13；(直接写(1)点B的坐标是;/ CAO=度；当点Q与点A重合时，点P的坐标为（2）设OA的中心为N , PQ与线段AC相交于点M，是否存在点 卩，使 AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m ;若不存在，请说明理由.（3）设点P的横坐标为x,A OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为 S,试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围.、直角三角形存在问题:典型例题：例1 : （2012山东枣庄10分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠1 o 1在两坐标轴上，点 C为（1 , 0）.如图所示

26、，B点在抛物线y= 02十卫2图象上，过点B作BD丄x轴，垂足为 D,且B点横坐标为一3.求证： BDC COA;求BC所在直线的函数关系式;抛物线的对称轴上是否存在点卩，使 ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在,15【答案】解：（1）(2)证明：/ BCD+/ ACO= 90 / ACO+/ OAC= 90/ BCD=/ OACo ABC为等腰直角三角形， BC= ACo在 BDC和厶 COA中，/ BDC=/ COA= 90 / BCD=/ OAC, BC= AC, BDCA COA (AAS)o/ C 点坐标为(一1, 0) , BD= CO= 1 o

27、/ B点横坐标为一3,.B点坐标为（一3, 1）o设BC所在直线的函数关系式为y= kx+ b,- rk=-1卜伫1，解得2。二BC所在直线的函数关系式为y=-1 X-2 o1一 3K十 b = 1.122lb = -2存在。12111217+ 八、1 y =尹+尹2 = 2(x+2)X8，对称轴为直线X = 2。若以AC为直角边，点C为直角顶点，对称轴上有一点Pi,使Cp 丄 AC,/ BC丄AC,.点Pi为直线BC与对轴称直线x=-的交点。1 1y= 2x2由题意可得：彳L1x= 2x = *解得，1P1Ly = 4-4。若以AC为直角边，点 A为直角顶点,对称轴上有一点P2,使AF2 丄

28、 AC,则过点A作A P，/ BC,交对轴称直线X= 2于点 P2,/ CD= 0A,.A ( 0, 2)。设直线AP2的解析式为:y = x+m,把 A ( 0, 2)代入得 m = 2。直线AP2的解析式为:y =- 2x+ 2。f-1丨 y = 2x+ 2由题意可得：1Lx = 2，解得x= 9P2( 2， 4 )。iy=-91 119 P点坐标分别为 P1 ( 2, 1)、P2 ( 2 4)。【考点】二次函数综合题，平角定义，直角三角形两锐角的关系，等腰直角三角形的性质，全等三角形的 判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的对称轴，直角三角形的判定。AAS证得。【分

29、析】(1)由等腰直角三角形的性质，平角定义，直角三角形两锐角的关系，可由(2)求出点B的坐标，由点B、C的坐标，用待定系数法可求 BC所在直线的函数关系式。(3) 分点C为直角顶点和点 A为直角顶点两种情况讨论即可。例2: (2012重庆市12分)已知：如图，在直角梯形 ABCD中，AD / BC,/ B=90 AD=2, BC=6, AB=3. E为BC边上一点，以 BE为边作正方形 BEFG使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧.(1)当正方形的顶点 F恰好落在对角线 AC上时，求BE的长;(2)将(1)问中的正方形 BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形BEFG当点

30、E与点C重合时停止平移.设平移的距离为t，正方形B EFG的边EF与AC交于点M，连接B D, B M , DM ,是否存在这样的t，使 BDM是直角三角形？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由;(3)在(2)问的平移过程中，设正方形 B EFG与 ADC重叠部分的面积为 S,请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量 t的取值范围.【答案】解：(1)如图，设正方形 BEFG的边长为X,贝U BE=FG=BG=x-AB=3, BC=6,. AG=AB BG=3 x。/ GF/ BE,.A AGFA ABC.AB BC图解得：x=2,即BE=2(2)存在满足条件的t，理由如下:如图，过点

31、D作DH丄BC于H,贝U BH=AD=2, DH=AB=3,由题意得：BB=HE=t, HB=|t - 2| , EC=4- t,/ EF/ AB,.A MECsA ABG=2，即. = 11mE=2 - t。AB BC362在 RtA B ME 中，B M2=mE2+B E2=22+ (2 -丄 t)2在 RtA DHB 中, B d2=DH2+B H2=32+ (t - 2) 2=t2- 4t+13。1=t42 .22 - 2t+8。1 过点 M 作 MN 丄 DH 于 N,贝U MN=HE=t, NH=ME=2-丄 t DN=DH- NH=3-( 2 - t) =-t+1。 2 22，1

32、72 2 2 1在 RtA DMN 中，DM2=DN2+MN2= (t+1 )2DM2=B m2+b D2,(I)若/ DB M=90 贝y即 5 t2+t+1= ( It2-2t+8)44(n)若/ B MD=90 则+ (t2- 4t+13),B D2=B M2+DM2,2+ t 2=5t4解得:2+t+1 。t=20。723t1=- 3+717, t2=- 3-(舍去)。即 t2-4t+13= ( It2- 2t+8) + ( 5t2+t+1)，解得:4 4 t= - 3+。(川)若/ B DM=90 贝U B M2=B d2+DM2,1 225 2即 - 2t+8= (t2- 4t+1

33、3) + ( 5 t2+t+1),此方程无解。4综上所述,t=20或-3+(17时， B DM是直角三角形;72XL ,11/ 4 - 3, 4 - 3 f II XL2XL4+2-t1 - 8o1J/w-3-XLF 25 - 3+2XL3 - 84XL0-35 - 2+XL1-2【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，正方形的性质，直角梯形的性质，平移的性质。【分析】(1)首先设正方形 BEFG的边长为x，易得 AGFA ABC,根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长。(2)首先由 MECs ABC与勾股定理，求得B M , DM与B D的平方，然后分别从若/ DB M、/

34、 DBM和/ BDM分别是直角，列方程求解即可。4 410分别从, - 3 , 2 亍 和号V 4时去分析求解即可求得答案:如图，当F在CD上时,EF: DH=CE即 2: 3=CE4,. CE=8。3 t=BB=BCBE EC=6- 2-11 ME=2-丄 t, FMt,224 1 112 当0兰巳时，S=SfMN=2沟才J。如图，当 G在AC上时，t=2, EK=ECtan / DCB= EC 竺 二弘-1 尸3-1 ,CH 4、 丿 434 当一 t3-1)=t2+t2。83 FK=2- EK=?t - 1。4244 NL=-AD= - , FL=t- 4 ,331 2 12 时，S=S

35、FMN - SaFKI= - t -2(t - - )(-t3如图,G在 CD上时，BC: CH=BG:DH,3，解得：BC=8 ,3 EC=4- t=BC- 2=-。二 t=10。3即 BC: 4=2:11/ B N=2b c=2 (6- t)221 GN=GB - B Nt - 1。210当2 2 X ( t -223 25=-t2 +2t -。83如图，当10 t 4时,33 333 B L=-B C=- (6 - t), EKECu3 (4 - t),4 411B N= B C= (6 - t)22441 1EM=1EC=1 (4 - t),2 2- S=S梯形 MNLK=S 梯形 B

36、 EKL- S梯形 B EMN= t2lt2 |o 4|4【 I 1综上所述：j112S J 8匕2I 8 !丄*2_43丿4。-I- 丿单 2 2 丿圈图(t -)3DG图例3: (2012内蒙古赤峰12分)如图，抛物线y=x2-bX-5与x轴交于A. B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E, |OC| : |OA|=5 : 1.(1) 求抛物线的解析式;(2)求直线AF的解析式;(3)在直线AF上是否存在点 巳使 CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.【答案】解: |0C|=5。(1 )在 y=x2 - b

37、x - 5 中令 x=0,得 y=5,/ |0C| : |0A|=5 : 1,.|0A|=1。 A (- 1, 0)。把 A (- 1, 0)代入 y=x2 - bx - 5 得(-1) 2+b- 5=0,解得b=4。抛物线的解析式为y=x2 - 4x- 5o(2)V y=x2 - 4x- 5= (x- 2) 2- 9,.抛物线的的对称轴为x=2o点C与点F关于对称轴对称，C (0, - 5).F ( 4,- 5)o设直线AF的解析式为y=kx+b.把 F (4,- 5) , A (- 1, 0),代入 y=kx+b，得4k+b= -5-k+b=0k= 1，解得q o 直线FA的解析式为y=-

38、 x-b= -1(3)存在。理由如下:当/ FCP=90时，点P与点E重合,点E是直线y=- X- 1与y轴的交点，E (0,- 1)o P (0，- 1 )o当CF是斜边时，过点 C作CP! AF于点Po设 P ( X1，- X1 - 1),F (4, - 5),/ ECF=90, E (0, - 1), C (0, - 5), CE=CF EP=PF CP=PF点P在抛物线的对称轴上。xi=2。把 xi=2 代入 y=- x - 1,得 y=- 3。二 P (2,- 3)。综上所述，直线 AF上存在点P ( 0,- 1)或(0,- 1)使 CFP是直角三角形。【考点】二次函数综合题，二次函

39、数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直角三角形的判定，等腰直角三角形的性质。【分析】(1)根据抛物线解析式求出 OC的长度，再根据比例求出 OA的长度，从而得到点 A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b即可得到抛物线解析式。(2)由y=x2 - 4x- 5= (x- 2) 2- 9可得对称轴为x=2,根据点C F关于对称轴对称可得点F的坐标，然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可。(3)分点P与点E重合和CF是斜边两种情况讨论即可。例4: ( 2012海南省13分)如图，顶点为P( 4， 4)的二次函数图象经过原点(0, 0),点A在该图象上,OA交其对称轴I于

40、点M，点M、N关于点P对称，连接 AN、ON(1) 求该二次函数的关系式(2) 若点A的坐标是(6, 3),求 ANO的面积.(3) 当点A在对称轴I右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题:证明：/ ANM= / ONMA的坐标，如果不能，请说明理由ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点9【答案】解：(1 )二次函数图象的顶点为P(4, 4), 设二次函数的关系式为y=a(x-4f-4o2 1又二次函数图象经过原点(0, 0), 0=a(0-4) -4，解得a=; o二次函数的关系式为y=1(x-4；2-4，即o44(2) 设直线OA的解析式为y=kx，将A (6, 3)代入

41、得-3=6k，解得k=1直线OA的解析式为y=-2x。1把 x=4 代入 y= -x 得 y= 2 o M (4, 2) o2又点 M、N 关于点 P对称， N (4, 6), MN=4。1-S普NO =2 6 4 =12。4OD 4HA x044(x0 冲 tanONM =，ta必ANM =0 ND XoNH 1x2 xXo Xo44(X0 F4= 。2 X0 -4x0+64 x0(X04) x。tan NONM= tanZANM o / ANM= / ONM。能。理由如下：分三种情况讨论:情况1,若/ ONA是直角，由，得/ ANM= / ONM=450,1 AHN是等腰直角三角形。 HA

42、=NH,即卩x0-4=-x02-x0。4整理，得 Xo -8Xo+16=O，解得 Xo=4。此时，点A与点P重合。故此时不存在点 A,使/ ONA是直角。情况2,若/ AON是直角，则OA2+ON2=AN2。 OA2=X02+卩 X022X0 , ON2=42+X02, AN2=(X0-4+p Xq22x0+X0 丿14丿2222 f 212Y Xo+I-Xo -2xo +4 +Xo =(Xo-4)+j-Xo -2xo+xo 。 V4丿14丿(1整理，得 xj8x02 -16x0=0，解得 x0=0 , x0=4472。舍去 x0=0 , x0=44j2 (在 I 左侧)。此时存在点 A (

43、4+4 J2, 4 )，使/ AON是直角。情况 3,若/ NAO 是直角，则 AMN sA DMO DON,；=22。OD ND4 X0OD=4, MD=8x0 , ND=x0 , 整理，得 Xo2 8xo+16=O，解得 x0=4。此时，点A与点P重合。故此时不存在点 A,使/ ONA是直角。综上所述，当点:A在对称轴/右侧的二?灵函数图象上运动时，存在点A ( 4+4V2, 4 ),使ZAON是直角，即iANO为直肃三角執L考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标2方程的关系，对称的性质，锐三函数定义,等腰直角三角形的判定和性质，勾股走理，相惊三S形的判定和性质，解一元二谀方程启

44、【分析】(1)由二袂函数圏彖的顶点为P g 4)和经过原爲 设顶点式关系式，用待宦系数法即可求.(2)求出直缕0A的解析式，从而得到点.M的坐标，根据对称性点.N坐标，从而求得MN的长,从而求得ANO 面积 根据正切函数定义，分别求出ZANM和NONM即可证枫分ZONA是直角，ZAON是直角,，ZNAO是直角三种情况讨论即可得出结论.当ZAON是直角时,还可在RtAOMNK中用直角三角形斜边上的中袋等于斜边的一半求解;.OP=PN=PM,TPN=Xg 4 ,/. 4-2 =Xo 4 ,练习题:1.(2012广西河池12分)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,以底边BC的垂直平分线和 BC所

45、在的直线建立平面直角坐标系，抛物线1 27y=-1X+7X+4 经过 A、B 两点.33(1) 写出点A、点B的坐标;(2)若一条与y轴重合的直线I以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P,连结PA PB.设直线I移动的时间为t ( 0V t 4)秒，求四边形 PBCA的面积S (面积单位)与t (秒)的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积;(3) 在(2)的条件下，抛物线上是否存在一点P,使得 PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由32: （2012湖南邵阳12分）如图所示，直线y二-x+b与x轴相交于点 A （4, 0

46、）,与y轴相交于点B,将4 AOB沿着y轴折叠，使点A落在x轴上，点A的对应点为点 C.求点C的坐标;设点P为线段CA上的一个动点，点 P与点A、C不重合，连结PB,以点P为端点作射线PM交AB于点使/ BPM=/BAC求证： PB3A MPA;是否存在点 卩使 PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。3.（2012云南省9分）如图，在平面直角坐标系中，直线物线1 2y畀+bx+c的图象过点E（- 1, 0）,并与直线相交于A、B两点.求抛物线的解析式（关系式） 过点A作AC丄AB交x轴于点C,求点C的坐标;除点C外，在坐标轴上是否存在点 M，使得 MAB是直角三角

47、形？若存在，请求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.三、平行四边形存在问题:典型例题:例1: （2012山西省14分）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中， 抛物线y=-x 2+2x+3与x轴交于A. B两点，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.（1）求直线AC的解析式及B. D两点的坐标;（2）点P是x轴上一个动点，过 P作直线I / AC交抛物线于点 Q,试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q,使以点A. P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）请在直线AC上找一点M ,使 BDM的周长最小，求出 M点的坐标.【答

48、案】 解：（1 ）当y=0时，-点A在点B的左侧， A. B的坐标分别为（-1, 0), (3, 0)。当x=0时，y=3。. C点的坐标为(0, 3)。设直线AC的解析式为y=kix+bi(ki和),则円= y=- x +2x+3= -( x- 1)+4,，解得肝3。k1 +b1 =0出1=3直线AC的解析式为y=3x+3。顶点D的坐标为（1 , 4） O(2)抛物线上有三个这样的点 Q。如图,当点Q在Qi位置时，Qi的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为(2, 3);当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为-3,代入抛物线可得点Q2坐标为(1+77, - 3);当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为-3，代入抛物线解析式可得，点 Q3的坐标为(1- 77 ,综上可得满足题意的点 Q有三个，分别为：Q1 (2, 3) , Q2 (1+77 ,-3), Qs (1 - yj 7 , - 3)。(3)点B作BB丄AC于点F,使BF=BF,贝U B为点B关于直线 AC的对称点.连接 BD交直线 AC与点M ,则点M为所求。过点B作BE丄x轴于点E/ 1和/2都是/ 3的余角，/ 仁/ 2。CO CA RtA AO8 RtA AFB。. A =X