货币时间价值的计算

1、货币时间价值的计算（二）单利的终值与现值在时间价值计算中，经常使用以下符号：P 本金，又称现值；i利率，通常指每年利息与本金之比；I利息；F本金与利息之和，又称本利和或终值；n期数1 、单利终值单利终值的计算可依照如下计算公式：F=P+P i n= P (1 + in)【例 1】某人现在存入银行1000 元，利率为5%，3 年后取出，问：在单利方式下，3 年后取出多少钱？F = 1000(1+35%)=1150(元 )在计算利息时，除非特别指明，给出的利率是指年利率。对于不足1 年的利息，以1年等于 360 天来折算。2、单利现值单利现值的计算同单利终值的计算是互逆的，由终值计算现值称为折现。

2、将单利终值计算公式变形，即得单利现值的计算公式为：P = F / (1 + i n)【例 2】某人希望在3 年后取得本利和1150 元，用以支付一笔款项，已知银行存款利率为 5%，则在单利方式下，此人现在需存入银行多少钱？P=1150/(1+35%)=1000(元)（三）复利的终值与现值1、复利终值复利终值是指一定量的本金按复利计算的若干期后的本利和。若某人将 P 元存放于银行，年利率为i ，则：第一年的本利和为：F=P+P i = P ( 1 + i )第二年的本利和为：F = P ( 1 + i ) ( 1 + i ) = P (1i) 2第三年的本利和为：F = P (1i) 2 (1

3、+ i ) = P (1 i )3第 n 年的本利和为：F = P (1 i ) n式中 (1 i ) n 通常称为复利终值系数，用符号（F/P,i,n）表示。如（ F/P,7%,5 ）表示利率为 7%， 5 期复利终值的系数。复利终值系数可以通过查阅“1 元复利终值系数表”直接获得。【例 3】某人现在存入本金2000 元，年利率为7%， 5 年后的复利终值为：F = 2000 （ F/P,7%,5 ） = 2000 1.403 = 2806 (元 )2、复利现值复利现值是复利终值的逆运算，它是指今后某一特定时间收到或付出一笔款项，按复利计算的相当于现在的价值。其计算公式为：P = F (1

4、i ) n式中 (1 i ) n通常称为复利现值系数，用符号（P/F,i,n ）表示。可以直接查阅“ 1元复利现值系数表”【例 4】某项投资 4 年后可得收益40000 元，按利率 6%计算，其复利现值应为： p = 40000 (P/F,6%,4) = 40000 0.792 = 31680 (元 )（四）年金的终值与现值年金是指一定时期内每次等额收付的系列款项，即如果每次收付的金额相等，则这样的系列收付款项便称为年金，通常记作A 。年金的形式多种多样，如保险费、 折旧、租金、等额分期收付款以及零存整取或整存零取储蓄等等，都存在年金问题。年金终值是指一定时期内每期等额发生款项的复利终值的累加

5、和。年金现值是指一定时期内每期等额发生款项的复利现值的累加和。年金按其每次收付发生的时点不同，可分为普通年金、先付年金、递延年金和永续年金。1、普通年金的终值与现值普通年金是指一定时期内每期期末等额收付的系列款项，又称后付年金。如图2-1 所示：AAAAA图 2-1（1）普通年金终值由年金终值的定义可知，普通年金终值的计算公式为：F =A (1i )0A (1i)1A (1i ) 2A (1i ) n 1na1 (1q)根据等比数列前n 项和公式 Sn1q整理可得：(1i ) n1FAi(1i ) n1其中，i通常称为年金终值系数，记作（F/A， i ， n） ,可以直接查阅“1元年金终值系数

6、表”【例 5】某企业准备在今后6 年内，每年年末从利润留成中提取50000 元存入银行， 计划 6年后，将这笔存款用于建造某一福利设施，若年利率为6%，问 6 年后共可以积累多少资金？F = 50000 (F/A,6%,6) = 50000 6.975 = 348750（元）【例 6】某企业准备在6 年后建造某一福利设施，届时需要资金348750 元，若年利率为6%，则该企业从现在开始每年年末应存入多少钱？很明显，此例是已知年金终值F，倒求年金A，是年金终值的逆运算。348750 = A (F/A,6%,6)A = 348750 / (F/A,6%,6) = 348750 / 6.975 =

7、50000 (元 )（ 2）普通年金现值由年金现值的定义可知，普通年金现值的计算公式为：P =A (1 i) 1A (1 i ) 2A (1 i ) na1 (1q) n同样，根据等比数列前n 项和公式 Sn1q整理可得：1(1i ) nPAi1(1i ) n其中，i通常称为年金现值系数， 记作（ P/A，i ，n）,可以直接查阅 “ 1元年金现值系数表”【例 7】某企业准备在今后的8 年内，每年年末发放奖金70000 元，若年利率为12%，问该企业现在需向银行一次存入多少钱？P = 70000 (P/A,12%,8) = 70000 4.968 = 347760 (元)【例 8】某企业现在存

8、入银行347760 元，准备在今后的8 年内等额取出，用于发放职工奖金，若年利率为12%，问每年年末可取出多少钱？很明显，此例是已知年金现值，倒求年金A，是年金现值的逆运算。347760 = A (P/A,12%,8)A = 347760 / (P/A,12%,8) = 347760 / 4.968 = 70000（元）2 先付年金的终值与现值先付年金是指一定时期内每期期初等额收付的系列款项，又称即付年金。如图2-2所示：AAAAA图 2-2（ 1）先付年金终值将图 2-2 与图 2-1 进行比较可以看出，先付年金与普通年金的付款次数相同，但由于其付款时点不同，先付年金终值比普通年金终值多计算

9、一期利息。因此，在普通年金终值的基础上乘上（1+i ）就是先付年金的终值。即：(1i ) n1FAi （ 1 + i）【例 9】某企业准备在今后6 年内，每年年初从利润留成中提取50000 元存入银行，计划 6 年后，将这笔存款用于建造某一福利设施，若年利率为6%，问 6 年后共可以积累多少资金？F = 50000 (F/A,6%,6) (1+6%) = 50000 6.975 1.06 = 369675（元）（ 2）先付年金现值将图 2-2 与图 2-1 进行比较可以看出，先付年金与普通年金的付款次数相同，但由于其付款时点不同，先付年金现值比普通年金现值多折现一期。因此，在普通年金现值的基础

10、上乘上（ 1+i ）就是先付年金的现值。即：1(1 i )nPAi （ 1 + i）【例 10】某企业准备在今后的8 年内，每年年初从银行取出70000 元，若年利率为12%，问该企业现在需向银行一次存入多少钱？P = 70000 (P/A,12%,8) ( 1+12% ) = 70000 4.968 1.12= 389491.2 ( 元)3、递延年金的现值递延年金是指第一次收付款发生时间不在第一期期末，而是隔若干期后才开始发生的系列等额收付款项。如图2-3 所示：AAA图 2-3递延年金是普通年金的特殊形式，凡不是从第一期开始的普通年金都是递延年金。一般用 m表示递延期数，用n 表示年金实际

11、发生的期数，则递延年金现值的计算公式为：A 1 (1 i ) (m n )A 1 (1 i) mPii1(1 i ) ni )mA(1或i【例 11】 某人拟在年初存入一笔资金，以便能从第六年末起每年取出1000 元，至第十年末取完。若银行存款利率为10%，此人应在现在一次存入银行多少钱？P = 1000 (P/A,10%,10) 1000 (P/A,10%,5)= 1000 6.145 1000 3.791= 2354 （元）或 P = 1000 (P/A,10%,5) (P/F,10%,5)= 1000 3.791 0.621= 2354（元）4、永续年金的现值永续年金是无限期等额收付的特

12、种年金，可视为普通年金的特殊形式，即期限趋于无穷的普通年金。如图2-4 所示：AAAAA图 2-4由于永续年金持续期无限，没有终止时间，因此没有终值，只有现值。通过普通年金现值计算可推导出永续年金现值的计算公式为：P = A /i【例 12】某人现在采用存本取息的方式存入银行一笔钱，希望今后无限期地每年年末能从银行取出1000 元，若年利率为10%，则他现在应存入多少钱？P = 1000 /10% = 10000（元）（五）名义利率与实际利率的换算上面讨论的有关计算均假定利率为年利率，每年复利一次。但实际上，复利的计息不一定是一年，有可能是季度、月份或日。比如某些债券半年计息一次；有的抵押贷款

13、每月计息一次；银行之间拆借资金均为每天计息一次。当每年复利次数超过一次时，这样的年利率叫做名义利率，而每年只复利一次的利率才是实际利率。对于一年内多次复利的情况，可采取两种方法计算时间价值。第一种方法是按如下公式将名义利率调整为实际利率，然后按实际利率计算时间价值。式中： i实际利率r名义利率m每年复利次数【例 13】某企业于年初存人l0 万元，年利率为 10，若每半年复利一次， 到第 l0 年末，该企业能得本利和为多少?依题意， P = 10 r = 10%m = 2n = 10则：i (1r / m)m1=(110% / 2)21= 10.25%F=10 (F/P,10.25%,10)=

14、26.53 (万元 )这种方法的缺点是调整后的实际利率往往带有小数点，不利于查表。第二种方法是不计算实际利率，而是相应调整有关指标，即利率变为r/m ，期数相应变为 m n【例 14】利用上例中有关数据，用第二种方法计算本利和。F =p (1 r / m) m n= 10 (F/P,5%,20) = 26.63（万元）三、时间价值计算中的几个特殊问题（一）不等额现金流量现值的计算【例 15】略（二）年金和不等额现金流量混合情况下的现值【例 16】教材 39 页。（三）贴现率、期数的计算1、贴现率的计算步骤：（ 1）计算系数（2）查表（3）采用插值法求贴现率。【例 17】略【例 18】某公司于第一年年初借款20000 元，每年年末还本付息额均为4000 元，连续9年还清，问借款利率是多少？解：（ P/A，I ， 9） 20000/4000=5查 n=9 的年金现值系数表得：12%5.3282x%0.3282i2% 50.411814%4.9164I=12%+0.3282/0.4118 2%=13.59%2、期数的计算步骤：（ 1