三角形常见辅助线的作法专题一课件

1、1 一、倍长中线一、倍长中线 法法 遇到中线可以利用倍长中线， 构造X全等，即把中线延长一倍，来 构造全等三角形。 如图，若AD为ABC的中线， 结论： A BCD E 1 2 延长AD到E，使DE=AD， 连结BE（也可连结CE）。 ABDECD， 1=E，B=2， EC=AB，CEAB。 2 可以利用角平分线所在直线 作对称轴，翻折三角形来构造全 等三角形。 二、角平分线对称全等 如图，在ABC中，AD平分BAC。 方法一： A B C D E 必有结论： 在AB上截取 AE=AC， 连结DE。 ADEADC。 ED=CD ， 3*21 AED=C， ADE=ADC。 3 方法二： A B

2、 C D F 延延 长长 A C 到到 F ， 使使 AF=AB，连结 ，连结DF。 必有结论：ABDAFD。 BD=FD ， 3*21 如图，在如图，在ABC中，中，AD平分平分BAC。 可以利用角平分线所在直可以利用角平分线所在直 线作对称轴，翻折三角形来 构造全等三角形。 B=F，ADB=ADF。 4 A B C D M N 方法三： 作 DMAB于M ， DNAC于N。 必有结论： AMDAND。 DM=DN， 3*21 如图，在ABC中，AD平分BAC。 可以利用角平分线所在直 线作对称轴，翻折三角形来 构造全等三角形。 AM=AN，ADM=AND 。 （还可以用“角平分线上的点到角

3、的两 边距离相等”来证DM=DN） 5 证明： 例1 已知：如图，在四边形 ABCD 中，BD是 ABC的角平分线， AD=CD ，求证： A+C=180 D A B CE 在BC上截取BE，使BE=AB ，连结DE。 BD是ABC的角平分线（已知） 1=2 （角平分线定义） 在ABD和EBD中 AB=EB （已知） 1=2 （已证） BD=BD （公共边） ABDEBD（S.A.S ） 1 2 4 3 3+ 4 180 （平角定义）， A3 （已证） A+ C180 （等量代换） 3 2 1 * A3 （全等三角形的对应角相等） AD=CD （已知），AD=DE （已证） DE=DC（等量代

4、换） 4=C（等边对等角） AD=DE （全等三角形的对应边相等） 6 证明: 例1 已知：如图，在四边形 ABCD 中，BD是 ABC的角平分线， AD=CD ，求证： A+C=180 D A B C F 延长BA到F，使BF=BC，连结DF。 BD是ABC的角平分线（已知） 1=2 （角平分线定义） 在BFD和BCD中 BF=BC（已知） 1=2 （已证） BD=BD （公共边） BFDBCD（S.A.S） 1 2 4 3 FC（已证） 4=C（等量代换） 3 2 1 * F C（全等三角形的对应角相等） AD=CD （已知），DF=DC（已证） DF=AD （等量代换） 4=F（等边对等

5、角） 3+ 4 180 （平角定义） A+ C180 （等量代换） DF=DC（全等三角形的对应边相等） 7 证明: 例1 已知：如图，在四边形 ABCD 中，BD是 ABC的角平分线， AD=CD ，求证： A+C=180 D A B CM 作DM BC于M，DNBA交BA的延长线于N。 BD是ABC的角平分线（已知） 1=2 （角平分线定义） DNBA，DMBC（已知） N=DMB=90 （垂直的定义） 在NBD和MBD中 N=DMB （已证） 1=2 （已证） BD=BD（公共边） NBDMBD（A.A.S） 1 2 4=C（全等三角形的对应角相等） N 4 3 3 2 1 * ND=M

6、D（全等三角形的对应边相等） DNBA，DMBC（已知） NAD和MCD是Rt 在RtNAD和RtMCD中 ND=MD （已证） AD=CD（已知） RtNADRtMCD（H.L） 3+ 4 180 （平角定义）， A3 （已证） A+ C180 （等量代换） 8 证明: 例1 已知：如图，在四边形 ABCD 中，BD是 ABC的角平分线， AD=CD ，求证： A+C=180 D A B CM 作DM BC于M，DNBA交BA的延长线于N。 1 2 N 4 3 3 2 1 * BD是ABC的角平分线（已知） DNBA，DMBC（已知） ND=MD （角平分线上的点到这 个角的两边距离相等）

7、4=C （全等三角形的对应角相等） DNBA，DMBC（已知） NAD 和MCD是Rt 在RtNAD和RtMCD中 ND=MD （已证） AD=CD （已知） RtNADRtMCD（H.L） 3+ 4 180 （平角定义） A3 （已证） A+ C180 （等量代换） 9 练习1 如图，已知ABC中，AD是BAC的角平分线， AB=AC+CD ，求证：C=2B A BCD E 1 2 2 1 证明: 在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。 AD是BAC的角平分线（已知） 1=2 （角平分线定义） 在AED和ACD中 AE=AC（已知） 1=2 （已证） AD=AD （公共边） AEDACD

8、（S.A.S ） 3 B=4 （等边对等角） 4 * C 3 （全等三角形的对应角相等) 又AB=AC+CD=AE+EB （已知） EB=DC=ED （等量代换） 3= B+4= 2B （三角形的一个外角等于 和它不相邻的两个内角和） C=2B（等量代换） ED=CD（全等三角形的对应边相等） 10 练习1 如图，已知ABC中，AD是是BAC的角平分线，的角平分线， AB=AC+CD ，求证：C=2B A B C D F 1 2 证明: 延长AC到F，使CF=CD，连结DF。 AD是BAC的角平分线（已知） 1=2 （角平分线定义） AB=AC+CD ，CF=CD（已知） AB=AC+CF=A

9、F （等量代换） ACB= 2F（三角形 的一个外角等于和它不相 邻的两个内角和） ACB=2B（等量代换） 3 2 1 * 在ABD 和AFD中 AB=AF （已证） 1=2 （已证） AD=AD （公共边） ABDAFD（S.A.S ） F B（全等三角形的对应角相等） CF=CD（已知） B=3 （等边对等角） 11 练习2 如图，已知直线MNPQ，且AE平分 BAN、BE平分QBA，DC是过E的任意 线段，交MN于点D，交PQ于点C。求证： AD+AB=BC 。 证明:延长AE，交直线PQ于点F。 * 3 0 * 22 21 A B C D E MN P Q 1 2 3 4 F 5 1

10、2 练习2 如图，已知直线MNPQ，且AE平分 BAN、BE平分QBA，DC是过E的任意 线段，交MN于点D，交PQ于点C。求证： AD+AB=BC 。 证明:延长BA到点G，使得AG=AD，连结 EG。 * 3 0 * 22 21 A B C D E MN P Q 1 2 3 4 G 13 练习2 如图，已知直线MNPQ，且AE平分 BAN、BE平分QBA，DC是过E的任意 线段，交MN于点D，交PQ于点C。求证： AD+AB=BC 。 证明:延长BA到点G，使得AG=AD，连结 EG。 * 3 0 * 22 21 A B C D E MN P Q 1 2 3 4 G 14 练习练习3 3 已知：如图在RtABC中，中，BAC=90， AEBC， BD是是ABC的角平分线，的角平分线， GFBC ，求证：AD=FC。 A BC D EH 1 2 证明: 过D作作DHBC，垂足为，垂足为 H。 G F * 3 0 * 15 如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？ 小结： （ 3） 作D M A B 于 M ， DNAC于N。 （1）在AB上截取 AE=AC ， 连结DE。 （2）延长 AC到F，使AF=AB， 连结DF。 A B C D E F M N 必有结论：ADEADC。 必有结论： ABDAFD。 必有结论：AMDAND。 可以利用角平分线所在直线作对称轴， 翻折三