三年级奥数.计算综合.数阵图与幻方

1、知识框架、数阵图定义及分类： 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图 . 数阵： 是一种由幻方演变而来的数字图 .数阵图的种类繁多， 这里只向大家介绍三种数阵图： 即封闭型 数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图 .、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点 （或方格 ）和关键点 （或方格 ）； 第二步：在数阵图的少数关键点 （一般是交叉点 ）上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系， 得到关键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对 数学方法

2、的综合运用、幻方起源： 幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方幻方起源于我国，古 人还为它编撰了一些神话传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都 无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是 3 行，竖 着数是 3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至 9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来： “瞧多有趣啊，这些点点不论 横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！ ”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪， 河水果然从此不再泛滥了这个神奇的图案

3、叫做 “幻方”，由于它有 3行 3列，所以叫做 “三阶幻方 ”， 这个相等的和叫做 “幻和”“洛书”就是幻和为 15 的三阶幻方如下图：Page 1 of国北周时期的数学家甄鸾在算数记遗里有段注解： “九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央 ”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的： “四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆 ”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的 3 3

4、的数阵称作三阶幻方， 4 4 的数阵称作四阶幻方， 5 5的称作五阶幻方 如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，81635749211514412679810115133216、解决这幻方常用的方法：适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连上出框时往下填，右出框时往左填排重便在下格填，右上排重一个样适用于三阶幻方的三大法则有： 求幻和：所有数的和 行数(或列数)求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数 ”，中心数幻和 3 角上的数 = 与它不同行、不同列、不同对角线的两数和2六、数独简介：数独前身为 “九宫格 ”，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先就发明了

5、洛书，其特点较之现在的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简单的九个数字不能重复。中国古籍易经中的 “九宫图 ”也源于此，故称 “洛书九宫图 ”。而 “九宫 ”之名也因易经在中华文化发展史上的重要地位而保存、沿用至今。拉丁方块 ”( Latin Square )的游戏， 这个Page 2 of 141783 年， 瑞士数学家莱昂哈德 欧拉发明了一种当时称作游戏是一个 n n的数字方阵，每一行和每一列都是由不重复的n 个数字或者字母组成的。19 世纪70 年代，美国的一家数学逻辑游戏杂志戴尔铅笔字谜和词语游戏 （Dell Puzzle M g）z开ine始s刊 登现在

6、称为 “数独”的这种游戏，当时人们称之为 “数字拼图 ”（ Number Place ），在这个时候， 99的 81 格数字游戏才开始成型。填充完整后 1984 年 4 月，在日本游戏杂志字谜通讯 Nikoil （通信 ）上出现了 “数独 ”游戏，提出了 “独立的数字 ”的概念，意思就是 “这个数字只能出现一次 ”或者 “这个数字必须是唯一的 ”，并将这个游戏命名为 “数独 ”（ sudoku）。一位前任香港高等法院的新西兰籍法官高乐德 （ Wayne Gould）在 1997年3月到日本东京旅游时， 无意中发现了。他首先在英国的泰晤士报上发表，不久其他报纸也发表，很快便风靡全英国，之 后他用

7、了 6 年时间编写了电脑程式，并将它放在网站上，使这个游戏很快在全世界流行。从此，这个 游戏开始风靡全球。后来更因数独的流行衍生了许多类似的数学智力拼图游戏，例如：数和、杀手数 独。中国大陆是在 2007年2月28日正式引入数独 . 2007年2月 28日，北京晚报智力休闲数独俱乐部 （数独联盟 sudokufederation 前身 ） 在新闻大厦举行加入世界谜题联合会的颁证仪式，会上谜题联合会秘书长皮特 -里米斯特和俱乐部会长在证书上签字， 这标志着北京晚报智力休闲俱乐部成为世界谜题联合 会的 39 个成员之一，这也标志着俱乐部走向国际舞台，它将给数独爱好者带来更多与世界数独爱好 者们交流

8、的机会。七、解题技巧：数独游戏中最常规的办法就是利用每一个空格所在的三个单元中已经出现的数字（大小数独一个 空格只位于两个单元之内，但是同时多了一个大小关系作为限制条件）来缩小可选数字的范围。 总结 4 个小技巧：1、巧选突破口：数独中未知的空格数目很多，如何寻找突破口呢？首先我们要通过规则的限制来 分析每一个空格的可选数字的个数，然后选择可选数字最少的方格开始，一般来说，我们会选 择所在行、所在列和所在九宫格中已知数字比较多的方格开始，尽可能确定方格中的数字；而 大小数独中已知的数字往往非常少，这个时候大小关系更加重要，我们除了利用已知数字之外 更加需要考虑大小关系的限制。2、相对不确定法：

9、有的时候我们不能确定2 个方格中的数字，却可以确定同一单元其他方格中肯 定不会出现什么数字，这个就是我们说的相对不确定法。举例说明，A1 可以填入 1 或者 2，A2也可以填入 1或者 2，那么我们可以确定， 1和 2必定出现在 A1和 A2两者之中， A行其他位置 不可能出现 1 或者 2.Page 3 of 143、相对排除法：某一单元中出现好几个空格无法确定，但是我们可以通过比较这几个空格的可选 数字进行对比分析来确定它们中的某一个或者几个空格。 举例说明， A行中已经确定 5 个数字， 还有 4 个数字（我们假设是 1、2、3、4）没有填入，通过这 4 个空格所在的其他单元我们知道 A

10、1可以填入 1 、2、 3、 4，A2 可以填入 1、3，A3 可以填入 1、2、3，A4可以填入 1、3，这个 时候我们可以分析， 数字 4 只能填入 A1 中，所以 A1 可以确定填入 4，我们就可以不用考虑 A1， 这样就可以发现 2 只能填入 A3 中，所以 A3 也能确定， A2 和 A4 可以通过其他办法进行确定。4、假设法：如果找不到能够确定的空格，我们不妨进行假设，当然，假设也是原则的，我们不能 进行无意义的假设，假设的原则是：如果通过假设一个空格的数字，可以确定和这个空格处在 同一个单元内的其它某一个或者某几个空格的数字， 那么我们就以选择这样的空格来假设为佳。 举例说明，

11、B3可以填入 1或者2，A3可以填入 2或者 3， B4可以填入 1或者2，这个时候我们 就应该假设 B3填入 2，这样就可以确定 A3 填入 3，B4填入 1，然后以这个为基础进行推理。例题精讲、辐射型数阵图例 1】 把1991，1992，1993，1994，1995分别填入图 2的 5个方格中，使得横排的三个方格中的数的和等于竖列的三个方格中的数的和。则中间方格中能填的数是 。巩固】 将 15 五个数字，分别填入右图的五个中，使横、竖线上的三个数字和都是10。Page 4 of 14例 2】 请你把 17 这七个自然数，分别填在下图（ 1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等应怎样填？

12、巩固】 将 17 七个数字，分别填入图中的各个内，使每条线上的三个数和相等。例 3】 将 1 11 十一个数字，填入下图各 中，使每条线段上的数字和相等。Page 5 of 14巩固】将 10 20填入左下图的内，其中 15 已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。、封闭型数阵例 4】 把 2、3、4、5、6、7 六个数字，分别填入 中，使三角形各边上的数字和都是12。巩固】 在如图 6所示的内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是 12，若 A、B、C 的和为18 ，则三个顶点上的三个数的和是 。Page 6 of 14例 5】 把 19 九个数字，分别填入下图 中，使每边上四个数的和

13、都是 21 。巩固】 将1至 6这六个数字填入图中的六个圆圈中（每个数字只能使用一次 ），使每条边上的数字和相等那么，每条边上的数字和是 三、复合型数阵图【例 6】 右边的一排方格中，除 9 、 8外，每个方格中的字都表示一个数 （不同的字可以表示相同的数 ），已 知其中任何 3个连续方格中的数相加起来都为22，则 “走”+“进”+“数”+“学”+花“”+“园”=15，竖列任意三巩 固】 请在下图中每个方格中填一个数，使横行任意三个相邻方格内的数字之和都是个相邻方格内的数字之和都是 18Page 7 of 1458例 7】 如图所示，圆圈中分别填人 0 到 9 这 10 个数，且每个正方形顶点

14、上的四个数之和都是18，则中间两个数 A 与 B 的和是 。巩固】将 1 8 这八个数分别填入右图的 中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。例 8】 把 1 8 的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。Page 8 of 14巩固】 把 210 九个数字，分别填入下图 中，使每条直线上的三个数和为15。巩固】 将1 9填入下图的 中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5 ， 7的倍数四、数阵图与数论例 9】 把 0 9 这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等种可能的取值差数列的各项之和为 55，那么这个等差数列的公差有五、数独例 10】在下图中的

15、每个 填入一位适当的数字，使每一行、每一列、每一宫中包含数字1 到 4，并且每Page 9 of 14个数字只出现一次。巩固】 如图 4 4方格被分成了五块；请你在每格中填入l、2、3、4 中的一个，使得每行、每列的四个数各不相同，且每块上所填数的和都相等。则A 、 B 、C、D 四处所填数字之和是ABDC六、幻方例 11】 3 3 的正方形中，在每个格子里分别填入 1 9 的 9 个数字，要求每行每列及对角线上的三个数的和相等（请给出至少一种填法）巩固】 3 3的正方形格子中， 在每个格子里分别填入 210 的 9个数字，要求每行每列及对角线上的三 个数的和相等（请给出至少一种填法） 例 1

16、2】 在 图的九个方格里，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则N=Page 10 of 148N61612巩 固】 在 下面两幅图的每个空格中，填入 7 个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和等 于 218484课堂检测随练 1】 将 1 9 九个数字，填入下图各10。Page 11 of 14随练 2】 将 17 这七个自然数填入左下图的七个 内，使得每条边上的三个数之和都等于随练 3】 将 1 8 八个数字，分别填入下图 中，使每个面的四个数和相等。随练 4】 如图，请将 1 个 1，2 个 2，3 个 3，7个 7，8个 8填入 66 的表格中，使得相同的数所在的方格都连在一起 （相连的两个方格必须有公共边） ；现在已经给出了其中 8 个方格的数， 并且知道 A、B、C、D、E、F 各不相同，那么，六位数 是。9。作业 1】 把 15 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于Page 12 of 14作业 2】把 1 5 这五个数填入下页左上图中的里 （已填入 5），使两条直线上的三个数之和相等。作业 3】把 1 5 这五个数填入右图中的 里，使每