6[1][1].1定积分的定义与性质.

1、第六章定积分 6.1运积分的定义与性质 引入实例 1曲边三角形的而积计算 71-P 设曲边三角形占=，, = 亦轴所围成具而积为S 将0.1兀等分,分点分别为0 =兀0, X,七,十兀=I,则有 形=x- -x._, =/ = 1,2,） nn n n W而将曲边三角形分成了 n个小囱边梯形 W为第一个还是一个曲边三角形）。 对于第，个曲边梯丿孩记 九=/（仃）,2=/（坷） ZI 则仃1 Si 5/2,而$ - X Si i=l 再记S1 =工5,1,52 = X2，从而有S1 S ()和x = 及r轴围成, 面积为S,则作如下处理 (1) 分割：在fa,/”间插入n + 1个分点4=切,兀

2、|,兀2,心_1，心=b 将甸分成C个小区间段同时将曲边梯形分成顶个小曲边梯形 各小区间的长度记Avz = x；-x,_h小曲边梯形的I何积记两,则仃 / f=l (2) 近似计算： 右Wt，切中任取一点TfJIJ以及/)为边的矩形面积近似彳騎 即 (3) 求和：因而整个曲边梯形的面积就可近似计算为 nn s = Yg吃街如 Z=1/=! (4) 取极限：求S的准确值 /I 记；I = rnax/Vr.,则/(引“虽然与对的分法和刍的 取法有关，但当兄-011寸,极限却是存在的，且极限值与分法 利取法无关,因此冇 (6-1-51 3变速直线运动的路程计算 直线运动的路程计算，若为匀速运动，则路

3、程的计算为速度 乘以时间即可，但若为变速运动，则不能这样计算，【大1为速度 足A随时间的变化而变化，如 求速度为叩)的变速H线运动时Wfk创内的运动路程 (1) 分割：将时间段c分成个小段 饵个小时间段的K：度沙=/-/,_! (2) 近似求和在耳_“内任取 畑将归心“刈近似看成匀速运动 匀速运动的速度为则有N v(z/.)Az. Hfl r. s =工 Ay- Q 艺 v(Z7.)Az. ixl1=1 (3) 取极限：记几=max Ar,则右$= lim 工 i()肓 二定积分的定义一 1定义；Vif(x)nia.b上冇定义njn + l个分点槪切分成h个小段 -A；_i, 0 = %兀,兀

4、2,=b，每一小段的K度为At. = X. 在形,兀上任取一点岳,作和式s“=/(焉)5 /=! 1(22 = max Av.,若不论对x,毛如何划分和点如何选収 lln n 均冇极限Hm S =匹;工y)存在，则稔r(x)在d,e上 /=| 可积，并称极限值为/(k)在上的定积分，记作J：/(x)dhr (6-1-71 初A 因此按泄义冇：J fMdx= lim工/(GZ 巾K)行 前述引例川的问题均可变为定积分： 曲边三角形而积为：S = x-dx 曲边梯形Ifli积为: S = f f(x)dx Ja 变速w线运动的路程为：S = (6-1-81 2定义屮应注恵的问题 (1)仃关概念：积

5、分号、被积函数、积分变量、被积农达式、 积分限、积分上下限、积分区间。 (2) 定积分的结果是一个数，与不定积分不样。 (3) 定积分仅耳被积函数和枳分区间有关，而与积分变暈无 关，即有：杪fb rfMdx= f JaJa 定义中的2 TO不能lIlrtooR替 因为将一个区间段分成无穷段不能保证每一小段都非常小, 但每一小段都非常小则必须是无穷段，当然，若对区间采用平 均划分，则两者是一样的，此时可以代替。 6-1-9 (5) 若a = b、则有Av, = 0,1大I iflj 有J fx)dx= 0 fx) = 1,则冇厶=lim 工、勺=b-a Ja (6)积分限一般仙V b,若G b,

6、则规定冇fx)dx = -j： f(x)c/x 3町积函数的几个结论 (1) 可积函数一定有界; (2) 右限闭区间a,b上的连续函数一定町积: (3) 在冇限区间久b上只冇冇限个间断点的冇界函数一定可积。 6-1-# 三定积分的几何意义 1着/U)?)，则为曲边梯形的而积，体现为正面积。 若/(x)vO,则为lIH边梯形的面积的相反数，体现为负面积。 若/S)在a,b 1:冇正冇负，则为正负面积的代数和。 例: 教材例3即是引入例屮第一个令b=l即Mjo 四 1性质1:线性运笄性质 定积分的基本性质 设/(x)(x)在I切上町积20为任意常数则6tf(x)/3fe(x) 在lab上可积且冇M

7、W 土/%(x)Mx = a/(x)dxQgO)厶 (6-1-111 注：此件质可以推广到更多的有限个函数上上。 2性质2：定积分具有对区间的可加性 性质：对VcJ/(x)Jx+J/(x)/x 理解：在曲边梯形向积上来理解，个曲边梯形町以分解为 两个曲边梯形，口面积等它们血积的合让。 推厂 *:对Vc e & 旬:f (x)dx = J：/(A*Wx+ /(x)c/x 如设:C a 0,xe切,则冇/（兀）厶王0 (3)推论2:设ZXx)伯町积并 f L3mMa：m/(x)M，大 el/bh 则有m(ba fx)dxMba) 注：此件质的结论常用作积分值的估计。如 2 dxe (6-1-131

8、 证HJJ：l 2 证明： 舒（X）=,则厂（X）=0,.VG （0,1） 二 /U）右枪1上严格递增即/（0） /（X）M /（I）,即 1 /（X） e 因此ft： X dxe 4性质4：绝对值不等式 设/（*）在么切上町积贝”0）1出4,切上可积且有 /（X）dx 注：町用定积分的儿何意义进行理 解，代数和J绝对值的和。 5性质5：积分屮值圧理 定理：设/（X）在K切I:连续归ewRM儿戈厶=/（巧（方-0） Ja （2）证明：/（xRld 11 连K.*.3/h, A/,3： m /（X） M b1/? /. mb 一 a) f f (x)dx M (b a) nif f(x)dx M b-a九 nPzi !一 ff(x)dx介于 m与MZ 间 b-aJu 依闭区间上连续函数的性质中的介值定理有 Be e a，H 戈 /(C)=亠/(厶f7(x)厶=f(c)(b-a) b-a*Ju (6-1-151 （3