全概率公式和贝叶斯公式

1、2021/3/10授课：XXX1 5 全概率公式和贝叶斯公式 2021/3/10授课：XXX2 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式 S A1A2An . BA1BA2.BAn = 21n BABABAB ;, 2 , 1,=njijiAA ji . 21 SAAA n 定义定义 设 S 为试验 E 的样本空间， 为 E 的一组事件。若满足 (1) (2) 则称 为 样本空间 S 的一个划分。 n AAA, 21 n AAA, 21 第一章 概率论的基本概念 3条件概率 返回主目录 2021/3/10授课：XXX3 全全 概概 率率 公公 式：式： 设随机事件BAAA n 以及, 21

2、 满足： 两两互不相容； n AAA,1 21 或 2 1 SA n n , 2, 103nAP n 1n nn ABPAPBP则有 第一章 概率论的基本概念 3条件概率 ； 1n n AB 返回主目录 2021/3/10授课：XXX4 全概率公式的全概率公式的 证明证明 由条件： 1n n AB 得得 1n nB AB 而且由 两两互不相容， n AAA, 21 也两两互不相容；得BABABA n , 21 A1A2An . BA1BA2.BAn = 21n BABABAB S 第一章 概率论的基本概念 3条件概率 返回主目录 2021/3/10授课：XXX5 全概率公式的证明（续） 所以由

3、概率的可列可加性，得 1n n BAPBP 代入公式（1），得 得，再由条件, 2, 10nAP n nnn ABPAPBAP 11n nn n n ABPAPBAPBP 第一章 概率论的基本概念 3条件概率 返回主目录 2021/3/10授课：XXX6 全概率公式的使用全概率公式的使用 我们把事件B看作某一过程的结果， 因，看作该过程的若干个原把 n AAA, 21 根据历史资料，每一原因发生的概率已知， 已知即 n AP 已知即 n ABP 而且每一原因对结果的影响程度已知， 则我们可用全概率公式计算结果发生的概率 BP即求 第一章 概率论的基本概念 3条件概率 返回主目录 2021/3/

4、10授课：XXX7 例6 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级 射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、 三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标 的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今 随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射 中目标的概率 解： 标该小组在比赛中射中目设B 4321 ，级射手参加比赛选ii i A 由全概率公式，有 第一章 概率论的基本概念 3条件概率 返回主目录 2021/3/10授课：XXX8 4 1n n ABP n APBP 32. 0 20 3 45. 0 20 9 64. 0 20 6 85. 0 20 2 5275. 0 第一章 概率论的基

5、本概念 3条件概率 返回主目录 2021/3/10授课：XXX9 Bayes Bayes 公公 式式 设随机事件BAAA n 以及, 21 两两互不相容； n AAA,1 21 , 2, 103nAP n 满足 , 2 , 1, 1 )()|( )()|( )( )( )|(n j j AP j ABP n AP n ABP BP B n AP B n AP 则 第一章 概率论的基本概念 3条件概率 或 2 1 SA n n ； 1n n AB 返回主目录 2021/3/10授课：XXX10 BayesBayes公式的使公式的使 用用 我们把事件B看作某一过程的结果， 因，看作该过程的若干个原

6、把 n AAA, 21 根据历史资料，每一原因发生的概率已知， 已知即 n AP 已知即 n ABP 而且每一原因对结果的影响程度已知， 如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原 因引起的概率，则用Bayes公式 BAP i 即求 第一章 概率论的基本概念 3条件概率 返回主目录 2021/3/10授课：XXX11 例 8 用某种方法普查肝癌，设： A= 用此方法判断被检查者患有肝癌 ， D= 被检查者确实患有肝癌 ， 已知 90. 0,95. 0DAPDAP 0004. 0DP而且已知： 现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有 肝癌的概率 第一章 概率论的基本概念 3条件概率 返

7、回主目录 2021/3/10授课：XXX12 例 8（续） 解： 由已知，得 9996. 0,90. 0DPDAP 所以，由Bayes公式，得 DAPDPDAPDP DAPDP ADP 10. 09996. 095. 00004. 0 95. 00004. 0 0038. 0 第一章 概率论的基本概念 3条件概率 返回主目录 2021/3/10授课：XXX13 例 9 袋中有10个黑球，5个白球现掷一枚均匀的骰子， 掷出几点就从袋中取出几个球若已知取出的球 全是白球，求掷出3点的概率 解： 设：B= 取出的球全是白球 621，点掷出iiA i 则由Bayes公式，得 6 1 33 3 i ii

8、 ABPAP ABPAP BAP 第一章 概率论的基本概念 3条件概率 返回主目录 2021/3/10授课：XXX14 例9（续） 0 6 1 6 1 6 1 5 1 15 5 3 15 3 5 i i i C C C C 04835. 0 第一章 概率论的基本概念 3条件概率 返回主目录 2021/3/10授课：XXX15 例例 10 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家 元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。 元件制造厂元件制造厂 次品率次品率 提供晶体管的份额提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 S B1B2B3 A 第一章 概率论

9、的基本概念 3条件概率 2021/3/10授课：XXX16 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的， 且无区别的标志。 （1）在仓库中随机的取一只晶体管，求它是次 品的概率。 （2）在仓库中随机的取一只晶体管，若已知取 到的是次品试分析此次品出自那家工厂的可能 性最大。 解解 ： 设 A 表示“取到的是一只次品”，Bi ( i= 1,2,3)表示“取到的产品是由第 i家工厂提供的”, 第一章 概率论的基本概念 3条件概率例10（续） 返回主目录 2021/3/10授课：XXX17 元件制造厂元件制造厂 次品率次品率 提供晶体管的份额提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.8

10、0 3 0.03 0.05 PA B i (|)PB i () P A( ).00125 . )()|()()|()()|()( 2211nn BPBAPBPBAPBPBAPAP )(AP P B A P B A P A i i (| ) () ( ) 第一章 概率论的基本概念 3条件概率例10（续） 返回主目录 2021/3/10授课：XXX18 元件制造厂元件制造厂 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 PA B i (|)PB i () B1B2 B3 A P B A P A B P B P A (| ) ( |) () ( ) . . . 1 11 0

11、02015 00125 024 第一章 概率论的基本概念 3条件概率例10（续） 返回主目录 2021/3/10授课：XXX19 ,%24 5 .12 3 )|( 1 ABP ,%64 5 .12 8 )|( 2 ABP .%12 5 .12 5 . 1 )|( 3 ABP 第一章 概率论的基本概念 3条件概率例10（续） 返回主目录 2021/3/10授课：XXX20 例例 11 对以往的数据分析结果表明当机器调 整得良好时，产品的合格率为 90% , 而当机器发 生某一故障时，其合格率为 30% 。每天早上机 器开动时，机器调整良好的概率为 75% 。已知 某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得 良好的概率是多少？ 机器调整得良好 产品合格 机器发生某一故障 B B A P A B( | ) 90% P