2数集和确界原理.

1、华东师范大学数学系编数学分析第三版上册教案第一章实数集与函数黔西南民族师专数学系 11 2数集和确界原理 授课章节：第一章实数集与函数一一 2数集和确界原理 教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念 . 教学要求： （1）掌握邻域的概念； 确界的概念及其有关性质（确界原理）. 确界的定义及其应用. 讲授为主. 先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课 （2）理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用 教学重点 教学难点 教学方法 教学程序 上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 实数的相关内容.下面，我

2、们先来检验一下自学的效果如何！ 1、证明：对任何 xR有：(1) |x-1|+|X-2|31 ； (2)|x-1|+|x-2| + |x-3|2. X-2 X-1 + X-2 1) (1 7| X1=|1+(X-2)|1 (2)|x1|+|x-2| 1,|x-2|+|x-3 1,|x -2+|x-32.三式相加化简即可） 2、证明：|x|-1 y| x-y|. 3、设a,b亡R，证明：若对任何正数S有a+bvs，贝U a y，证明：存在有理数r满足y c r c x. 引申:由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一.而 不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的

3、结论：一般的方法？由上述几个小 题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭 空想象；课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差 别，尽快掌握本门课程的术语和工具. 本节主要内容： 1、先定义实数集R中的两类主要的数集一一区间与邻域； 2、讨论有界集与无界集； 3、 由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）. 、区间与邻域 1、区间（用来表示变量的变化范围） 、几口 .有限区间甘+ 设a,b匸R且ab.区间4，其中 无限区间 开区间:x R|a X vb = (a,b) 闭区间:x R|axb=a,b 半开半闭区间严

4、开区间：*壬RExb=a,b) j开闭区间：x亡 R|a cx a = a,母). x 亡 R| X a = (=, a. 无限区间 x迂R| X Aa = (a,母). x R|x ca =(Y,a). jx R| Y X 0，满足不等式|xa|v5的全体实数x的集合称为点a的6 邻域，记作U(aP)，或简记为U(a)，即 5 a +?X U (a; 6) = x |x -a = (a - 5,a + 6). 其中a称为该邻域的中心，6称为该邻域的半径. (2) 点a的空心6邻域 U o(a;6) =x 0 v| X-a|6 = (a -5,a)(a,a + 6) U U o(a). (4)

5、 (5) a的6右邻域和点a的空心6右邻域 UdaP)=a,a+6)Lua)= U；(aP)=(a,a+5)U0(a)=x 点a的6左邻域和点a的空心6左邻域 U -(ap) =(a-6,aU U_(a)显x|a-6 Ul(a;6) =(a-6a)Uula) = 处邻域，+处邻域，亠邻域 U D =x|x|A M ,(其中M为充分大的正数)； X a X C a +6 ; a ex ca +6. ex; X a M ,U(Y) = 、有界集与无界集 1、定义1 (上、下界)：设S为R中的一个数集.若存在数M(L)，使得一切X-S都有 xL），则称S为有上（下）界的数集.数M（L）称为S的上界（

6、下界）；若数集 S 既有上界，又有下界，则称 S为有界集. 闭区间a,b、开区间（a,b）（a,b为有限数）、邻域等都是有界数集, 集合 E=y y=sinx, x（-, +处）也是有界数集. 若数集S不是有界集，则称S为无界集. （-处，+处），（-处，0）, （0, +处）等都是无界数集, 1 y = -，X （ 0,1）、也是无界数集. x 注：1）上（下）界若存在，不唯一； 2）上 （下）界与S的关系如何？看下例: 例1讨论数集N + = n|n为正整数的有界性. 解：任取n。壬N+,显然有n1，所以N+有下界1； 但N机上界.因为假设N+有上界M,则MQ按定义，对任意n。-仲，都有n

7、。 M，这是 不可能的，如取n。=M +1（符号M 表示不超过M的最大整数），则n。亡N +，且n。M . 综上所述知：N+ 是有下界无上界的数集，因而是无界集. 例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个 数组成的数集是有界集. 问题:若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？（答：不唯一 ，有无穷多个）. 三、确界与确界原理 1、定义 定义2（上确界）设S是R中的一个数集，若数n满足：（1）对一切X-S,有xn （即 n是S的上界）；（2） 对任何a n，存在X。忘S，使得X。X （即n是s的上界中最小的一 个），则称数n为数集S的上确界，记作n =s

8、upS. 丛定义中可以得出;一上确界就是上界中的最小者“亠 命题1 M =supE充要条件 1）Vx亡 E,x 0, mx。迂 S,使得 X。A M E . 证明：必要性，用反证法.设2）不成立，则W先0,使得V X亡E,均有xM。.令 z=M -M0，由2），至0亡E，使得X0 M -s = M0，与 M。是E的上界矛盾. 定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数满足：（1）对一切X迂S,有x （即 是S的下界）；（2）对任何P ，存在xo- S，使得xo E ； 2) Ps 0， X0 迂 S,有 X0 vE+ 名. 上确界与下确界统称为确界. 例 3 (1) S = !1 +匕亠),则

9、 supS=1; infS=0 . I n (2) E = iy y =sinx, X珂0,兀)1 则supS =1； inf S=0 . 注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的. 命题3:设数集A有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的 证明：设n =supA , V =supA且n沖，则不妨设n n =supA=A有 X n r=su pA=对 nr, 3 Xo-A 使 n supA, inf S inf A. 例5设A和B是非空数集.若对F X壬A和V严B,都有x y,则有sup A nf B. 证明：Py 亡 B, y 是 A 的上界，=su pAy. = su pA 是 B 的下

10、界，= su pA inf A 或 X inf B. = x min inf A, inf B . 即min inf A, inf B 是数集S的下界, =inf S min inf A,inf B 又S二A, = S的下界就是A的下界，inf S是S的下 界，二 inf S是 A 的下界，二 inf S inf A;同理有 inf S inf B. 于是有 inf S min inf A, inf B . 综上，有 inf S = min inf A, inf B . 1. 数集与确界的关系：确界不一定属于原集合.以例3为例做解释. 2. 确界与最值的关系：设E为数集. （1）E的最值必属于

11、E,但确界未必，确界是一种临界点. （2）非空有界数集必有确界（见下面的确界原理），但未必有最值. （3）若maxE存在,必有maxE=supE.对下确界有类似的结论. 4. 确界原理： 则S必有上确界；若S有下界，则S必 mx亡E，我们可以找到一个整数P，使 P.1 , P.2,4.9和P+1，我们可以找到 Th1.1（确界原理）.设S非空的数集.若S有上界， 有下确界. 这里我们给一个可以接受的说明E匸R,E非空， 得P不是E上界，而P +1是E的上界.然后我们遍查 一个q0，q0n ； 2）存在 xiS，有 X 兰n +1； 把区间（n,n +1 10等分，分点为n. 1， n .2，. , n . 9,存在n1，使得 1 V 亡 S，有；X nm ； 2）存在 X2 壬 S，使得 X2 n.n1 n2 ； 2）存在x2，使X2乞nnn2 +详 继续