《一元二次方程的解法》经典例题精讲

1、一元二次方程的解法经典例题精讲例1解方程X2 25 0 .分析：解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好.2解：X 250 ,X225 ,X 725 , X = 5.X15, X252例2解方程（X 3）22分析：如果把X + 3看作一个字母y，就变成解方程y 2 了. （X 3）2272,或 X 33 72, X2解:Xi运,3 422例3解方程4（X 2）分析：解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法 较好.81 0解：4（X2）28102整理，4（X2） 817,92 ,13,X2对可用直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解; 贝y X 禹；若

2、（X a）2 b，贝y XVb a .例4解方程X2 3x 2 0 .分析：此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解. 解法一：X2 3x 202（X 2）Xi注意:若 X2 a ,81（X - 2）（x - 1） = 0, x 2 = 0, X 1 = 0,Xi 1, X22 .解法二：/a= 1, b= 3, c = 2,-b24ac ( 3)24 12102, X21用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数 X1注意： 先计算“”的值，若 0,则方程无解，就不必解了.2 2例5解关于X的方程x m(3x 2m n)n 0 .分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的

3、一般形式, 为关于x的方程，即x为未知数，m 利用公式法求解.解：把原方程左边展开，整理，得2 2 2x 3mx (2m mn n ) 02m2 mn1 (2m2n为已知数.在确定b2a、b、c的值,注意此方程4ac 0的情况下,a= 1, b= 3m, c-b24ac(3m)242n ,2mn n )2 m(m4mn2n)24n203m J(m 2n)23m(m 2n)2x1 2m n, x2 m注意：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都 要先把方程化为一般形式，确定 a、b、c和b2 4ac的值，然后求解.但解字母 系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关

4、于哪个未知数的方程； (2)不要把一元二次方程一般形式中的 a、b、c与方程中字母系数的a、b、c相 混淆；(3)在b2 4ac开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包(m 2n)括了这两种可能，因此，J(m 2n)2例6用配方法解方程2x23 7x分析：解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身 重要，要记住.2解：2x27x - x23 7x，3 02 ，22302516X13,1X 2 2 .注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1,方程左边只有二次项，一次项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左 边就配成了一个二项式的完全平方.

5、例7不解方程，判别下列方程的根的情况：2 2(1) 2x2 3x 40 ； 16y924y ； 5(x1) 7xb2 4ac的值的分析：要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别式 符号就可以了.解：(1) Va = 2, b = 3, c = 4,b2 4ac 324 2 ( 4)4 10 . 方程有两个不相等的实数根.(2) Va= 16, b= 24, c= 9,2 2b2 4ac ( 24)24 16 9 0 . 方程有两个相等的实数解.(3) 将方程化为一般形式5X2 5 7X 0 ,5x2 7x 5 0 a=4, b= 7, c = 5,b2 4ac ( 7)24 5 5=49100

6、=510.方程无实数解.注意：对有些方程要先将其整理成一般形式，再正确确定 例8已知方程5X2 kx 6 0的一个根是2,求另一根及 bX X分析：根据韦达定理12 a据方程解的意义可知X = 2时方程成立， 求出方程的另一根.但方法不如第一种.a、b、c的符号.k的值.ca易得另一根和k的值.再是根 即把X = 2代入原方程，先求出k值，再Xi X2解：设另一根为X2，则X235， k =一 7.3即方程的另一根为 5，k的值为一 7.b1 0两根的注意：一元二次方程的两根之和为 a，两根之积为 例9利用根与系数的关系，求一元二次方程 2X2 3X (1)平方和；倒数和.分析：已知X1 X2

7、32，X1 X21 22 .要求(1) X12X2 , (2) X1 X22 2关键是把X1 X2、因为两数和的平方,(a b)2 a2 b2 2ab1 1X1 X2转化为含有X1等于两数的平方和加上这两数积的2X2、X1，所以a两数和与积表示两数的倒数和.解：X2的式子.2倍，即2 2b (a b)2ab，由此可求出(1).同样，可用(1) 2 X1Xi2X2X2(Xi32，XlX2X2)22X1X29 14137 ；1X2X2X1X1X2丄X13212=3.注意：利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和，其关键是把平方和、 倒数和变成两根的和与积，其变形的方法主要运用乘法公式.例10已知方

8、程2X2 4X m 0的两根平方和是34，求m的值.分析：已知中设法用X1 X2和x1Xi X22, Xi X2 m, X2 x；2解：设方程的两根为34，求m就要在上面三个式子2X2来表示x2 , m便可求出.X1、X2，贝UXi X22 Xi X22 2XiX2（Xi X2）22x4X2 2x1X2（Xi X2）2（X2X2）（2）2=30.34XiX2m3 ,- rn= 30.2 2从而求得注意：解此题的关键是把式子X1 X2变成含X1 X2、X1X2的式子, m的值.例11求一个一元二次方程，使它的两个根是 2、10.分析：因为任何一元二次方程都可化为（二次项系数为 式.如设其根为XI

9、、X2，根据根与系数的关系，得X12q的值代入方程XPX q 0中，解：设所求的方程为X2 PX 2+ 10= P, 2X 10= q,- p= 12, q = 20.所求的方程为X2 12X 2021） X PXP, Xi X2X22即得所求方程X （X1X2）X X1 X2q 0的形q .将 p、0注意：以X1、X2为根的一元二次方程不止一个，但一般只写出比较简单的一 个.例12已知两个数的和等于8,积等于9,求这两个数.分析：把这两个数看作某个二次项系数为1的一元二次方程的两个根，则 这个方程的一次项系数就应该是-8,常数项应该是9,有了这个方程，再求出 它的根，即是这两个数.2解：设这

10、两个数为X1、/ X1 X28P, Xix2，以这两个数为根的一元二次方程为XPx q 0X2 q方程为X28x解这个方程得Xi这两个数为0 .77, X2 4 4777和 4472例13如图22-2-1 ,在长为32m宽为20m的长方形地面上，修筑两条同样 宽而且互相垂直的道路，余下的部分作为绿化用草地，要使草地的面积为540m , 那么道路的宽度应是多少？分析：设道路的宽度为x m,则两条道路的面积和为32x 20x x2 题中的等量关系为：草地面积+道路面积=长方形面积.解：设道路的宽度为X m，则540 32x20x x232 20X2 52x 100 0，(X 2)(x 50) = 0，X 2 = 0，X 50= 0，X12，X250 .X = 50不合题意，取 X = 2.答：道路的宽度为2m注意：两条道路重合了一部分，重合的面积为 X2 .因此计算两条道路的面 积和时应减去重合面积X2 .例14某钢铁厂去年1月份钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，求 这两个月平均每月增长的百分率是多少？分析：设平均每月增长的百分率为X，则增长一次后的产量为5000(1