一阶线性微分方程的研究与应用毕业论文

1、阶线性微分方程的研究与应用摘要：本文分析了一阶线性微分方程的几种初等解法类型以及应用，总结出了 这些不同类型方程可借助变量变换或积分因子化成变量分离方程和恰当方程两 种类型，从而归纳了一阶微分方程的求解问题以及应用领域。关键词：变量变换 积分因子 变量分离方程 恰当方程引言对于一阶微分方程的初等解法，通常我们把他们归结为方程的积分问题， 虽然一般的一阶方程没有初等解法，但是对于一些有限的有初等解法的类型， 它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分，因此，掌握这些类型方 程的解法还是有重要实际意义的，下面我们就对这些类型方程的解法一作以总 结。微分方程微分方程就是联系着自变量、未知函数及其

2、导数的关系式，形如般)的方程，称为一阶线性微分方程。1、变量变换方法(1-1)形如 的方程，称为变量分离方程，这里的f(x)g(y)分别x, y的连续函数.如果g(y) 土 0,我们将(1-1)改写成= f(x)dx,两边积分得， gCy)(1-2)其中c任意常数。例1求方程=pa)y的通解，其中P(X)是x的连续函数。解将变量分离，得到9两边积分，即得=p(x)dxyIn |y|= / p(x) dx+ C这里c是任意常数,由对数定义，即有|y|=y=求解方程生一 dx yg/ p(x)dx+cgCgJ p(x)dx将变量分离，得到c一+一2 2y d y=-x d x,两边积分，即得因而，

3、通解为这里c是任意正常数。或者解出y,写出显函数形式的解y=dyy 丄 y例3 求解方程=-+tan- dxX Xydydu解 这是齐次微分方程，以- =U及子=X +u代入，则原方程变为Kdxdxdu I+u=u+anudutan udxX将上式分离变量，即有cot udu =X两边积分，得到n I sm Ul = n | x| +c,这里F是任意常数，整理后得到原方程的通解为rfn- = CXX例4求方程X+2jxy=y (x0)解将方程改写为半dx+ - (x0)其中c是任意常数。即得原方程的通解l2y = X In C-x) + c(ln(=x) + c 0)及解y=0(in (=x)

4、 + c 02、常数变易法例1 求方程空=丄访的通解。dx 2x=y解原方程不是未知函数y的线性微分方程，但我们可将它改写为dx2x - y2dy ydx 2把x看作未知函数，y看作自变量，首先，求出齐次线性微分方程dx 2爲=尹的通解为x=c其次，利用常数变易法求非齐次线性微分方程（1）的通解。把c看成 cCy）,微分，得到dxdy讐 y2 + 2c(y)y,代入（1）,得到dy积分之，即可求得c(y) = -ln|yl +c从而，原方程的通解为X于2(E - In II y II)这里的c为任意常数。3、积分因子法例1求解方程y d x+(y-x)d y=0.因为3Naydx-M A JV

5、n I,N=y-x, 二1, = 1，方程不是恰当的。3yox2=-只与y有关，故方程有只与y有关的积分因子 y以P = W乘方程两边，得到yYdxxdy dy因而，通解为一阶微分方程的应用一般来说，用常微分方程去解决某些实际问题的过程分以下三个步骤:I、建立方程 对所研究的问题，根据已知定律或公式以及某些等量关系 列出微分方程和相应的初值条件n、求解方程m、分析问题通过已求得的解的性质，分析实际问题。应用一：等角轨线求这样的曲线或曲线族，使得它与某已知曲线族的每一条曲线相交成给定 的角度.这样的曲线称为己知曲线的 等角轨线.当所给定的角为直角时，等角轨 线就称为正交轨线.等角轨线在其它很多学

6、科（如天文、气象等）中都有应用.下 面就来介绍求等角轨线的方法.应用二：动力学问题前面已经说过，动力学的基本定律是牛顿第二定律 f=ma,这也是用微分方程来 解决动力学的基本关系式，的右端明显地含有加速度 a，a是位移对时间的二阶 导数.列出微分方程的关键就在于找到外力f和位移及对时间的导数一一速度的 关系.只要找到这个关系，就可以由f=ma列出微分方程了 .在求解动力学问题时，要特别注意力学问题中的定解条件，如初值条件等.例2物体由高空下落，除受重力作用外，还受到空气 阻力的作用，在速度不太大的情况下（低于音速的4/5）, 空气阻力可看做与速度的平方成正比.试证明在这种情况下，落体存在极限速

7、度V_1。解设物体质量为m空气阻力系数为k，又设在t时刻物体的下落速度为V，于 是在时刻物体所受的合外力为f=mg-k这里，建立的坐标系，使得重力 m前向向下，与运动方向一致，空气阻力方向 向上，与运动方向相反。从而，根据牛顿第二定律可列出微分方程唸F-加因为是自由落体，所以有v(O)= 0解得上式得积分得即可求出V的大小。应用三：光学问题例1抛物线的光学性质 车灯的反射镜面-旋转抛物面 解 如图 设旋转轴0X轴光源在（0,0）L:y=y(x)设M(x, y )为上任一点，MT为切线，MN为法线,V/ OMNHNMR, 巾n/OMN 二伽厶MR，ytanZQMH=r11xytan/MMR 二亠Iy得微分方程yy+2xyLy=0,即U + dxdu_ -1 寸1 +口分离变量dxtl+d町士血帝一Itdtdjcz积分得In |t+1|= In 心,平方化简得所求旋转轴为ox轴的旋转抛物面方程为以