结构力学教学课件-12结构的极限荷载

1、Dec. 2013 东南大学土木工程学院东南大学土木工程学院 第第1212章章 结构的极限荷载结构的极限荷载 0202 主讲教师: 郭彤 孙泽阳 概述 极限弯矩和塑性铰 静定梁的极限荷载； 单跨超静定梁的极限荷载； 比例加载的一般定理及应用 上节课内容概述上节课内容概述 弹性设计方法：荷载卸去后，结构会恢复到原来形状 无任何残余变形。（不能充分估计结构屈服后承载力， 偏于保守和不经济） 塑性设计方法：以结构破坏时的荷载作为标准（承载 力不再增加） u Pu PP k F FF 容许荷载 极限荷载 结构塑性分析 的主要任务 y y k max 结构设计的两种基本方法： 弹性设计方法；塑性设计方法

2、 上节课内容概述上节课内容概述 极限荷载分析假定： 理想弹塑性材料假定； 小变形位移假定； 所有荷载均为单调增加，不出现卸载 加载过程中，所有荷载保持固定比例 比例加载 上节课内容概述上节课内容概述 0 21 AA yy 2/ 21 AAA 中性轴亦为等分截面轴。 )( 212211 SSaAaAM yyyu 由此可得极限弯矩的计算方法： 式中:距离，的形心到等分截面轴的、为、 2121 AAaa 对该轴的静矩。、为、 2121 AASS s W y y 上节课内容概述上节课内容概述 极限弯矩：只与材料物理性质和截面几 何形状有关。 塑性铰 极限状态下：截面上正应力达到屈服极限，应力不再增大

3、正应变可继续增加，截面发生有限转动 形如一个铰链，称为塑性铰。 塑性铰与普通铰的区别： 1.塑性铰可承受极限弯矩; 2.塑性铰是单向的; 3.卸载时消失; 4.随荷载分布而出现于不同截面。 u Mu M M M 结构由于出现塑性铰而形成的机构称为破坏机构。 破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。 破坏机构 静定结构无多余约束，出现一个塑性铰即成为破 坏机构。这时结构上的荷载即为极限荷载。 1. 塑性铰出现的位置：截面弯矩与所在截面极 限弯矩比值绝对值最大的截面。 2. 找出塑性铰发生的截面后，令该截面的弯矩等 于极限弯矩，利用平衡条件即可求出极限荷载。 12.3 静定结构的极限荷载 FP A

4、 l/2l/2 B mm80 mm20 100 20 极限弯矩： 12 ()19.646kM.m uy MSS 梁中最大弯矩： max / 4 P MF l 令 ，得 u MM max 4 4/19.64619.646kN 4 Puu FMl 解： 2 12 / 20.0018mAAA令 2 m0036. 0A A1形心距下端0.045m, A2形心距上端0.01167m, A1与A2的形心距为0.0633m. A1 A2 ( )(10.5/ ) u u MxMx l q 例：变截面简支梁的极限弯矩为 梁承受全跨均布荷载作用，求荷载集度的极限值。 1 ( )() 2 M xqx lx解：梁的各

5、截面的弯矩 得令, 0)(/ )(xMxM dx d u 22 420 620.4495 xlxl xll 2 0 6326 2 62 2 l q M M M u u 2 0 2 0 990. 861127 6l M l M q uu u 塑性铰出现的位置：截面 弯矩与所在截面极限弯矩 比值绝对值最大的截面。 例:求图示等截面梁的极限荷载.已知梁的极限弯矩为Mu。 0 A M 2 2 1 xqxRM uBC 0 C M ) 2 ( 1 uuB M l lq l R 2 2 1 ) 2 (xqx l Mlq u uu 因为 是最大弯矩， C M A l B q 解: 梁中出现两个塑性铰即为破坏机

6、构，根据弹性 分析，一个在A截面，设另一个在C截面。 RB A B u M C u M x u q 0 dx dM C 0 2 xq l Mlq u uu 02 22 llxx lx)21( llx4142. 0) 12( uu M l q 2 66.11 而最大弯矩亦等于Mu 2 2 8 u u qx M 由前面例题可见:若分析出塑性铰的位置，由结构的极限状 态的平衡即可求出极限荷载。 同时也可推知超静定结构的极限荷载与结构的温度变化、 支座移动等因素无关。 1P F 2P F 1 q2 q 11PP FF 22PP FF 22P qF 11P qF 求极限荷载相当于求FP的极限值。 比例加

7、载-作用于结构上的所有荷载按同一比例增加， 且不出现卸载的加载方式。 12.5 比例加载时判定极限荷载的定理 结构处于极限状态时，应同时满足下面三个条件： 1.单向机构条件； 2. 弯矩极限( 内力局限）条件；3.平衡条件。 可破坏荷载-同时满足单向机构条件和平衡条件的荷载。 可接受荷载-同时满足弯矩极限条件和平衡条件的荷载。 P F P F 极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。 1.基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。 比例加载时关于极限荷载的定理 PP FF 证明： 取任一可破坏荷载 P F ，给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程 1 n Puii i FM 取任一可接受荷载 P

8、F ，在与上面相同虚位移上列虚功方程 1 n Pii i FM uii MM PP FF 3.上限定理（极小定理）：极限荷载是所有可破坏 荷载中最小的。 证明： 由于极限荷载 是可接受荷载，由基本定理 Pu F PuP FF 4.下限定理（极大定理）：极限荷载是所有可接受 荷载中最大的。 证明： 由于极限荷载 是可破坏荷载，由基本定理 Pu F PuP FF 定理的应用（1）：确定极限荷载的上下限 PPuP FFF 定理的应用（2）：确定极限荷载的近似值 2 PP Pu FF F 极小定理和极大 定理的应用 定理的应用（3）：求极限荷载的精确值 列出所有可能的破坏机构，用平衡条件求出这些破坏机

9、 构对应的可破坏荷载，其中最小者既是极限荷载。 穷举法： 每次任选一种破坏机构，由平衡条件求出相应的可破坏 荷载，再检验是否满足内力局限性条件；若满足，该可 破坏荷载既为极限荷载；若不满足，另选一个破坏机构 继续运算。 试算法： 极小定理的应用 唯一性定理的应用 l FP 2Mu ll Mu A B CD 某些截面超过 了极限荷载 15 2 u Pu M F l FP 满足的三个条件， 是极限荷载 BC A D 3 2 A B CD 2 3 试算法任选破坏机构，由平衡条件或虚功原理求出相应荷载， 作出弯矩图，若满足内力局限条件，即为极限荷载 Mu 2Mu 2 3 P F l C Mu 2Mu

10、4Mu 1.单向机构条件； 2. 弯矩极限( 内力局限）条件；3.平衡条件。 FP A l/3l/3 BC FP l/3 D 例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。 解：1.用穷举法求解 共有三种可能的破坏机构： （1）A、B出现塑性铰 3 2 3/2l 3/l 2230 33 PPuu ll FFMM 5 Pu FM l （2）A、C出现塑性铰 230 33 PPuu ll FFMM 4 Pu FM l 3 2 3/2l 3/l 2 3/l （3）B、C出现塑性铰 20 3 Puu l FMM 9 Pu FM l 4 Puu FM l 例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu

11、。 FP A BC FP D 解： （1）选A、B出现塑性铰形成的破坏机构 3 2 3/2l 3/l 2.用试算法求解 3/4 u M （2）选A、C出现塑性铰形成的破坏机构 由作出的弯矩图可见， A、C出现塑性 时，满足内力局限性条件。 3 2 3/2l 3/l u M u M lMu/4 lMu/4 3/ u M 4 Puu FM l 2230 33 PPuu ll FFMM 5 Pu FM l 230 33 PPuu ll FFMM 4 Pu FM l C截面不满足内力局限性条件 lMu/5 u M u M lMu/5 A、B出现塑性铰时的 弯矩图 例:求图示等截面梁的极限荷载.已知梁的

12、极限弯矩为Mu。 A l B q 解: 虚功原理（均布荷载虚功为q面积） 0 dx dq A B u M C u M x q 0 2 1 CuAu MMlq A B C xxl AB ; ) 11 ( xxl BAC lx lx )22( )22( 2 1 2 min 66.11 l M qq u u 0) 11 ( 2 xxl M x M l q uu 几何关系 024 22 llxx l M xlx xl q u 2 )( 2 连续梁的破坏机构 一跨单独破坏 相邻跨联合破坏 不会出现 在各跨等截面、荷 载方向相同条件下， 破坏机构只能在各 跨内独立形成。 两个假定： 各跨均为等截面杆； 梁

13、所受的荷载方向相同 12.4.2 连续梁的极限荷载 荷载向下作用，其弯矩图只能是下凹的，如 弯矩为负值，其绝对值必然小于其左边或右 边截面弯矩的绝对值。 在各跨等截面、荷载方向相同条件下，破坏 机构只能在各跨内独立形成。 例：求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的,AB、BC跨的极限 弯矩为Mu ，CD跨的极限弯矩为3Mu 。 解：先分别求出各跨独自破坏时的 可破坏荷载. （1）AB跨破坏时 0.8FP A BC D FPFPq=FP/a EF aaaaa2a 0.8FP D FPFPq=FP/a 2 0.82 Puu FaMM 3.75/ Pu FMa （2）BC跨破坏时 1 22 2

14、P uuu F a aMMM a 4/ Pu FMa 0.8FP FPFP q=FP/a 2 （3）CD跨破坏时 有三种情况： 例：求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的,AB、BC跨的极限 弯矩为Mu ，CD跨的极限弯矩为3Mu 。 0.8FP A BC D FPFPq=FP/a EF aaaaa2a 0.8FP D FPFPq=FP/a 3 2 解：先分别求出各跨独自破坏时的 可破坏荷载. （1）AB跨破坏时 0.82 Puu FaMM 3.75/ Pu FMa （2）BC跨破坏时 1 22 2 P uuu F a aMMM a 4/ Pu FMa （3）CD跨破坏时 0.8FP FPFPq=FP/a 0.8FP FPFPq=FP/a 3.33/ Pu FMa 3.33/ Puu FMa 233 PPuu FaFaMM 弹塑性分析相对于弹性分析要复杂得多，其原因 一是由于非线性，而是由于塑性阶段后，应力应 变关系不再是单值对应，需研究“卸载历史”， 注意两个假定注意两个假定； 计算极限荷载只需要考虑结构最终的破坏状态或 极限状态，不必考查其过程，因此相对简化了； 超静定结构在形成破坏机构前总是先转化为静定 结构，因此虽然温度变化、支座位移只对弹塑性弹塑性 过程（塑性铰形成