一轮复习配套讲义：第8篇第2讲两条直线的位置关系

1、高考数学 第 2 讲 两条直线的位置关系最新考纲1能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知识梳理1两直线平行与垂直(1) 两条直线平行对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率分别为 k1，k2，则有 l1l2? k1k2.特别地， 当直线 l1，l2 的斜率都不存在时， l1与 l2的关系为平行(2) 两条直线垂直如果两条直线 l1，l2的斜率存在，设为 k1，k2，则 l1l2? k1k21，当一条直线 斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直2两直线的交点直线 l1

2、： A1x B1y C1 0 和 l2：A2x B2yC20 的公共点的坐标与方程组 A1xB1yC10，的解一一对应A2xB2yC20相交 ? 方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行 ? 方程组无解；重合 ? 方程组有无数个解3距离公式(1) 两点间的距离公式平面上任意两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为 |P1P2| x2x1 2 y2y1 2. 特别地，原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离 |OP| x2y2.(2) 点到直线的距离公式平面上任意一点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0(A，B 不同时为 0)的距离为 d |Ax0By0C|.

3、 A2 B2 .可以验证，当 A0 或 B0时，上式仍成立(3) 两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线 l1：AxByC10，l2：AxByC20(其中 A，B 不同 时为 0，且 C1 C2)间的距离 d 2B2.辨析感悟 1对两条直线平行与垂直的理解(1) 当直线 l1和 l2 的斜率都存在时，一定有 k1k2? l1l2. ()(2) 如果两条直线 l1 与 l2 垂直，则它们的斜率之积一定等于 1.()1(3) (2013 天津卷改编 )已知过点 P(2,2)斜率为 2的直线且与直线 axy10 垂 直，则 a 2. ( )2对距离公式的理解|kx0 b|()(4) 点P(x0

4、，y0)到直线 ykxb的距离为|kx10kb2|.(5) 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()(6) (教材习题改编 )两平行直线 2xy10,4x2y10 间的距离是 0.() 感悟提升三个防范 一是在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存 在两条直线都有斜率， 可根据判定定理判断， 若直线无斜率时， 要单独考虑如(2)中忽视了斜率不存在的情况； 二是求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式，如(4)；三是求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式，且x， y 的系数对应相 同，如 (6).考点一 两条直线平行与垂直【例 1】 已知直

5、线 l1：ax2y60 和直线 l2：x(a1)ya210.(1) 试判断 l1与 l2 是否平行；（2）l1l2时，求 a 的值解 （1）法一 当 a 1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1 不平行于 l2； 当 a0 时， l1：y 3， l2：xy10，l1 不平行于 l2； 当 a 1 且 a 0 时，两直线可化为a1l1：y 2x3，l2：y1ax（a1），a 1 ， l1l2?2 1a 3 a 1 ，解得 a 1，综上可知， a1 时，l1l2，否则 l1 与 l2 不平行法二 由 A1B2A2B10，得 a（a1）120，由 A1C2A2C1 0，得 a（a 1） 160，l

6、1l2?a a 1 120， a a21 160，a2 a 2 0，2a a2 1 6? a 1，故当 a 1时， l 1l 2，否则 l1与 l2不平行（2）法 立；当 a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1与 l 2不垂直，故 a1 不成当 a0 时， l 1： y 3，l 2：x y 1 0， l 1 不垂直于 l2；a1l 1：y 2x3，l2：y1ax（a1），当 a 1 且 a 0 时，由2 1a1?2.3.2法二 由A1A2B1B20得a2（a1）0? a3.规律方法 （1）当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情 况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还

7、要注意x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件（2）在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出 结论【训练 1】 （2014 长沙模拟 ）已知过点 A（2，m）和点 B（m,4）的直线为 l1，直线 2xy10为 l2，直线 xny10 为 l3.若 l1 l2，l2l3，则实数 m n 的值为(）A10B 2C0D 8解析l1l2，4m kABm22，解得 m8，又 l2 l3， 11n （2）1，解得 n2，mn 10.答案 A考点二 两条直线的交点问题【例 2】 求经过直线 l1：3x2y10 和 l2：5x2y10 的交点，且垂直于 直线 l3：3x5y60 的直

8、线 l 的方程3x2y10，解 法一 先解方程组5x2y10，得 l1，l2 的交点坐标为 （1,2），35再由 l3的斜率53求出 l 的斜率为 35， 于是由直线的点斜式方程求出 l：)x(5即 5x3y 10.法二 由于 ll3，故 l 是直线系 5x3yC0中的一条，而 l 过 l1，l2的交点（ 1,2），故 5（ 1）32C0，由此求出 C 1，故 l 的方程为 5x3y10.法三 由于 l 过 l1，l2的交点，故 l 是直线系 3x2y1（5x2y1）0 中的一 条， 将其整理，得 （35）x（22）y（1 ）0.其斜率 325235，解得 15，代入直线系方程即得 l 的方程

9、为 5x3y 1 0.规律方法 运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：（1）与直线 AxByC0 平行的直线系方程是Ax By m0（mC） ；（2）与直线 AxByC0 垂直的直线系方程是 BxAym0；（3）过直线 l1：A1x B1yC10 与 l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程为A1xB1y C1（A2xB2yC2）0（其中 R，此直线系不包括 l2）【训练 2】 直线 l 被两条直线 l1：4xy30 和 l2：3x5y50 截得的线段 的中点为 P（1,2），求直线 l 的方程解 法一 设直线 l 与 l 1的交点为 A（x0，y0），由已知条件，得直

10、线 l 与 l2 的交点为 B（2x0,4 y0），4x0 y0 3 0，3 2 x0 5 4 y0 50，4x0y0 3 0，3x05y0310，x0y02，5，因此直线 l 的方程为 y2x1 ，5 2 2 1即 3x y 1 0.法二 设直线 l 的方程为 y 2 k（x 1），即 kx y k 2 0.k5k4 .kxyk20，由4x y 3 0，kxyk20，3x 5y50，5k155k3k 5 5k 15则 k4 5k3 2，解得 k 3.因此直线 l 的方程为 y2 3（x1），即 3xy1 0.考点三 距离公式的应用【例 3】 已知三条直线： l1：2x ya0（a 0）；l2

11、：4x2y 10；l3：xy10，且 l1与 l2间的距离是 7105.(1)求 a 的值；(2)能否找到一点 P，使 P 同时满足下列三个条件： 点 P 在第一象限；1 点 P到 l1的距离是点 P到 l2的距离的2；1a2 点 P到 l1的距离与点 P到 l3的距离之比是 2 5.若能，求点 P的坐标；若不 能，说明理由12解 (1)直线 l2：2xy10，所以两条平行线 l1与 l2 间的距离为 d 2 22 1 7 5， 10 ，1所以，即 a ，又 a0，解得 a 3.a2 7 55 10(2)假设存在点 P，设点 P(x0，y0)，若P 点满足条件，则 P点在与 l1，l2平行的1

12、1c2直线 l：2xyc0 上，且 |c53|2 5，即 c123或161，13 11所以 2x0y0 2 0 或 2x0y0 6 0；若 P 点满足条件，由点到直线的距离公式， |2x0y03| 2|x0 y01|有 ， 即 |2x0 y0 3| |x0 y0 1|，所以 x0 2y0 4 0 或 3x020；由于 P 在第一象限， 所以 3x020 不可能13联立方程 2x0y0 2 0 和 x0 2y0 4 0，x0 3，解得y0 2； 舍去联立方程 2x0y0 6 0 和 x02y0 4 0，解得x09，37y03178.所以存在 P 19， 3178 同时满足三个条件规律方法 (1)

13、在应用两条平行直线间的距离公式时要注意两直线方程中x， y的系数必须对应相同(2)第(2)问是开放探索性问题，要注意解决此类问题的一般策略【训练 3】 (1)已知直线 l 过点 P(3,4)且与点 A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线 l 的方程为 () A2x3y180B2x y20C 3x2y180 或 x 2y20D2x3y180或 2xy20(2)已知两条平行直线， l1：mx8yn0与 l2：2xmy10 间的距离为 5， 则直线 l1的方程为 解析 (1)由题意可知所求直线斜率存在，故设所求直线方程为y 4k(x 3)，即 kxy4 3k0，2k2 或 3.所求直线 l 的方程

14、为 2xy20或 2x3y180.m 8 n(2)l1l2，m2m8n1，m4，n2m 4， n2.当 m4时，直线 l1的方程为 4x8yn0，把 l 2的方程写成 4x8y20， |1n626|4 5，解得 n 22或18.故所求直线的方程为 2x4y110 或 2x4y 90.当 m4 时，直线 l 1的方程为 4x8yn0，l2 的方程为 4x8y 2 0， |n2| 5，解得 n18 或 22.1664 故所求直线的方程为 2x4y90 或 2x4y110. 答案 (1)D (2)2x4y90 或 2x4y11 0两直线的位置关系要考虑平行、 垂直和重合 对于斜率都存在且不重合的两条

15、直线 l1，l2，l1l2? k1k2；l1l2? k1k2 1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意思想方法 10 对称变换思想的应用【典例】 已知直线 l：2x3y10，点 A( 1， 2)求：(1) 点 A关于直线 l 的对称点 A的坐标；(2) 直线 m：3x2y60关于直线 l 的对称直线 m的方程；(3) 直线 l 关于点 A(1， 2)对称的直线 l的方程y221，x13 ，解 (1)设 A(x， y)，再由已知x1y 22 2 3 2 1 0.x解得33，13，3313，y13.A(2)在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l

16、 的对称点必在 m上 设对称点为 M (a，b)，a22 3 b2010，2 2 解得 M6 ， 30 .13， 13 .设m与 l 的交点为 N，则由2x3y10，3x2y 6 0，又 m经过点 N(4,3)，由两点式得直线方程为 9x 46y 1020.(3) 设 P(x，y)为 l上任意一点，则 P(x，y)关于点 A(1， 2)的对称点为P(2x，4y)，P 在直线 l 上，2(2x)3(4y)10，即 2x3y 90.反思感悟 (1)解决点关于直线对称问题要把握两点：点 M与点 N关于直线 l对 称，则线段 MN 的中点在直线 l 上，直线 l 与直线 MN 垂直(2)如果是直线或点

17、关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题(3)若直线 l1，l2关于直线 l 对称，则有如下性质：若直线 l1 与 l2 相交，则交点 在直线 l上；若点 B在直线 l1上，则其关于直线 l的对称点 B在直线 l2上 【自主体验】(2013 湖南卷)在等腰直角三角形 ABC中，ABAC4，点 P是边 AB上异于 A， B 的一点光线从点 P 出发，经 BC，CA 反射后又回到点 P(如图 )若光线 QR 经过 ABC 的重心，则 AP等于()A 2B184C.3D.3解析 以 AB、AC 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0,0)， 44B(4,0)，C(0

18、,4)，得 ABC的重心 D 3，3 ，设 APx，从而 P(x,0)，x(0,4)，由光的几何性质可知点 P 关于直线 BC、AC 的对称点 P1(4,4x)，P2(x,0)与ABC答案 D44的重心 D线，所以 3 3 4x ，求得 x4.基础巩固题组（建议用时： 40 分钟）一、选择题1直线 l 过点（1,2）且与直线 2x3y40 垂直，则 l 的方程是 （）A 3x2y 1 0 B 3x2y 7 0C 2x3y 5 0 D 2x3y 8 033 解析 由题意知，直线 l 的斜率是 32，因此直线 l 的方程为 y2 23（x1）， 即 3x2y 10.答案 A2（2014 济南模拟

19、）已知两条直线 l1：（a1）x2y10，l2：xay30平行， 则 a （）A 1 B2C0或2 D1或 2解析 若 a0，两直线方程分别为 x2y10 和 x 3，此时两直线相交， a 1 2 1不平行，所以 a0；当 a0 时，两直线若平行，则有 a112a31，解得 a 1 或 2.答案 D3已知直线 l1 的方程为 3x4y70，直线 l2 的方程为 6x8y10，则直线 l1与 l2的距离为 （）83A. B.C 4D 852解析 直线 l1 的方程为 3x4y70，直线 l2的方程为 6x8y10，即 3x4y210，直线127l2 的距离为 2324232.答案 B14(201

20、4 金华调研 )当 0k2时，直线 l1：kxyk1 与直线 l2：kyx2k 的交 点在 ()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析解方程组kxyk1，kyx2k得两直线的交点坐标为k ， 2k 1 ， k1， k1 ，因为1 k2k 10k21，所以kk 10，故交点在第二象限答案 B5若直线 l1：yk(x4)与直线 l2关于点(2,1)对称，则直线 l2经过定点 ()A(0,4) B(0,2) C(2,4) D(4， 2)解析 直线 l1：yk(x4)经过定点(4,0)，其关于点 (2,1)对称的点为 (0,2)，又直线 l1：yk(x4)与直线 l2关于点(2,1)对称，故

21、直线 l2经过定点 (0,2)答案 B、填空题6若三条直线 y 2x，xy3，mx2y50 相交于同一点，则 m 的值为y 2x，x 1，解析 由 得 xy3y2.点 (1,2)满足方程 mx2y50，即 m12250， m 9.答案 97设 a、b、c分别是 ABC 中 A、 B、 C 所对边的边长，则直线 xsin Aayc0 与 bxysin Bsin C0 的位置关系是 ab解析 由sin Asin B，得 bsin Aasin B0.两直线垂直答案 垂直8若直线 m被两平行线 l1：xy10与 l2：xy30所截得的线段的长为2 2 ，则 m 的倾斜角可以是： 15； 30； 45；

22、 60； 75.其中正确答案的序号是 解析 很明显直线 l1l2，直线 l1，l2间的距离为 d|1 3| 2，设直线 m 与直2线 l1，l2分别相交于点 B， A，则|AB|2 2，过点 A 作直线 l 垂直于直线 l1，垂 足为 C，则|AC|d 2，则在 RtABC 中， sin ABC|AABC|2 2212，所以 ABC30，又直线 l1的倾斜角为 45，所以直线 m 的倾斜角为 453075 或 45 30 15.答案 三、解答题9已知直线 l1：xmy 6 0， l2： (m2)x3y2m0，求 m 的值，使得： (1)l1与 l2相交； (2)l1l2； (3)l1l2； (

23、4)l1，l2重合解 (1)由已知 1 3m(m2)，即 m22m30，解得 m1且 m3.故当 m1且 m3时，l1与 l2相交1(2)当 1(m2)m30，即 m2时， l1l2.（3）当 13m（m2）且 12m6（m2）或 m2m36，即 m1 时， l1 l2.(4) 当 13m(m2)且 12m6(m2)，即 m3 时，l1与 l2 重合 10求过直线 l1：x2y30 与直线 l2：2x3y80 的交点，且到点 P(0,4) 的距离为 2 的直线方程x 2y30，x1，解 由 解得2x3y8 0，y2，l1，l2的交点为 (1,2)， 设所求直线方程为 y2k(x1)，即 kxy2 k0，P(0,4)到直线的距离为 2，22 ，1k24解得 k0或3.直线方程为 y2或 4x3y20. 能力提升题组(建议用时： 25 分钟)、选择题1设两条直线的方程分别为 xya0 和 xyb0，已知 a，b 是关于 x 的 21方程 x2xc0 的两个实数根，且 0c 18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为 ()A.2，14 ， 2B. 2， 22 C. 2， 12D.解析d|a2b|，ab1，abc，又 |ab| 14c 22，1 ，从而 dmax2，2，dmin12.答案 D2(2014 武汉调研)已知 A，B 两点分别在两条互相垂