1.第1章有理数0001

1、第一章有理数 1.1正数和负数 1.2数轴 专题一探究数字的规律 1观察下面各数列，研究它们各自的变化规律，并接着填出后面的两个数 （1）1, （2）2 , （3）1, -1,1, -4, 6, 0,-1, -1, 1 , -1, 1 , -1, , , -8, 10, -12, 14, -16, , 0, 1, 0, -1 , 0 , 1, 0 , -1 , 0 , 1 , 0 , 2. 某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第 3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，按此规律，那么请你推测第 该有种子是粒. 3. 根据下表的规律，空格中应依次填写的数字

2、是 1组取 n组应 i = = 一 = 000 110 010 111 001 101 A. 100, 001B. 011 , 001C. 100, 011D. 011, 4我们知道：1+3=4 , 1+3+5=9 , 1+3+5+7=16，观察下面的一列数： -1, 2, -3, 6,将这些数排成如下形式，根据规律猜想：第20行第4个数是（） 100 4 , -5 , :3 6-7呂-9 10 -11 1： -15 14 -1? 16 A . -363B. -365 专题二与数轴有关的规律题 5电子跳蚤落在数轴上的某点K0,第一步从K0向左跳1个单位到K1,第二步由K1向右跳 2个单位到K2

3、，第三步由K2向左跳3个单位到K3,第四步由K3跳4个单位到K4,按以 上规律跳了 100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰是 30,则电子跳蚤的初 始位置K0点所表示的数为（） C. -367 D . -369 A. -26 6.如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为 周的三等分点处分别标上了数字 正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上 B. -20 D. 30 3个单位长，且在圆 0, 1 , 2） 上 .先让原点与圆周上 0所对应的点重合，再将 1, 2, 3, 4,所对应的点分别与圆周上1 , C. -30 2, 0, 1,所对应的点重合，这样，正半

4、轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关 系. (1) 圆周上数字a与数轴上的数5对应，则a=; (2) 数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈(n为正整数)后，并落在圆周上数字1所对 应的位置，这个整数是 (用含n的代数式表示). 【知识要点】 1具有相反意义的量 相反意义的量，它们不但意义相反，面且还表示一定的数量 +30, +28, +2.5, +8844.43 , +34200等这样的数，都是已学过的数 + ”得到的，这样的数叫做正数.像-3, -800, -50, -24 , -2, -155, 都是在已学过的数(0除外)的前面添上“-”得到的，这样的数 也不是负数 . 2. 正数和负

5、数 正数：像 +1.8, +1200, (0除外)的前面添上“ -27450等这样形式的数， 叫做负数.0既不是正数， 3有理数的分类 整数和分数统称为有理数 (1)按正数、负数与 0的关系分类： 负稱数 负有理数仁分数 (2)按整数、分数的关系分类 r r正整数 负整数 正分数 分数1 I 1负分数 4. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 【温馨提示】 1. 具有相反意义的量必须是成对出现的两个量. 2正数和负数，不能简单地理解为带“+ ”号的数是正数，带“-”号的数是负数. 3. 0虽然不是正数也不是负数，但它是整数. 4. 在对有理数进行分类时，分类标准不同，分类的形式也

6、不同，要弄清每一个括号所对应 的分类标准，做到不重、不漏、不混淆. 5. 数轴有三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可. 【方法技巧】 1生活中有许多相反意义的量，引入负数后可以用正、负数表示一对具有相反意义的量 2. 领会分类思想，有理数的分类有多种方式，无论采用哪种方式都要做到不重、不漏 3. 在学习数轴时，要充分注意数形结合思想，理解有理数可以直观地在数轴上表示出来 参考答案: 1. 2. 3. 4. (1) 1-1(2)18-20(3)-10 2n +1 D B 解：行1平数. 2行3个数, 3行5个数. 4行T个数 行应有2X1A1弟丫亍数J 到第19行共有, 1+3+5+7+

7、g+*-+37=19X19=361 . 第20行第4个数的绝对值361+4=365 又3阴是奇数， .第如行第4亍数是-365 故选B. 5. B 6. 2 3n+1 解析：（1）T数轴上1 , 2, 3, 4，所对应的点分别与圆周上1 , 2, 0, 1，所对应的点 重合， 圆周上数字a与数轴上的数5对应时a=2. （2）数轴上1, 2, 3, 4，所对应的点分别与圆周上 圆周上的数字 0, 1 , 2与正半轴上的整数每 3个一组 别对应， 数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数） 位置，这个整数是 3n+1 . 1 , 2, 0, 1，所对应的点重合， 0，1，2； 3，4，5；

8、6，7，8;分 后，并落在圆周上数字 1所对应的 1.3绝对值与相反数 c在数轴上对应的点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c -b|的结果是 专题一绝对值与数轴相结合的综合题 1. 有理数a, b, B . 2c-2bC. |b|=3, a, b在数轴上对应的点分别为 A. 2b-2c 2. 已知 |a-1|=3, 于. 专题二绝对值的非负性及意义的运用 2bD. -2c A, B,则A, B两点间距离的最大值等 3已知 |a-6 + b-5=O,试求 33(a-b) -30的值. 4. 一只可爱的小虫从点 0出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向 左爬行的路程记为负

9、数，小虫爬行的各段路程（单位：cm）依次记为：+5,-3, +10,-8, -6, +12 , -10,在爬行过程中，如果小虫每爬行1 cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得 到多少粒芝麻？ 【知识要点】 1绝对值的意义 在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫这个数的绝对值. 2. 相反数 只有符号不同，绝对值相等的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数 3. 去绝对值的法则 0的绝对值是0. 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数， 【温馨提示】 1. 在讨论数轴上的点与原点的距离时，只需要观察这个点与原点之间相隔多少个单位长度, 而与它位于原点的左侧还是是右侧无关. 2

10、. 0的相反数是0. 3. 定义中强调了“符号不同”和“绝对值相等”，二者缺一不可，不能理解为只要符号不 同的两个数就互为相反数. 4. 相反数是成对出现的，不能单独存在. 5. 任何一个有理数的绝对值是非负数 . 【方法技巧】 1根据a,b互为相反数有a+b=O这一重要性质，建立相等关系 ，求出未知数的值. 2. 求一个数的绝对值时，必须先弄清这个数是正数还是负数或0,根据绝对值的意义去掉 绝对值符号，得出结果，因此，求一个数的绝对值可概括为“一判二求”. 参考答案: 1. A 解析：由图可知： CVbV 0a, - bv a, a+b 0, a+c 0, c-b2=108 (粒). 1.4

11、有理数的大小 专题 利用比较大小的方法进行各种形式的有理数的比较 1. 比较下列各数的大小： (1) 4 与-；(2) - 5 与-. 78911 2.有一位同学在做作业，要比较两个数的大小，但不慎把右边的一个有理数小数点后面的 3 )”这个数字的取值范围，并 一位小数弄上了墨水：-2 ”“=”或 “V” 填空：|a| _a, |b| b. 【知识要点】 1利用数轴比较有理数的大小 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的的大 2. 正数、0、负数比较大小 正数大于0, 0大于负数，正数大于负数. 3. 两个负数比较大小 两个负数，绝对值大的反而小 . 【温馨提示】 1在数轴的负半轴，绝对值越

12、大的负数离原点越远，即越靠左，就越小；而在正半轴上， 绝对值越大的正数离原点越远，即越靠右，就越大. 2两个负数比较大小时，分三步来进行：一是先求两负数的绝对值；二是比较绝对值的大 小；三是根据“两个负数，绝对值大的反而小”来确定这两个负数的大小. 【方法技巧】 “绝对值大的反而小”是比较有理数 有理数大小的比较方法有多种，利用数轴和两个负数 大小的重要方法. 参考答案: 1.解：（1）因为4 7 _32 56 35 壬 32 =56，而 56 -5-55 999 11 54 K 55 =,而 11999999 54,所以- 911 2. 解：因为23大于2.5, 5 后面只有一位小数，所以括

13、号内的数是 3. 解：（1）在数轴上表示为： 小数点后面只有一位小数，所以-23小于-2.0大于-2.5.小数点 5 0到5之间的整数，可任选一个，如1，3等. (2) a-bv Ov b= 1.5有理数加法 1.6有理数的减法 1.7有理数的加减混合运算 专题一 1. 符号 (1) 有理数加减法的新定义型题 f f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下: (1) =0,f (2) =1,f ( 3) =2,f (4) =3 1 (丄)=2,f 2 利用以上规律计算: 111 (-)=3 , f ( 一)=4,f (一)=5 345 1 ()-f (2013) =. 2013 2. 定义运

14、算: =a b + C, X m =x-y+I 13 76 丄 - 25 3-5 的值. 专题二有理数加减法的创新题 3.根据如图所示的程序计算，若输入的值为 1，则输出的值为 4. 计算：2-1丄丄 111 248163264128256 【知识要点】 1有理数加法法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 异号两数相加，绝对值相等时和为0;绝对值不相等时，取绝对值较大加数的符号，并用较 大的绝对值减去较小的绝对值 . 一个数同0相加，仍得这个数. 2. 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数. 【温馨提示】 1. 对有理数的加法理解抓住三条：其一是同号两数相加；其二是异

15、号两数相加；其三是一 个数同0相加. 2在应用有理数加法计算时，切记先定和的符号，后算绝对值”，否则，很容易出错. 【方法技巧】 1用有理数加法法则进行计算时，首先根据两个加数的符号，确定用哪一条法则. 2.在用减法法则进行减法运算时，要同时注意两个“变”， 即运算符号“-”与减数的符号 都要改变. 参考答案: 1. 解：观察（1）中的各数，我们可以得出f （2013） =2012 , 1 观察（2）中的各数，我们可以得出 f （） =2013 , 2013 则 f () -f ( 2013) =2013-2012=1 . 2013 2.解:原式=卜|5）千1-4+卜朗-| 拎5 5 31 6

16、 3. -5 2）用图形来分析。把 4解析：（1）先把2后面的负数相加，然后再加上2即可得结果；（ 一个面积是1的正方形连续平均分 8次如图，这样不难看出 +丄 16 +丄 32 亠 64 击+6=1-丘=箸，再用2减去1可求解- I2S 255 解：原式=2- 256 1 =1 256 1.8有理数的乘法 1.9有理数的除法 专题一 有理数乘除法的新定义题 1. 观察下列等式：（式子中的“！”是一种数字运算符号） 1! =1 ,2 ! =2 X1 , 3! =3 X2 X1 ,4! =4 X3 X2 X1 ,- 计算：20 2012! ab1 2. 若定义一种新的运算为b=，计算：（3 2.

17、 1 - ab6 专题二有理数乘除法的找规律题 3.观察下列各式： 111 1 =1 -,= 1X222咒3 34 11 = 34 1 _1 n(n +1) n n +1 用上述方法计算 + 35 +丄 57 + 99X101 【知识要点】 1有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 任何数同0相乘，仍得0. 2. 乘法运算律 乘法交换律：ab=ba. 乘法结合律：(ab) c=a(bc). 乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac. 3. 多个有理数相乘符号的确定 几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个数时，积为负；当 负因数有偶数个时，积

18、为正. 几个数相乘，如果有一个因数为0,积就为0. 4. 有理数除法法则 法则1两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何不等于0的数都是0. 法则2：除以一个数(不等于0)等于乘这个数的倒数. 【温馨提示】 1有理数乘法法则中“同号得正，异号得负”是专对两数相乘而言. 2. 掌握乘法法则的关键是会确定积的符号：“同号得正，异号得负”，切记不要与有理数 加法法则相混淆. 3. 对于有理数的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用 法则2简便，在整除的情况下，用第一个法则较简便. 【方法技巧】 1有理数相乘时，先确定积的符号，然后再计算绝对值. 2. 善于观

19、察题目的特点，灵活运用乘法运算律进行计算时，形成解题规律，尤其是分配律 的逆运用应予关注. 3. 有理数除法时，恰当选择除法法则进行计算，有理数的除法转化为乘法后，可以用乘法 运算律简化计算. 参考答案: 2013!2013X2012Xx1 =2013. 2012X2011Xx1 1. 2012! 2.解：因为 ab b= 1 - ab ，所以（32 1=（一6） 1= 656 6 1 X 56 3.解: +丄+丄 1x33x55x7 + k 3丿135丿157丿 卜話2 50 101 99 咒 101 199丿厂 1.10有理数乘方 专题一有关乘方的规律探索型题 1. 下面是一个三角形数阵：

20、根据该数阵的规律，猜想第十行所有数的和是 2 3 6 4 8 12 4 9 16 63 12 8 4 2已知21 =2,22 =4,23 =8,24 =16, =32,观察上面规律，试猜22008的末尾数是 3 水葫芦是一种水生飘浮植物，有着惊人的繁殖能力.据报道，现已造成某些流域河道堵塞， 水质污染等严重后果、据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管 理和转化利用，若在适宜条件下，(不考虑植株死亡、被打捞等其它因素). (1 )假设江面上现有1株水葫芦，填写下表： 第几天 5 10 15 50 5n 总株数 2 4 10株水葫芦，请 33万株？此后就 (2)假定某流域内

21、水葫芦维持在约33万株以内对净化水质有益.若现有 你尝试利用计算器进行估算探究，照上述生长速度，多少天时水葫芦约有 必须开始定期打捞处理水葫芦.(要求写出必要的尝试、估算过程！) 【知识要点】 1乘方 求n个相同因数的积的运算叫做乘方 .乘方的结果an叫做幕.在an中,a叫底数，n叫做指数. 2. 乘方运算的符号法则 正数的任何次幕都是正数；负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数 【温馨提示】 1乘方具有双重意义，它表示一种运算的意义，还表示一种运算的结果. 2. 要注意指数的取值范围，指数是1时可省略不写，这部分的指数可取任意的正整数 3. 注意书写格式，要注意各种各样的底数，底数是负数、分

22、数或含运算关系时，应加括号 再写指数. 【方法技巧】 1有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幕的符号，然后再计算幕 的绝对值. 2.在确定幕的符号时，“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是 0时，结果是0;当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数, 结果为负. 参考答案: 333 1 .1000 解析：由题意可得 1=1,2+4+2=8= 2,3+6+9+6+3=27= 3, O 4+6+8+12+16+12+8+4=64=4 ，显然，第十行所有数的和为103 =1000 2. 6 S :叮以2为底的S的末位数字是2 I 4, 8.创

23、庚次彳盾环,且2000-5-4=502 . 血“：啲末位数是应是循环的虽后一个6 3. 解： S*如恚格 第几天 5 10 15 h 50 4 5n 总株数 2 4 3 1024 （门 当沪13时，10X2ei90 当*1 吨时 J 10X2=16384O 当*15时10X2社327閃0 当10X2*=655360 .当齐15时，lOXpm吨3f万） .Sn=7S . 箸:T5天时水葫芦约有33万株, 1.11有理数的混合运算 专题一 1计算: 2.计算: 1.12计算器的使用 利用运算律简化有理数的混合运算 18 9% (-38 ). 19 丄60启一60沢丄+60沢叽 15212 丿 I 777丿 利用计算器探索规律 专题二 3.用计算器计算下列各式，把结果写在横线