考研试题(线性代数部分)

1、-考研试题(线性代数)部分汇编 05年 一、选择题 (11)设，1, 2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别是1，2，则：1，AC: 2)线性无 关的充分必要条件是()。 (A) 1=0(B) 2=0(C) 0(D) 2=0 (12 )设 A为n (n _2)阶可逆矩阵，交换A的第一行与第二行得到矩阵B, A* ,B*分别是矩阵A, B的伴 随矩阵，则()。 (A)交换A的第一列与第二列得 B( B)交换A的第一行与第二行得 B (C)交换A*的第一列与第二列得B*( D)交换A*的第一行与第二行得B* 二、填空题 (5) 设：-1, ：2/3 是三维列向量，记矩阵 A 二(宀，2,

2、 - 3) , B 二(冷叱3, 1 21 2 4 3 1 3 2 - 9 3), 如果A =1，贝U B =。 三、解答题 (20 )已知二次型 f (x1,x2,x3(1 - a)x12 - (1 a)x22 2x32 - 2(1 a)x1x 2 的秩为 2. 求a的值；求正交变换 X =QY，把二次型f(Xi,X2,X3)化成标准形；求方程f (xX2 ,X3)=0的解. “2 3 (2 1)已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c) , a,b,c不全为零，矩阵B= 2 4 6 ( k为常数)，且AB=0, 3 6 k ; 求线性方程组 AX =0的通解. 06年 一、选择题 (11 )设

3、aa?,川,a,均为n维列向量, (A) 若agjlla,线性相关，则 (B) 若印疤，川，a,线性相关，则 (C) 若a1, a?, lll,a,线性无关，则 (D) 若a1, a?,川，a,线性无关，则 A是m n矩阵，下列选项正确的是 Ac, Aa2,l , Aa,线性相关. Aa1, Aa2, HI, Aa,线性无关. A, Aa2,l, Aa,线性相关. Aa, Aa2,H I, Aa,线性无关.【】 (12)设A为3阶矩阵，将 A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的一1倍加到第2列得C , 广110、 记 P = 010 ，贝y 2 0 1 (A)c =P AP(B)C = P

4、AP(C)C = PTAP( D)C = PAPT 【】 二、填空题 (4)点(2,1,0)到平面3x 4y 5 0的距离z=.(数一) (4) 已知 a1, a2为 2 维列向量，矩阵(2c1 a2,aa2), B = (a1, a2)。若行列式 | A |= 6 , 则| B|=.(数四) 2 (5) 设矩阵A=, E为2阶单位矩阵，矩阵 B满足BA = B + 2E，贝U B =. 1 2 丿 三、解答题 _|_x1 x 2 x3 x 4 - -1 20已知非齐次线性方程组4X! 3X2 5x3 -X4二-1有3个线性无关的解 ax1 x2 3 x3 - bx4 = 1 i证明方程组系数

5、矩阵 A的秩r A =2 n求a,b的值及方程组的通解.(数一) 20.设 4 维向量组 a(1 a,1,1,1)T ,(2, 2 a,2,2)T ,(3,3,3 a,3)T ,印=(4, 4,4,4 a)T , 问a为何值时a1, a2, a3, a4线性相关？当 a a2 a3 a4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余量 用该极大线性无关组线性表出。(数四) TT 21设3阶实对称矩阵 A的各行元素之和均为 3,向量：r二-1,2,-1 ，:J二0,-1,1是线性方程组 AX=O 的两个解,(i)求A的特征值与特征向量(n)求正交矩阵Q和对角矩阵人，使得 QTAQ =上. 07年

6、一、选择题 (7 )设向量组：-1-2-3线性无关，则下列向量组线性相关的是( (A) -： - - 2 , ；2 - -3 -3 -1 .( B) (C)a20(2 ,a2 - _2c(3,G3 -2。1 (D)1 广 2-1-1、 1 0 0 (8)设矩阵A = -12-1 ,B = 0 1 0 C1 -12 1 V2,2 二3,3 二1 . -22, -2 2 3，:3 2 1 . ). (C)不合同，但相似 (D)即不合同，也不相似 (15 )设矩阵 0 1 0 0 0 0 1 0丿 ，则A3的秩为 三、解答题 (21) (11分)设线性方程组 X1 X2 X3 = 0 x12x2ax

7、= 0与方程x12x2x= 1 x1 4x2 a x3 = 0 有公共解，求a的值及所有公共解. (2 2) (11分)设3阶对称矩阵 A的特征值 =12 =2,，3 =-2 ,=(1,-1,1)丁是A的属于特征值的一 个特征向量，记 B二A5 -4A3 - E，其中E为3阶单位矩阵. 验证：1是矩阵B的特征向量，并求 B的全部特征值和特征向量求矩阵B. 08年 -、选择题 (5)设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若 (A) E -A不可逆，E A不可逆.(B) (C)E -A 可逆，E A 可逆.(D) (6) 设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 A =0，则()。 E-A不可逆，E

8、 A可逆. E-A可逆，E A不可逆. x、 (x,y,z)A y =1在正交变换下的标准方程的图形如图, 则A的正特征值个数为( (A)0.(B)1 (数一) )(图形为单叶双曲面) (C) 2.(D) 3. (6)设 A 二 1 I2 1、 -2 2，则在实数域上与A合同的矩阵为（ （A）-2 1 二、填空题 （1 1）设 为 (B) A为2阶矩阵, （数一） 2 1、 I1 2丿 (D) 1-2 -2 1 （数四） ：12为线性无关的二维列向量, Ar =0, A 2，则A的非零特征值 （1 2）设3阶矩阵A的特征值互不相同，若行列式 （13 ）设3阶矩阵 A的特征值1, 2, 2，则4

9、A -T， 三、解答题（2 0）（11分） 证 r（A） 2; （21） （11分）设矩阵A = A - T 2 a 若壽， 1 2a 、 2a 2 a A =0，则 r（A）= -E =（数三） :是三维列向量，：T是:的转置，-T是的转置. （数四） 线性相关，则r（A）3满足A 3 = 2叫 09年 数学一 一、 选择题 （5）设 二，：/是三维向量空间 R3的一组基，则由基 1 a1 -a 1,2 2,丄3到基 3 : 2,2比3, 3匕1的过渡矩阵为（）。 (A) 广1 2 (B) 广1 0 (0 1 2 _丄 2 1 2 1 4 丄 4 1 1 4 1 6 1 6 (D) 1 2

10、1 4 -1 .6 (6 )设A, B均为2阶矩阵, iO A (B O A ,B*分别为A, B的伴随矩阵，若 A = 2, B 丄 2 1 4 1 6 =3, 丄 2 _1 4 1 6 则分块矩阵 (A) /咲、 O 3B O 2 B O3 A O2 A (B) (C) (D) 丘AO丿 3 AO 丿 2BO 丿 3BO 丿 的伴随矩阵为（ ) 二、填空题 （13）若3维向量，满足=2,其中一为的转置，贝V矩阵1丁的非零特征值为 三、解答题 I2 求满足A 2= 1, A2尸！的所有向量；,3 ； 对中的任意向量2, 3,证明l, 2, I线性无关。 (21)( 11 分)设二次型 f (

11、x1, x2, x3) = ax2 ax； (a -1)x： 2nx2 - 2x2x3 (I)求二次型f的矩阵的所有特征值；(U)若二次型f的规范形为y2 yf,求a的值. 数学二 一、选择题 (7) 设A, B均为2阶矩阵，A , B*分别为A, B的伴随矩阵，若 A = 2, B = 3,则分块矩阵 -1 -1、 1、 -1 1 1 5 1 k-2 2, (22)( 11 分)设 A = 证明1, 求满足A 2= 1 , A2 3= 1的所有向量2, 3 ； 对中的任意向量2, O A的伴随矩阵为() B。丿 Z咲、 O 3B Z火气 O 2B O 3A* Z伙、 O 2A (A) (B)

12、 (C) (D) 2AO 丿 3 O / e 0 2 1 0 2 二、填空题 (14)若3维向量，满足:=2,其中为:的转置，贝y矩阵1丁的非零特征值为 三、解答题 (23)( 11 分)设二次型 f (x1, x2, x3) =ax2 ax； (a -1)x： 2nx2 - 2x2x (I)求二次型f的矩阵的所有特征值；(U)若二次型f的规范形为y2 y|,求a的值. 数学三 、选择题 设A, B均为2阶矩阵，A ,B分别为A, B的伴随矩阵，若 A = 2, B = 3，则分块矩阵 0 A 的伴随矩阵为( ) Q =(：1 2, ：2,3),则 QTAQ 为() 右 P = (_：1,二2 ,二3 ), Q 1 0 110、 2 0 0、 (1 0 0、 (A) 1 1 0 (B) 1 2 0 (C) 0 1 0 (D) 0 2 0 .0 0 2 、J .0 0 2 7 .0 0 2 、J .0 0 2 7 、填空题 广300、 (13 )设 =(1,1,1仁 B =(1,0,k)T,若矩阵 aB T 相似于 00 0，则 k= 0 0 J -1 -