18考前倒数第3天

1、18 .考前倒数第3天 2011年6月4日(星期 83.经过多次的考试，你是否明白 成也审题，败也审题”的道理？在解答试题时, 何审题？ 应该如 (1) 审题的第一步就是弄清问题和熟悉问题. 主要是弄清已知条件和解题目标，这里面包括； 有几个已知条件，能否把各个已知条件分开； 解题的目标是什么？要求是什么？ 是否需要画一个图，如果能画图，最好画一个图，并在图中标出必要的条件和数据 的过程是一个熟悉问题的过程，是一个对已知条件和解题目标的再认识的过程. 4 3 【例1】(2oo4年，重庆卷，(文)14)已知曲线y X3 3 方程是 一般同学在解题时，注意了审题，观察到点P 2,4在曲线上 取了下

2、面的做法： 2 y X ,所以,在点P2,4处切线的斜率为4,由点斜式直线方程 得 y 44 X 2 ,即 y 4x 40. 这个解法有没有问题 ？再仔细审题，题目是说求过点 P 2,4的 切线方程，并没指出P是切点,我们用下面的解法再试一遍. 设切点为M Xo, yo ,则斜率为 13 y 3Xo 2,Xo 2 Xo X Xo ，把 P 2,4 2 yXo，切线方程为 的坐标 代入，解得 Xo 1,于是切线方程为y 4x 2 0. ，画图 则过点P(2,4)的切线 7 / U mu OP 【例2】(2oo6年辽宁卷) 设 O(o,o), A(1,o) , B(o,1)，点 P 是线段 uun

3、 uLuruLU AB PA PB ,则实数 1 (A)- 2 1 (C) 2 由题设条件， 的取值范围是 AB Lun 的一个动点，AP uur AB ,若 (B) 1晅 2 需要先求出向量 返 2 昱 uun2 (D) uuu uuu uu uu OP，AB,PA和 PB， uur Luu uuu uuu uur 由AP AB得 ,OP (1 )OA OB (1 uur uur uurr AB OB OA 1 ,1 , uu Luu uuu uuu PB AB AP (1 )AB (1,1 ), uuu AP uuu AB ( ,) uur PA uur AB, OP AB PA PB (

4、 1 ，)( 1,1) (, )(1,1 ) ), -6 - 解得，11 , 2 2 解到这里，可能有人根据上面的结果而选(D),但是，(D)是一个陷阱，因为,还有一个已知条 P是线段AB上的一个 1 和0 2 件被忽略了，这个条件是“点 P是线段AB上的一个动点，”正因为点 动点，所以0 1,满足条件的实数的取值范围应是1至 2 1，故选B. 交集，即 1至 2 在弄清条件时，对题目一 求什么”的时候就仓促下笔。 ，仔细地重复 可见，审题的第一步骤就是弄清问题的已知条件和未知条件， 定要字斟句酌，解错一道题的原因之一，就是因为在没有看清 所以，熟悉问题是审题的重要步骤，在熟悉的过程中，要弄清

5、已知条件和未知条件 这些条件，如果问题与图形有关，还应该画一张图，在图上标示已知条件和未知条件及符号。 (2)审题的第二步就是注意题目的隐含条件 有些题目中有些条件给出的并不明显 ，需要对这些条件进行再加工，也有些条件虽然题目 已经给出了，而解题者却没有把它作为条件来使用 ，从而使解题遇阻，需要对这些条件进行再 认识. 【例11(2005年辽宁卷)若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边 长的比值为m,则m的范围是(). (A) (1 , 2)( B) (2, + (C) 3 , +7( D) ( 3, + 由三角形三内角的度数成等差数列，可以立即得到B的度数， B 60。设三角

6、形 的三个内角为 A, B,C; A为钝角，且A B C ,因为钝角三角形三内角的度数成等差数列 ，则 A 90 , B 60 , C 30 . a 设角A,B,C的对边依次为a,b,c,则m - sin A ，但是下一步，如何判断m的范围, sin C 就不知如何做了 . 注意到，这里有一个隐含条件，即 a sin A sin A m c sin C sin 30 B 60 , 2sin A. A 90 ,则 C 30 .于是 m (2sin A)max2.故选 B. 若使m 2si nA对所有钝角A恒成立，只需 【例21函数fxx3 3ax2 b有极值，又在其曲线上极大和极小的点分别为A,

7、 B, 若线段AB (不含端点)与曲线交于点1,0，求 a,b的值. 首先弄清已知条件，已知一个含参数a,b的三次函数，函数有极值，有极大和极小 AB (不含端点)与曲线交于点1,0 .解题目标是求a,b的值. 3x2 6ax 0 得 x 0,x2a. A 0, b , B 点A，B，线段 由f x 2a，4a3 再由点M a 1,0在曲线上以及 A,B,M三点共线，解得 b 1, a 2.b 1 2, 1 2. 这个结果是否正确？还是要注意题目的条件，即条件中有一点容易被忽略 1 应在线段 AB的内部，因此应满足 0 12a, a-,于是第二组解应舍去 2 ，这就是点M .或者说，若 1 a

8、,则点B的坐标为1,0与M 1,0重合,这时候,M成为线段AB的端点 2 【例3】(1999年，全国卷)给出定点A(a,0)(a0)和直 ，与题意不符. 线l:x 1, B是直线I上的动点,BOA的角平分线交 AB于点C,求点C的轨迹方程,并 讨论方程表示的曲线类型与 a值的关系. 解本题时，首先设点C X, y ,再利用角平分线的性质，或者三角形内角平分线的性质等都 可以得到 2 2 by2 bx2 2xy, 但是根据题目的要求，求解的结果应是关于 a, x, y的方程,许多考生解到这里就解不下 去了，是什么原因呢？就是因为忽略了一个审题的细节：A,B,C三点共线 件,利用C在直线AB上,或

9、利用AC与AB的斜率相等，就可以得出 ，注意到这个隐含条 一1 y，将这个 x a 式子代入式就可以得到方程 y 1 a x2 2ax 1 a y20, 下面只剩下对方程的讨论了. 2 x 【例4】(1999年,上海卷)设椭圆C1的方程为二 a 0，椭圆C2的方程 1 为y -,且G与C2在第一象限内只有一个公共点. x (I)试用a表示点P的坐标； (n)设A, B是椭圆G的两个焦点，当a变化时,求 (川)略 ABP的面积S a的值域； 本题的第(I)问比较简单，可以求出:ab 2., P 阜， 7/ a 第(n)问也可得出 2 2魔 T J21 7， 再往下做下去，就要求函数的值域，这需要

10、定义域，如何求a的范围呢？许多考生不知所措, 找不到头绪，其实，是在审题时，对于一个重要的隐含条件熟视无睹了 ，这就是a b 0,再结 合(I )的结果ab 2就可以得到函数 S a的定义域 弓玄 迈,下面的解题过程就不困难 了. 审题应该贯穿于解题的全过程，有些隐含条件是在解题的过程中出现又不被注意的 3 - -，且 m n 1 , 4 【例5】向量m (1,1)，向量n与向量m的夹角为 (I )求向量n ； (n )若向量n与向量 q (1,0)的夹角为一，向量p 2 C (cosA,2cos2 )，其中 A, C 为 2 ABC的内角，且A、 B、C依次成等差数列，试求 P的取值范围。

11、第(I)问比较容易 ，可解得,n( 1,0)或n (0, 1) (n )由n与q(1,0)的夹角为 (0, 1) 由 2B A C及A B C (cos A,cos C) r ur2 C n p (cosA,2cos 1) 2 2 2 cos 2 cos C 1 2 1 -cos(2A 2 cos2A 1 cos2A 1 cos2C 2 4 cos(2 A) 3 i). 解到这里，可能就会得到下面的结论: 因为cos(2A -)的最大值是1,最小值是1,于是, 3 r ur 2 n P rur nP 这个结果正确吗？并不正确，这里也是忽略了一个隐含条件 ，即 B 3,因而,A的取值不 是在区间

12、0,而是在区间 0,23 接着作下去，得 Q0 2A cos 2A 3 1 5 2,4， ur P 1 -cos 2A 2 3 2，2 3.审题的第三步就是弄清已知条件之间的相互关系以及已知条件与所求目标之间的相 互联系，还要注意“形似质异”问题的思辨 当分清有几个已知条件之后，要分析这些已知条件之间有些什么联系，哪些条件的结合可 以得出新的结果； 根据已知条件和未知条件，要思考 可以推出哪些对解题目标有用的东西； 【例1】(2005年浙江卷，理) 已知向量a 你是否知道一个可能用得上的定理？”，由已知条件 t R恒有a tr a e，则( r (A) a 丄 (C) e 式a te r r

13、r (B) a 丄(a e) )r r T r (D) ( a + e)丄(a e) 解这个题目时，如果，不仔细研究已知条件之间的关系 r “ 十 亠 r e r r a e a e的计算入手，有 r 2 r r a 2te a r r r r 2e at 2e a t 即t2 因为该不等式对任意 r r e a .2 r2 t e 2 e R恒成立,则 a2 2e a e2, 0, 因而 8e a 4e2 0, ，很容易采用下面的解法，即从不等 0. rare re re ra 0 e o,e a e .故选(C). 这是一个非常好的解法，但是，运算量还是大了一些 a-e -8 - a-te

14、 E 果,认真思考已知条件，向量a e, 量本身的意义来思考. uuu r Luur r uur 如图,AB a, AC e,则 CB 仅当AC cuu时，才能实现，因此,e 且不等式a te r r、几r a e,设 DB a r r a e 对“形似质异”的问题要注意对照，类比, ，选(C). 辨析 【例2】(I)已知集合M (n)已知集合M (rn)已知集合M 【分析及解1(I) R,T x ,T x,y ,T ,T M ,T的元素是 是函数 1, ，则 (n ) M ,T的元素 1， ，T 4 (川)M ,T的元素是点x, y T 1.0 . 【例31 (I)若函数 (n)若函数y l

15、g 【分析及解1 设g x 1, ，则M ，则Ml I T是抛物线 a e对任意实数t都成立，可以从向 uuu uuu te ,由题设，DB恒不小于CB，显然, 1 x 丄丄，求Ml 1 x x,y x2 1, ，求M 的定义域，则 x的值域，则 x和双曲线y 1 x的交点, x y lg kx2 x kx2 (I )是指对所有x R ,g x 2 (n )是指 g x kx x kx2 x k的定义域是 R,求k的取值范围； 的值域是R，求 k的取值范围； k. 1 2 . k要取遍所有正数，即R g x ,也就是说 2 kx x k 0恒成立，即g x R，解得 2 1 x kx x k与

16、x轴至少有一个交点.解得0 k -. 2 【例41 (I)已知对所有x 0,1，使 x2 x m成立,求实数m的取值范围； (n)已知存在x 0,1 ,使x2 x 2 x x. m成立,求实数m的取值范围； 【分析及解1设g x (I ) 1 4 是不等式恒成立冋题 ,等价于函数 2 x x在x 0,1的最小值大于 m,解得 (n) 0. 是不等式能成立冋题 ,等价于函数 2 x x在x 0,1的最大值大于 m,解得 【例 51 (I)若函数y aM的值域为 x21 1,4，求a的值; -16 - (n)若函数y 營卫对定义域内的任意 x值，都有y 1,4，求a的取值范围； x2 1 【分析及

17、解1(I)是指y的最大值为 已知函数可化为yx2 ax y 2 2 a 4y y 30 4y 12y a 根,于是a4. (n)是指对定义域内的任意 【例6】(I) (n)若函数 【分析及解】 x 1恰为方程y (n)是指 即 y 3x2 a3x2 min 4，最小值为1时,求a的值. 30,该方程有实数解 2 0，即1和4是方程4y 12y ,贝y y 0或 2 a 0的两个 MJ_34恒成立，解得4 a 4. x2 1 3 x ax 6的一个单调增区间为1.，求a的值； x值，含a的不等式1 若函数y y x3 ax (I)是指1.恰为函数 3x2 1, 6在区间1. 为增函数，求 a的取

18、值范围. 3 y x a 3. a 0的一个根，解得 只要是增区间的一个子区间就可以 ax 6的一个单调增区间，因此, 0在1. 3x2 在 1. 上恒成立 【例71 ( 2000年日本宫城教育大学入学试题 已知两个函数 f(x) 8x2 16x k, g(x) (I )若对任意的x (n )若对任意的x1 x23,3，都有faj ) 2x 5x 3,3，都有f(x) g(x)成立，求 g(x2), 4x，其中k为实数. k的取值范围； 求k的取值范围. 【分析及解1(I )是一个函数的恒成立问题. 令 F(x) g(x) f(x) 2x3 3x212x k 问题转化为F(x) 0在x 为此只

19、需F(x)在3,3上的最小值 F(x) 由 f(x) F( 3) F(X)min (n )是两个函数的恒成立问题. 由题意可知当x3,3时，都有 由 f(x)16x 160 得 x / f( 3)24 k, f( 1)8 f(x)maxk 6x2 6x 126(x2 0,得x 2或 k 45, F(3) k k 45,由 k 3x2 3,3上恒成立, F(X)min x 2), 1. F( 1) k 0,解得 0即可 120 由 g(x) 6x2 - g( 3) 21, x 9, 45 f (x) max 1. k, 10 x 40得 x g(3)111 , g( 7, F(2) k 45.

20、g(x) min . f(3) 120 k, k 20, 1) 1, g( 2 2) 28 27 g(X)min 则 120 k 【例81 (I)在等比实数列 21. 21,解得 k 141. an 中,a4a6 36, as ag 54，求 ag 的值. (n)在等比实数列 an中，a4a636, a5 a954，求 a9 的值. 2 【分析及解】(I )由 a4a6 36 a5得a56,再由a5 as 54得 a848 或 as 60 . 2 (n )由 a4a6 36 a5 得 a56 ,再由 a5 a? 54 得 a? 48 或 a960,但a5与a?应同号,故a?60应舍掉. 【例9

21、】甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球， (I)从甲袋中有放回地摸球，求恰好第k次才摸到红球的概率. (n )从甲袋中不放回地摸球，求恰好第k次才摸到红球的概率. k次才摸到红球”为事件A,则 1 【分析及解】 记恰好第 k (I )P Ak P Ak 1上 25 “k 1 Ai8 7 25 弓P(k 19,k N ). k1 *., (k 19,k N ). A2525 k 1 10】甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球 )从甲袋中有放回地摸 5次球,求恰有3次摸到红球的概率. (n )从甲袋中有放回地摸 5次球，求第2,3,5次摸到红球的概率. (川)从甲袋中有放回地摸球，有3次摸到红

22、球即停止 3 )C53Z 25 工 18 18； 25 25 25； (川)前4次有2次摸到红球，第5次一定摸到红球，于是有 7 2 18 2 7 P (恰好摸5次停止)C： 一. 252525 【例 (I 【分析及解】(I ) P (恰有3次摸到红球 (n )P(第2,3,5次摸到红球) 77 25 25 ,求恰好摸5次停止的概率. 2 7 25 ，即这个题目 4 审题的第四步就是思考所求解的题目与以前曾经做过的哪个题目相类似 是否好像见过面？ 整体观察题目，想一想，是否有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。”，是 否做过具有相同的未知数或相似未知数的熟悉问题”，如何把生题转化为熟题。

23、” 当解题遇阻时，要进行再审题，思考你是否利用了所有已知数据？你是否利用了整个 条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要概念？” 【例1】(2004年湖南卷) 设f(x), g(x)分别 f(x)g(x)f(x)g(x) (3,0)(3, (,3) (3, (A) (C) 这是一个比较生疏的题目， 题？ ” 是定义 0,且 g( ) ) 在R上奇函数和偶函数，当x 0时， 3) 0,则不等式f(x)g(x) 0的解集是()： (B) ( 3,0)(0,3) (D) (, 3)(0,3) :平时是否作过类似的问 遇到比较生疏的题目就要思考 仔细审题，就会得到f(x), g(x) 为R上奇函数，一为R上偶函数，则 F(x) f(x)g(x)为奇函数， 而 f(x)g(x) f (x)g(x) (f (x)g(x) F(x)0,则 F(x)在 x 0 时为增函数， 经过这一分析，再想，是否见过类似的题目呢？ 回答 是，见过。这就是： 函数F(x)为奇函数，F( 3) 0 , 且x 0时，F(x)为增函数，求F(x) 0的解集”，