2021年高考卷-高考数学押题卷（一）理科

1、217届高考数学押题卷（一）理 本试题卷共6页，23题(含选考题)。全卷满分15分。考试用时12分钟。第卷 一、选择题本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知复数是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） a b c d 【答案】b 【解析】因为，所以，所以故选b 2已知集合，集合，集合，则集合（ ） a b c d 【答案】a 【解析】根据题意可得， ，则故选a 3已知等差数列，则的值为（ ） a b c d 【答案】d 【解析】因为，所以，因为，所以，所以公差，所以，所以故选d 4世界最大单口径射电望远镜fast于216年9月25日在贵州省黔南州落

2、成启用，它被誉为“中国天眼”，从选址到启用历经22年，fast选址从开始一万多个地方逐一审查为了加快选址工作进度，将初选地方分配给工作人员若分配给某个研究员8个地方，其中有三个地方是贵州省的，问某月该研究员从这8个地方中任选2个地方进行实地研究，则这个月他能到贵州省的概率为（ ） a b c d 【答案】d 【解析】故选d 5某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（ ） a b c d 【答案】b 【解析】此三视图的几何体如图， ， ，故选b 6如图，在三棱锥中，面，则（ ） a b c d 【答案】d 【解析】根据题意可得，设，则，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍），所以故选d

3、7已知函数，满足和是偶函数，且，设，则（ ） a b c d 【答案】b 【解析】因为为偶函数，所以，所以，所以为偶函数，又是偶函数，所以，当时，故选b 8已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，、为切点，若直线经过抛物线的焦点，的面积为，则以直线为准线的抛物线标准方程是（ ） a b c d 【答案】d 【解析】由抛物线的对称性知，轴，且是焦点弦，故，所以，解得（舍去）或，所以焦点坐标为，直线的方程为，所以以直线为准线的抛物线标准方程是故选d 9根据下列流程图输出的值是（ ） a11 b31 c51 d79 【答案】d 【解析】当时， 当时， 当时， 当时， 输出故选d 1在长方体中，点在线段上

4、运动，当异面直线与所成的角最大时，则三棱锥的体积为（ ） a b c d 【答案】b 【解析】 因为a1bd1c，所以cp与a1b成角可化为cp与d1c成角，显然当p与a重合时，异面直线cp与ba1所成的角最大，所以故选b 11已知函数的周期为，将函数的图像沿着y轴向上平移一个单位得到函数图像设，对任意的恒成立，当取得最小值时，的值是（ ） a b c d 【答案】c 【解析】因为，则，所以，所以，所以函数，所以，所以，；又，所以，所以，所以，又，所以，所以取得最小值时，所以的值是故选c 12已知函数，有下列四个命题；函数是奇函数；函数在是单调函数；当时，函数恒成立；当时，函数有一个零点， 其

5、中正确的个数是（ ） a1 b2 c3 d4 【答案】b 【解析】函数的定义域是，不满足函数奇偶性定义，所以函数非奇非偶函数，所以错误；取， ，所以函数在不是单调函数，所以错误；当时，要使，即，即，令，得，所以在上递减，在上递增，所以，所以正确；当时，函数的零点即为的解，也就是，等价于函数与函数图像有交点，在同一坐标系画出这两个函数图像，可知他们只有一个交点，所以是正确的故选b 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答。第2223题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题本大题共4小题，每小题5分。13共享单车是指企业与政府合作，在公共服务区等地方提供自行

6、车单车共享服务现从6辆黄色共享单车和4辆蓝色共享单车中任取4辆进行检查，则至少有两个蓝色共享单车的取法种数是_ 【答案】115 【解析】分三类，两辆蓝色共享单车，有种，三辆蓝色共享单车，有种，四辆蓝色共享单车，有种，根据分类计数原理可得，至少有两辆蓝色共享单车的取法种数是9+24+1115 14如图所示，在南海上有两座灯塔，这两座灯塔之间的距离为6千米，有个货船从岛p处出发前往距离12千米岛q处，行驶致一半路程时刚好到达m处，恰巧m处在灯塔a的正南方，也正好在灯塔b的正西方，向量，则_ 【答案】36 【解析】由题意可知， 所以 15若，满足约束条件，设的最大值点为，则经过点和的直线方程为_ 【

7、答案】 【解析】在直角坐标系中，满足不等式组可行域为表示点到可行域的点的距离的平方减4如图所示，点到点的距离最大，即，则经过，两点直线方程为 16已知数列满足（，且为常数），若为等比数列，且首项为，则的通项公式为_ 【答案】或 【解析】若，则， 由，得，由，得， 联立两式，得或，则或，经检验均合题意 若，则，由，得，得，则，经检验适合题意 综上，满足条件的的通项公式为或 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）在中，设向量， （1）求的值；（2）求的取值范围 【答案】（1），（2） 【解析】（1）由， ，1分 由正弦定理，等式可为， ，3分 由余弦定理可得，

8、6分 （2）由（1）可知，所以，7分 ，1分 ， 的取值范围为12分 18（本小题满分12分）某研究所设计了一款智能机器人，为了检验设计方案中机器人动作完成情况现委托某工厂生产5个机器人模型，并对生产的机器人进行编号1，2，5，采用系统抽样的方法抽取一给容量为5个机器人样本试验小组对5个机器人样本的动作个数进行分组，频率分布直方图及频率分布表中的部分数组如图所示，请据此回答如下问题分组 机器人数 频率 5，6) .8 6，7) 1 7，8) 1 8，9) 9，1 6 （1）补全频率分布表，画出频率分布直方图；（2）若随机抽的号码为3，这5个机器人分别放在a，b，c三个房间，从1到2在a房间，从

9、21到355在b房间，从356到5在c房间，求b房间被抽中的人数是多少？ （3）从动作个数不低于8的机器人中随机选取2个机器人，该2个机器人中动作个数不低于9的机器人数记为，求的分布列与数学期望 【答案】（1）见解析，（2）16，（3） 【解析】（1）频率分布直方图及频率分布表中的部分数组如图所示，请据此回答如下问题分组 机器人数 频率 5，6) 4 .8 6，7) 1 .2 7，8) 1 .2 8，9) 2 .4 9，1 6 .12 4分 （2）系统抽样的分段间隔为1，在随机抽样中，首次抽到3号，以后每隔1个抽到一个，则被抽中的机器人数构成以3为首项，1为公差的等差数列，故可分别求出在1到2

10、中有2个，在21至355号中共有16个6分 （3）该2个机器人中动作个数不低于9的机器人数记为，的取值为，1，2，7分 所以， 所以的分布列 1 2 p 11分 数学期望12分 19（本小题满分12分）已知正方体的棱长为1，s是的中点，m是sd上的点，且sdmc （1）求证sd面mac （2）求平面sab与平面scd夹角的余弦值 【答案】（1）见解析，（2） 【解析】（1）证明由题意可知，sasbscsd，连bd，设ac交于bd于o，由题意知so平面abcd以o为坐标原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立坐标系o-xyz如图， 则高so1，于是s(，1)，d(，)，a（，），c（，），所

11、以，所以，即acsd，又因为sdmc，所以sd面mac5分 （2）根据题意可知， ，则， 设平面sab的法向量为， 则，所以，所以解得， 令，解得， 所以法向量，7分 设平面scd的法向量为， 则，所以，所以解得， 令，解得， 所以法向量，9分 所以，所以两个法向量的夹角余弦值为 11分 所以平面sab与平面scd夹角的余弦值为12分 2（本小题满分12分）已知椭圆c（ab）的离心率为，其中一个顶点是双曲线的焦点， （1）求椭圆c的标准方程；（2）过点的直线与椭圆c相交于不同的两点a，b，过点a，b分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程 【答案】（1），（2） 【解析】（1）由题意可知双曲线

12、的焦点， 所以椭圆的c中a5，1分 根据，解得c，所以，3分 所以椭圆的标准方程为4分 （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，另设， 设在处切线的方程为，与椭圆c联立， 消去可得， 由，得， 化简可得由，可得， 所以上式可化为， ， 所以椭圆在点a处的切线方程为，7分 同理可得椭圆在点b的切线方程为，8分 联立方程，消去x得，解得，9分 而a，b都在直线上，所以有，所以， 所以，即此时的交点的轨迹方程为；11分 当直线的斜率不存在时，直线的方程为x，则，则椭圆在点a处的切线方程为，椭圆在点b的切线方程为，此时无交点 综上所述，交点的轨迹方程为12分 21（本小题满分12分）已知函数（a是常

13、数）， （1）求函数的单调区间；（2）当时，函数有零点，求a的取值范围 【答案】（1）见解析；（2）或 【解析】（1）根据题意可得，当a时，函数在上是单调递增的，在上是单调递减的1分 当a时，因为， 令，解得x或3分 当a时，函数在，上有，即，函数单调递减；函数在上有，即，函数单调递增；4分 当a时，函数在，上有，即，函数单调递增；函数在上有，即，函数单调递减；5分 综上所述，当a时，函数的单调递增区间，递减区间为；当a时，函数的单调递减区间为，递增区间为；当a时，函数的单调递增区间为，递减区间为；6分 （2）当a时，可得，故a可以；7分 当a时，函数的单调递减区间为，递增区间为， （i）若，解得；可知时，是增函数，时，是减函数， 由，在上；解得，所以；1分 （ii）若，解得；函数在上递增， 由，则，解得 由，即此时无解，所以；11分 当a时，函数在上递增，类似上面时，此时无解 综上所述，12分 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22（本小题满分1分）已知在直角坐标系中，以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c1的参数方程为，曲线c2的极坐标方程， （1）写出c1和c2的普通方程；（2）若c1与c2交于两点a，b，求的值 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）将