八级数学下册 第1章 直角三角形本章总结提升课件 （新版）湘教版

1、第1章直角 三角形 本章总结提升 第1章直角三角形 本章总结提升 直直 角角 三三 角角 形形 角的性角的性 质质 边的边的 性质性质 边边 角角 性质性质 直角三角形的两个锐直角三角形的两个锐 角互余角互余 直角三角形斜边上的中线直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半等于斜边的一半 直角三角形两直角直角三角形两直角 边的平方和等于斜边的平方和等于斜 边的平方边的平方 在直角三角形中，如果一个锐在直角三角形中，如果一个锐 角等于角等于30，那么它所对的直，那么它所对的直 角边等于斜边的一半角边等于斜边的一半 在直角三角形中，如果一条直角在直角三角形中，如果一条直角 边等于斜边的一半，那么这条直

2、边等于斜边的一半，那么这条直 角边所对的角等于角边所对的角等于30 性性 质质 直直 角角 三三 角角 形形 角平分角平分 线线 判判 定定 性质定理：角的平分线上的点到角的两性质定理：角的平分线上的点到角的两 边的距离相等边的距离相等 逆定理：角的内部到角的两边距离相等逆定理：角的内部到角的两边距离相等 的点在角的平分线上的点在角的平分线上 直角直角 三角三角 形的形的 判定判定 直角三直角三 角形全角形全 等的判等的判 定定 有两个角互余的三角形是直角三有两个角互余的三角形是直角三 角形角形 一个三角形一边的中线等于这边的一个三角形一边的中线等于这边的 一半，那么这个三角形是直角三角一半，

3、那么这个三角形是直角三角 形形 如果一个三角形两条较短边的平如果一个三角形两条较短边的平 方和等于最长边的平方，那么这方和等于最长边的平方，那么这 个三角形是直角三角形个三角形是直角三角形 一般的一般的 判定方判定方 法法 特殊的特殊的 方法方法 SAS,ASA,AAS, SSS 斜边和一条直角边对斜边和一条直角边对 应相等的两个直角三应相等的两个直角三 角形全等，简称角形全等，简称“HLHL” 或或“斜边。直角边斜边。直角边” 本章总结提升 问题问题1 1直角三角形的性质直角三角形的性质 本章总结提升 直角三角形是特殊的三角形，它的特殊性体现直角三角形是特殊的三角形，它的特殊性体现 在哪里？

4、其中揭示线段倍分关系的是哪个性质？在哪里？其中揭示线段倍分关系的是哪个性质？ 本章总结提升 例例1 1 如图如图1 1T T1 1所示，四边形所示，四边形ABCDABCD是由是由 RtRtABCABC与等腰直角三角形与等腰直角三角形ACDACD拼成的，其中拼成的，其中 ACBACB3030，ABCABC9090，ADCADC9090，E E 为斜边为斜边ACAC的中点，求的中点，求BDEBDE的度数的度数 图图1 1T T 1 1 本章总结提升 本章总结提升 本章总结提升 【归纳总结】【归纳总结】 直角三角形是特殊的三角形，直角三角形是特殊的三角形， 它的特殊性体现在角上：两锐角互余；体现在它

5、的特殊性体现在角上：两锐角互余；体现在 线段上：一是斜边上的中线等于斜边的一半，线段上：一是斜边上的中线等于斜边的一半， 二是二是3030角所对的直角边等于斜边的一半这角所对的直角边等于斜边的一半这 三个定理是解决有关直角三角形的边、角计算，三个定理是解决有关直角三角形的边、角计算， 特别是边的倍分关系问题中常用的依据特别是边的倍分关系问题中常用的依据 问题问题2 2直角三角形的判定直角三角形的判定 本章总结提升 直角三角形有很多性质，那么如何证明三角形直角三角形有很多性质，那么如何证明三角形 是直角三角形？有哪些方法？是直角三角形？有哪些方法？ 例例2 2 如图如图1 1T T2 2，在，在

6、ABCABC中，中，BACBAC 2 2B B，ABAB2 2ACAC. .求证：求证：ABCABC是直角三角是直角三角 形形 图图1 1T T2 2 本章总结提升 本章总结提升 【归纳总结】【归纳总结】 从角的角度，证明三角形是直角从角的角度，证明三角形是直角 三角形的方法是：证明一个角是直角或是两个三角形的方法是：证明一个角是直角或是两个 角的和等于角的和等于9090. . 问题问题3 3勾股定理及逆定理的应用勾股定理及逆定理的应用 本章总结提升 勾三、股四、弦五是什么意思？如何用面积法勾三、股四、弦五是什么意思？如何用面积法 证明勾股定理？勾股定理的逆定理是什么？它证明勾股定理？勾股定理

7、的逆定理是什么？它 的主要作用是什么？的主要作用是什么？ 本章总结提升 例例3 3 如图如图1 1T T3 3，在等腰直角三角形，在等腰直角三角形ABCABC中，中， ABCABC9090，D D为为ACAC边上的中点，过点边上的中点，过点D D作作 DEDEDFDF，交，交ABAB于点于点E E，交，交BCBC于点于点F F. .若若AEAE4 4，CFCF 3 3，求，求EFEF的长的长 图图1 1T T 3 3 本章总结提升 解析解析 首先连接首先连接BDBD，由，由ABCABC是等腰直角三角形，可是等腰直角三角形，可 推出推出BDACBDAC且且BDBDCDCDADAD，ABDABD4

8、545. .再由再由DEDFDEDF， 可推出可推出FDCFDCEDB.EDB.由等腰直角三角形由等腰直角三角形ABCABC可得可得CC 4545，所以，所以FDCFDCEDBEDB，从而得出，从而得出BEBECFCF3 3， 所以所以ABAB7 7，则，则BCBC7 7，所以，所以BFBF4 4，再根据勾股定理，再根据勾股定理 求出求出EFEF的长的长 本章总结提升 本章总结提升 【归纳总结】【归纳总结】 勾股定理是以勾股定理是以“一个三角形是直一个三角形是直 角三角形角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形为条件，进而得到这个直角三角形 三边的数量关系，即三边的数量关系，即“a a2 2b

9、 b2 2c c2 2”；勾股定理；勾股定理 的逆定理则是以的逆定理则是以“一个三角形的三边满足一个三角形的三边满足a a2 2 b b2 2c c2 2”为条件，进而得到这个三角形是直角为条件，进而得到这个三角形是直角 三角形，是判定一个三角形是直角三角形的一三角形，是判定一个三角形是直角三角形的一 种方法种方法 本章总结提升 例例4 4 如图如图1 1T T4 4，在正方形，在正方形ABCDABCD中，中，E E是是BCBC上上 一点，且一点，且BCBCECEC4141，F F是是CDCD边的中点边的中点 (1)(1)判断判断AEFAEF的形状，并说明理由；的形状，并说明理由； (2)(2

10、)若正方形的边长为若正方形的边长为4 4，求，求AEFAEF的面积的面积 图图1 1T T 4 4 本章总结提升 解析解析 (1)(1)设正方形的边长为设正方形的边长为4a4a，即可表示出，即可表示出DFDF，CFCF 以及以及ECEC，BEBE的长，然后根据勾股定理表示出的长，然后根据勾股定理表示出AFAF2 2，EFEF2 2， AEAE2 2，再根据勾股定理的逆定理判定，再根据勾股定理的逆定理判定AEFAEF是直角三角形；是直角三角形； (2)(2)把把(1)(1)中的中的4a4a换成换成4 4，然后求出，然后求出AFAF，EFEF的长，再根据的长，再根据 三角形的面积公式计算即可得解三

11、角形的面积公式计算即可得解 本章总结提升 解：解：(1)(1)AEFAEF是直角三角形是直角三角形 理由：设正方形理由：设正方形ABCDABCD的边长为的边长为4a.4a. F F是是CDCD边的中点，边的中点，DFDFCFCF2a.2a. BCBCECEC4141，ECECa a，BEBE4a4aa a3a.3a. 在在RtRtADFADF中，中，AFAF2 2(4a)(4a)2 2(2a)(2a)2 220a20a2 2， 在在RtRtECFECF中，中，EFEF2 2(2a)(2a)2 2a a2 25a5a2 2， 在在RtRtABEABE中，中，AEAE2 2(4a)(4a)2 2(

12、3a)(3a)2 225a25a2 2， AFAF2 2EFEF2 2AEAE2 2，AEFAEF是直角三角形是直角三角形 本章总结提升 问题问题4 4直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定 本章总结提升 一般三角形全等的判定方法有几种？对于直角一般三角形全等的判定方法有几种？对于直角 三角形适用吗？除这些方法外，直角三角形还三角形适用吗？除这些方法外，直角三角形还 有更简单的判定方法吗？你能说明这个方法的有更简单的判定方法吗？你能说明这个方法的 合理性吗？合理性吗？ 本章总结提升 例例5 5 如图如图1 1T T5 5，线段，线段ACAC，BDBD相交于点相交于点O O， AOBAOB为钝

13、角，为钝角，ABABCDCD，BFBFACAC于点于点F F，DEDEACAC 于点于点E E，AEAECFCF. . (1)(1)求证：求证：BOBODODO. . (2)(2)若若AOBAOB为锐角，其他条件不变，为锐角，其他条件不变， 请画出图形并判断请画出图形并判断 (1) (1)中的结论是中的结论是 否仍然成立若成立，请加以证明；否仍然成立若成立，请加以证明； 若不成立，请说明理由若不成立，请说明理由 图图1 1T T 5 5 本章总结提升 解：解：(1)(1)证明：证明：AEAECFCF， AEAEEFEFCFCFEFEF，即，即AFAFCE.CE. BFBFACAC于点于点F F

14、，DEDEACAC于点于点E E，AFBAFBCEDCED9090. . 在在RtRtABFABF和和RtRtCDECDE中，中， ABABCDCD，AFAFCECE，RtRtABFABFRtRtCDECDE， A ACC，ABABCDCD，ABDABDCDB.CDB. 在在ABOABO和和CDOCDO中，中， A ACC，ABABCDCD，ABOABOCDOCDO，ABOABOCDOCDO， BOBODO.DO. (2)(2)画图略结论仍然成立，证明方法同画图略结论仍然成立，证明方法同(1)(1)，略，略 【归纳总结】【归纳总结】 直角三角形全等的判定，除前面直角三角形全等的判定，除前面 所

15、学的一般三角形全等的四个判定方法外，还所学的一般三角形全等的四个判定方法外，还 有有HLHL，即斜边和一条直角边对应相等的两个直，即斜边和一条直角边对应相等的两个直 角三角形全等角三角形全等 本章总结提升 问题问题5 5角平分线性质定理及逆定理的应用角平分线性质定理及逆定理的应用 本章总结提升 什么是角平分线？除了平分已知角外，它还有什么是角平分线？除了平分已知角外，它还有 什么特殊性质？这个性质你能证明吗？这个性什么特殊性质？这个性质你能证明吗？这个性 质有逆定理吗？你认为理解和应用这个性质定质有逆定理吗？你认为理解和应用这个性质定 理或其逆定理的关键是什么？理或其逆定理的关键是什么？ 本章

16、总结提升 例例6 6 如图如图1 1T T6 6，E E是是AOBAOB的平分线上一点，的平分线上一点， ECECOAOA，EDEDOBOB，垂足分别是，垂足分别是C C，D D. . (1)(1)EDCEDC和和ECDECD相等吗？请说明理由；相等吗？请说明理由； (2)(2)OCOC和和ODOD相等吗？请说明理由；相等吗？请说明理由； (3)(3)直线直线OEOE是线段是线段CDCD的垂直平分线吗？的垂直平分线吗？ 请说明理由请说明理由 图图1 1T T 6 6 本章总结提升 解析解析 根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质， 并结合直角三角形全等的判定解答并结合直角三角形全等的判定解答 解：解：(1)EDC(1)EDC与与ECDECD相等相等 理由：理由：OEOE是是AOBAOB的平分线，的平分线，ECECOAOA，EDEDOBOB，ECECEDED， EDCEDCECD.ECD. (2)OC(2)OC与与ODOD相等相等 理由：理由：ECOAECOA，EDEDOBOB，OCEOCEODEODE9090. . 在在RtRtOCEOCE和和RtRtODEODE中，中， OEOEOEOE，ECECEDED，RtRtOCEOCERtRtODE(HL)ODE(HL)，OCOC