电磁场与电磁波_第四版_第一章__ppt矢量分析[高等教学]

1、第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波1 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 本章内容本章内容 1.1 矢量代数矢量代数 1.2 常用正交曲线坐标系常用正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度 1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 2 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1. 1. 标量和矢量标量和矢量 矢量的大小或模矢量的大小或模：A

2、A 矢量的单位矢量矢量的单位矢量： 标量标量：一个只用大小描述的物理量。一个只用大小描述的物理量。 A A eA 矢量的代数表示矢量的代数表示：AeAeA AA 1.1 矢量代数矢量代数 矢量矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意注意：单位矢量不一定是常矢量。单位矢量不一定是常矢量。 A 矢量的几何表示矢量的几何表示 常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。 3 第1

3、章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 zzyyxx eAeAeAA AA AA AA x y z cos cos cos )coscoscos( zyx eeeAA coscoscos zyxA eeee 矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示 z Ax A Ay Az x y 4 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 （1）矢量的加减法）矢量的加减法 )()()( zzzyyyxxx BAeBAeBAeBA 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为两矢量的加减在几何上是以这两矢量为 邻边的平行四边形的对角线邻边的平行四边形的对角线, ,如图所示。如图所示。

4、 矢量的加减符合交换律和结合律矢量的加减符合交换律和结合律 2. 矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量的加法矢量的加法 BA A B 矢量的减法矢量的减法 BA A B B 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：在直角坐标系中两矢量的加法和减法： 结合律结合律()()ABCABC ABBA 交换律交换律 5 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 （2 2）标量乘矢量）标量乘矢量 （3）矢量的标积（点积）矢量的标积（点积） zzyyxx kAekAekAeAk zzyyxx BABABAABBAcos A BB A矢量的标积符合交换律矢量的标积符合交换律 1 zzyyxx ee

5、eeee 0 xzzyyx eeeeee A B 矢量矢量 与与 的夹角的夹角 A B A B A B 0BA / A BAB 6 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 （4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积） sinABeBA n )()()( xyyxzzxxzyyzzyx BABAeBABAeBABAeBA zyx zyx zyx BBB AAA eee BA ABBA sinAB BA B A 矢量矢量 与与 的叉积的叉积A B 用坐标分量表示为用坐标分量表示为 写成行列式形式为写成行列式形式为 BA ABBA 若若 ，则，则 BA /0BA 若若 ，则，则

6、7 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 （5 5）矢量的混合运算）矢量的混合运算 CBCACBA )( CBCACBA )( )()()(BACACBCBA CBABCACBA )()()( 分配律分配律 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积 8 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。确定。 1 1.2.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系 在电磁场与波理论中，在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线

7、坐标系为：三种常用的正交曲线坐标系为：直角直角坐坐 标系、圆柱坐标系和球面坐标系标系、圆柱坐标系和球面坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为 正交曲线坐标系正交曲线坐标系；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称；描述坐标轴的量称 为为坐标变量坐标变量。 9 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1、直角坐标系、直角坐标系 zeyexer zyx 位置矢量位置矢量 面元矢量面元矢量 线元矢量线元矢量 zeyexel zyx dddd zyelleS xzyxx ddddd

8、 yxelleS zyxzz ddddd 体积元体积元zyxVdddd zxelleS yzxyy ddddd 坐标变量坐标变量 zyx, 坐标单位矢量坐标单位矢量 zyx eee , 点点P(x0,y0,z0) 0 yy（平面）（平面） o x y z 0 xx（平面）（平面） 0 zz（平面（平面） P 直角坐标系直角坐标系 x e z e y e x y z 直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 o dz d y dx zyeS xx ddd yxeS zz ddd zxeS yy ddd 10 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波

9、 2、圆柱面坐标系、圆柱面坐标系 ddddd ddddd ddddd zzz z z elleS zelleS zelleS z,坐标变量坐标变量 z eee , 坐标单位矢量坐标单位矢量 zeer z 位置矢量位置矢量 zeeel zd ddd 线元矢量线元矢量 zVdddd 体积元体积元 面元矢量面元矢量 11 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 ddsinddd 2 relleS rrr ddsindddrrelleS zr dddddrrelleS r 3、球面坐标系、球面坐标系 球面坐标系球面坐标系 球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积

10、元 , r 坐标变量坐标变量 eeer ,坐标单位矢量坐标单位矢量 rer r 位置矢量位置矢量 dsindddrererel r 线元矢量线元矢量 dddsind 2 rrV 体积元体积元 面元矢量面元矢量 12 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 4、坐标单位矢量之间的关系、坐标单位矢量之间的关系 x e y e z e e e z e cossin 0 cossin0 00 1 直角坐标直角坐标与与 圆柱坐标系圆柱坐标系 e e z e r e e e sin0cos sin cos0 001 圆柱坐标圆柱坐标与与 球坐标系球坐标系 z e r e e e co

11、ssin cos sinsincos 0 直角坐标直角坐标与与 球坐标系球坐标系 x e y e sinsin sincos cossin o z 单位圆单位圆 柱坐标系与求坐标系之间柱坐标系与求坐标系之间 坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 o x y 单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 x e y e e e z e e r e e 13 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1.3 标量场的梯度标量场的梯度 q 如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。 例如例如：温度场、

12、电位场、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。 q 如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场矢量场。 例如例如：流速场、重力场、电场、磁场等。：流速场、重力场、电场、磁场等。 q 如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。 时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为： 、),(tzyxu),(tzyxF 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在 该区域上定义了一个该区域上定义了一个场场。 从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间

13、区域上的函数： 标量场和矢量场标量场和矢量场 、),(zyxu),(zyxF 静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为： 14 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1.1. 标量场的等值面标量场的等值面 标量场的等值线标量场的等值线( (面面) ) 等值面等值面: : 标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。 Czyxu),(等值面方程等值面方程： 常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列 不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族； 标量场的等值面充满场所在的

14、整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间； 标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。 等值面的特点等值面的特点： 意义意义: : 形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。 15 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 2. 方向导数方向导数 意义意义：方向性导数表示场沿某方向的空间变化率：方向性导数表示场沿某方向的空间变化率。 coscoscos lim | 0 0 z u y u x u l u l u l M 概念概念： l 0 u l u(M)沿沿 方向增加；方向增加； l 0 u l u(M)沿沿 方向减小；方

15、向减小； l 0 u l u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。 M0 l M l 方向导数的概念方向导数的概念 l 特点特点：方向性导数既与点：方向性导数既与点M0有关，也与有关，也与 方向有关方向有关。 问题问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？ 的方向余弦。的方向余弦。 l 式中式中： coscoscos、 16 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 梯度的表达式梯度的表达式： z u e u e u eu z 1 圆柱面坐标系圆柱面坐标系 u r e u r e r u eu r sin 11 球面坐

16、标系球面坐标系 z u e y u e x u eu zyx 直角面坐标系直角面坐标系 3、标量场的梯度、标量场的梯度（ 或或 ）gradu u 意义意义：描述标量描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向场在某点的最大变化率及其变化最大的方向 概念概念： ，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向| max l u eu n n u e l 17 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 标量场的梯度是矢量场，它在空间某标量场的梯度是矢量场，它在空间某 点的方向表示该点场变化最大（增大）点的方向表示该点场变化最大（增大） 的方向，其数值表示变化最大方向上的方向，其数

17、值表示变化最大方向上 场的空间变化率。场的空间变化率。 标量场在某个方向上的方向导数，是标量场在某个方向上的方向导数，是 梯度在该方向上的投影。梯度在该方向上的投影。 梯度的性质梯度的性质： 梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式： uufuf uvvuuv vuvu uCCu C )()( )( )( )( 0 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面） 18 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例1.2.1 设一标量函数设一标量函数 (x,y,z) = x2y2z 描述了空间标量场。描述了空间标量场。 试求：试求：

18、 (1) 该函数该函数 在点在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的处的梯度，以及表示该梯度方向的 单位矢量；单位矢量； (2) 求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量 el= ex cos60 ey cos45 ez cos60 方向的方向导数，并以点方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值处的方向导数值与该点的梯度值 作以比较，得出相应结论。作以比较，得出相应结论。 解解 (1)由梯度计算公式，可求得由梯度计算公式，可求得P点的梯度为点的梯度为 (1,1,1) (22)22 xyzxyz xyeeeeee 22 ()() xyz P P xyz yxz

19、e+e+e 19 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 表征其方向的单位矢量表征其方向的单位矢量 222 (1,1,1) 22 221 333 (2 )(2 )( 1) xyz lxyz P P exeye eeee xy (2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向方向的方向 导数为导数为 211 (22) () 222 1 2 2 lxyzxyz eexeyeeee l xy 对于给定的对于给定的P P点，上述方向导数在该点取值为点，上述方向导数在该点取值为 (1,1,1) 12 21 2 22 P xy l 20

20、第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 而该点的梯度值为而该点的梯度值为 222 (1,1,1) (2 )(2 )( 1)3 P xy 显然，梯度显然，梯度 描述了描述了P P点处标量函数点处标量函数 的最大变化率，的最大变化率， 即最大的方向导数，故即最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。 P P P l 21 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 1、矢量线、矢量线 意义意义：形象直观地描述了矢量场的空间分形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。布状态。 ),( d ),( d ),( d zyxF

21、z zyxF y zyxF x zyx 矢量线方程矢量线方程： 概念概念：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。 矢量线矢量线 o M F drr r dr 22 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 2、矢量场的通量、矢量场的通量 问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。引入通量的概念。 ddd n SS FSF eS 通量的概念通量的概念： dd n Se S 其中：其中：面积元矢量；面积元矢量； n e 面积元的法向单位矢量；面积元

22、的法向单位矢量； dS dd n F e S 穿过面积元穿过面积元 的通量；的通量； 如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向 外，矢量场对闭合曲面的通量是：外，矢量场对闭合曲面的通量是： dd n SS FSF eS ),(zyxF S d n e 面积元矢量面积元矢量 23 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 0 通过闭合曲面有通过闭合曲面有 净的矢量线穿出净的矢量线穿出 0 有净的矢有净的矢 量线进入量线进入 0 进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲 面的矢量线相等面的矢量线相等 矢量场通过闭合曲面通量的

23、三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通建立了矢量场通过闭合曲面的通 量与曲面内产生矢量场的源的关系。量与曲面内产生矢量场的源的关系。 通量的物理意义通量的物理意义 24 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 3、矢量场的散度、矢量场的散度 0 ( , , ) d ( , , )lim S V F x y zS F x y z V 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小 体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。

24、利体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利 用极限方法得到这一关系：用极限方法得到这一关系： 称为矢量场的称为矢量场的散度散度。 散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元 体积之比的极限。体积之比的极限。 F 25 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 柱面坐标系柱面坐标系 )( sin 1 )(sin sin 1 )( 1 2 2 F r F r Fr rr F r z F FF F z )( 球面坐标系球面坐标系 z F y F x F F z y x 直角坐标系直角坐标系 散度的表达式

25、散度的表达式： 散度的有关公式散度的有关公式： GFGF fFFfFf kFkFk fCfC CCC )( )( 为常量)()( )( )为常矢量(0 26 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 4、散度定理、散度定理 VS VFSFdd 体积的剖分体积的剖分 V S1 S2 en2en1 S 从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的 通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即 散度定理是闭合曲面积散度定理是闭合曲面积 分与体积分之间的一个变

26、换分与体积分之间的一个变换 关系，在电磁理论中有着广关系，在电磁理论中有着广 泛的应用。泛的应用。 27 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度 1. 矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量 源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭 合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为 零。

27、零。 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电 流成正比，即：流成正比，即： SC SzyxJIlzyxB d),(d),( 00 上式建立了磁场的环流与电流的关系。上式建立了磁场的环流与电流的关系。 28 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 q 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无无 旋场旋场，又称为，又称为保守场保守场。 q 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为 有旋矢

28、量场有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源旋涡源。电流是。电流是 磁场的旋涡源。磁场的旋涡源。 C lzyxF d),( 环流的概念环流的概念 矢量场对于闭合曲线矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线积分，即的线积分，即 29 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 zyx zyx x y z zx y y z x FFF zyx eee y F x F e x F z F e z F y F eF 旋度的计算公式旋度的计算公式: : z z FFF z eee F 1 FrrFF r er

29、ere r F r r sin sin sin 1 2 直角坐标系直角坐标系 圆柱面坐标系圆柱面坐标系球面坐标系球面坐标系 2、矢量场的旋度、矢量场的旋度（ ） F 30 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 旋度的有关公式旋度的有关公式： 0 () () () () ()0 ()0 C CffC fFfFfF FGFG FGGFFG F u 矢量场的旋度矢量场的旋度 的散度恒为零的散度恒为零 标量场的梯度标量场的梯度 的旋度恒为零的旋度恒为零 31 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 SC SFlF dd 3、Stokes定理定理 Stoke

30、s定理是闭合曲线积定理是闭合曲线积 分与曲面积分之间的一个变换分与曲面积分之间的一个变换 关系式，也在电磁理论中有广关系式，也在电磁理论中有广 泛的应用。泛的应用。 曲面的曲面的剖分剖分 方向相反大小方向相反大小 相等结果抵消相等结果抵消 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环 流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即 32 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1、矢量场的源、矢量场的源 散度源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量是

31、标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度；场在该点的散度； 旋度源旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。（或正比于）矢量场在该点的

32、旋度。 1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场 33 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 2、矢量场按源的分类、矢量场按源的分类 （1）无旋场）无旋场 0d C lF 性质性质：，线积分与路径无关，是保守场。线积分与路径无关，是保守场。 仅有散度源而无旋度源的矢量场，仅有散度源而无旋度源的矢量场， 0F 无旋场无旋场可以用标量场的梯度表示为可以用标量场的梯度表示为 例如：静电场例如：静电场 0E E uF ()0Fu 34 第1章 矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 （2）无散场）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即，即 性质性质： 0d S SF 0 F 无