2机械控制工程基础第二章答案

1、2.1什么是线性系统？其最重要的特性是什么？下列用微分方程表示的 系统中，X。表示系统输出，x表示系统输入，哪些是线性系统？（1）Xo2XoXo2 x2Xi Xo2Xo 2 tx2 Xi（3）Xo2Xo 2x2 Xi Xo2XoXo 2tX2 Xi解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。该题中（2）和（3）是线性系 统。2.2图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。求出它们各自的 微分方程，图中x表示输入位移，X。表示输出位移，假设输出端无 负载效应。乞刀7777/77777(a)(b)(c)图（题2.2）解：（1）对图（a）所示系统，由

2、牛顿定律有(2)对图(b)所示系统，弓1入一中间变量x,并由牛顿定律有(Xj-x)ki=c(x-x。)c(xx)=k2x。(1)(2)即ci( x x。) C2X。二 mx。mx。 ( ci C2)x。二 ciXi消除中间变量有c ( ki 一 k2)x。- kikzx。二 ckix(3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有c ( x - x。)ki( x - x。) = k2x。1c x+ ( ki+ k2)x= cx+ kix2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。RiRi Ci(a)(b)图(题2.3)解:(1)对图(a)所示系统，设j1为流过R1的电流“为总电流贝S有1 u厂 R?i

3、idtC2Ui 一 u。二 Riji1（i ijdt C1消除中间变量，并化简有C1R2U。（1 R C）Uo- R2 C2=c，R2Ui+ （t+C：） 对图（b）所示系统，设i为电流，则有Ui1CR2U。1UiC2R1Ri gidt1W idt R2i C2消除中间变量，并化简有)u。二 R2U 亠 j21 1（R1+R2）e（Tc2 c2.4求图他2.4）所示机械系统的微分方程。图中M为输入转矩,Cm为 圆周阻尼，J为转动惯量。/解：设系统输入为M （即）输出日（即），分别对圆盘和质块进行动 力学分析，列写动力学方程如下：M = J C Rk(R - x)k(R - x)= mx ex消

4、除中间变量x，即可得到系统动力学方程mJ (m6 cJ )( Rkm 6c - KJ )， k ( e R 6)=mM cM KM2.5 输出 y(t)与输入 x(t)的关系为 y(t)二 2x(t)+0.5 x(t)。(1) 求当工作点为 为=，冷=1，冷=2时相应的稳态时输出值；(2) 在这些工作点处作小偏差线性化模型，并以对工作的偏差来定义x和y,写出新的线性化模型。解：(1)将 Xo=，W=1，Xo=2 分别代入 y(t)= 2x(t)+0.5 x3(t)中，即当工作 点为X。=0, x=1,X。=2时相应的稳态输出值分别为y= 0，y= 2.5 ,y 8。(2)根据非线性系统线性化的

5、方法有，在工作点(冶，几)附近，将非线性函数展开成泰勒级数，并略去高阶项得3 #2- _y+ 可 y= 2xo+ 0.5 Xo+ ( 2 + 1.5 x )lx=x。 X2v y = (21 .5 x )lx = xo 八 X若令 xx，yy 有 y = ( 21.5x0) x当工作点为冷二0时，y = ( 21.5x0) x = 2x当工作点为 x= 1 时,y = ( 2 1.5x0) x = 3.5x当工作点为 x 2 时，y = ( 2 1.5x0) x 二 8x2.6已知滑阀节流口流量方程式为 Q = CWXv二 ，式中.Q为通过节流阀流口的流量；P为节流阀流口的前后油压差；v为节流

6、阀的位Xv移量；c为疏量系数；w为节流口面积梯度；T为油密度。试以Q与P为变量（即将Q作为P的函数）将节流阀流量方程线性化。解：利用小偏差线性化的概念，将函数 Q=F（Xv，p）在预定工作点F（Xo, Po）处按泰勒级数展开为Q = F(Xvo, Po)+()(Xvo, Po)*N Xv (_P)(Xvo, Po)N P*Xv消除高阶项，有云 F |cFQ -F(Xvo, Po) ()|(Xvo，Po)N Xv* (_P)(Xvo, Po) PXvP Q 汗(Xv，P) F(Xv,P。)dFl即“二 F(Xvo,Po)+()(Xvo,Po)N Xv+(即)(Xvo,Po)N p F(Xvo,P

7、)fXv:F=(;:)(Xvo,P)N X,(即)(Xvo,Po)“ P召F吓若令心()l(Xvo,P。)，()l(Xvo,P。)，XvPQ 二 Ki 八 Xv K2八 p将上式改写为增量方程的形式Q 二 Ki 叹 KP2.7已知系统的动力学方程如下，试写出它们的传递函数Y (s)/R(s)。(。y(t) 15y(t)50y(t)500y(t)二 r(t) 2r(t)(2) 5y(t)25y(t)二 0.5 r(t)(3) y(t) 25y(t)二 0.5 r(t)(4) y(t) 3y(t)6y(t)4 y(t)dt二 4 r(t)解：根据传递函数的定义，求系统的传递函数，只需将其动力学方程

8、两边分别在零初始条件下进行拉式变换，然后求Y(s)/R(s)。s3Y(s)(1)2 215sY(s)50sY(s)500丫(s)二 s R(s) 2sR(s),2sY(s)/ R(s厂s + 15s2+50s +50025sY(s) 25sY(s)=0.5sR(s)0.5sY(s)/R(s)=k2sY(S) 25SY(s) = 0.5R(s)Y(S)/R(s2 1 sY(s) 3sY(S) 6丫(s) 4 Y(s)=4Y(s) sY (s)/R(s)二4ss3 3s2 6s 42.8如图(题2.8)为汽车或摩托车悬浮系统简化的物理模型，试以位移x为输入量，位移y为输出量，求系统的传递函数Y(s

9、)/X(s)c皿】x A图(题2.8)2.9试分析当反馈环节 H(s)=1,前向通道传递函数 G(s )分别为惯 性环节、微分环节、积分环节时，输入、输出的闭环传递函数。解：由于惯性环节、微分环节、积分环节的传递函数分别为Ts 1Gb(s)二G(s)，则G(s)=，G(s)订s，G(s)=K，而闭环传递函数为 十s(1) 当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为惯性环节时,G(s)Ts 1Gb(s)-1-G(s)H(s)影 KTs 1(2)当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为微分环节时，G(s)TsGb(s)1-G(s)H(s) 1 Ts(3)当反馈环节H(s)=1,前

10、向通道传递函数G(s)为积分环节时,G(s)Gb1 G(s)H (s)影怪 s-K2.10证明图(题2.10)与图(题2.3(a)所示系统是相似系统(即证明两系统的传递函数具有相同形式)。图(题2. 10)解：对题2.4(a)系统，可列出相应的方程。1 .Uo=R2idtC2uu。二 Riii(2)1uu。J (rii)dt C i对以上三式分别作Lapice别换，并注意到初始条件为零，即1(0)“ (0) = 0|1(0)2(0尸01C2s)I贝y0(s)=R2I (s) +=(R2 +C2SG4(s) G1(S)Gjts)图(2. 17)Gb(s)二C(s)R(s)(GG4)G21 GiG

11、2(1 G3)Xo(s)Gb(s)=G1G2G 3G4Xi(S)1 _ G1G2G3G4H 3 G1G2G3H 2一 G2G3H 1 G3G4H4方法二：利用方框图简化规则，有图（题 2.18.b）7：育;L. GGG图（题 2.18.b）Gb(s)二Xo(s)Xi(s)G1G2G 3G41 - G1G2G3G4H 3 G1G2G3H 2 G2G3H 1 G3G4H 42.19求出图（题2.19）所示系统的传递函数 Xo（s）/Xi（s）。图（题2.19）G；G- 解：根据方框图简化规则，有图（题 2.19.b）UihG网】ggg刊览C fifii图(题 2.19.b)Gb(s)二Xo(s)X

12、i(s)G1G2G3+ G41 (GG2G3 G4) H 3- G1G2G3H1 H 22.20求出图（题2.20）所示系统的传递函数 Xo（s） /Xi（s）图（题2.20）解：根据方框图简化规则，有图（题2.20.b）Xo(s)Gb(s)=G1G2G5 G1G2G3G4G5图(题 2.20.b)X i (s)1 G1G2H1G3 (1 G3G4)GlG2G5_ G2G3H 22.21设描述系统的微分方程为（1） y 2y y = 0 y 2y y= A试导出系统的状态方程。2.22 RLC电网络如图（题2.22）所示，u（t）为输入，流过电阻r2的 电流i2为输出，试列写该网络的状态方程及输出方程。R】 LlLi图（題Z 22）2.23系统传函数方框图为图（题 2.23），试列写该系统的状态方程 及输出方程。J(s)十X*Eu(s) 3Y切A1I f vjyfi(s+2)图(题2. 23)2.24图(题2.24)为某一级倒立摆系统示意图。滑台通过丝杠传动， 可沿一直线的有界导轨沿水平方