10 第十章经济增长理论 课件

1、复旦大学经济学院 1 第 十 章 经济增长理论 复旦大学经济学院 2 一、新古典增长理论（简介） ?新古典增长（资本劳动替代性），假定 储蓄率给定。 ?拉姆齐卡斯库普曼斯增长模型，家 庭最优化行为、内生储蓄。 复旦大学经济学院 3 1生产函数生产函数 ( , )YF K L? .1 -1 满足： 1. 边际收益递减 2. 一次齐次 (, )(/ ,1)( )YF K LLF K LLf k? 1 -2 /( )y Y Lf k? .1-3 /( )YKf k? , /( )( )YLf kkf k? ? 3. Inada条件 (0, )( ,0)KLFLF K? ? ， ( , )( , )

2、0KLFLF K? ? (0)f? ? ， ( )0f ? ? 1 -4 复旦大学经济学院 4 2资本积累条件资本积累条件 . (, )KIKsF K LK? .1-5 或者写为人均的形式 . /( )K Lsf kk? .1 -6 我们有： . (/)/( )()kd K LK L nksf kn k? .1-7 复旦大学经济学院 5 ()n k? ? ( )f k ( )sf k * k c Gross Investm ent 图 11 Solow -Sw an 模型 复旦大学经济学院 6 3稳态稳态 在稳态中， . 0 k ? 这是由于在稳态中有 . /( )()k ksf kkn?常数

3、 ，因此有 . () /0( )( ) /( /)0df kkdtf kkfkkk k? 必然有 . 0 k ? ，因此 . * 0()()ksf kn k? 1 -8 复旦大学经济学院 7 4资本积累的黄金律与动态无效资本积累的黄金律与动态无效 从 ( )()sf kn k? ，可以将消费 C 写为 * ( ) ( )()( )c sf ksnks? ， 使消费最大化的储蓄率为黄金律，因此 * ()()go ldfksn? 图 1.2 资本积累的黄金律 s s goldc * c 复旦大学经济学院 8 图13表示了当储蓄率（ 2s ）大于和小于（ 1s ）黄金率（ golds ） 的情况，以

4、及大于黄金 率的储蓄率下降后，增加均衡时的消费，以及过度路径上的消费，资本逐渐减少。 当 goldss? ，称经济动态无效（Dynamic Efficien cy，DE） ，因为人均消费一直低于可以 达到的路径。 goldc 2k k goldk 1k c * 2c ()n k? ( ) goldsf k 2( )s f k 1( )s f k 储蓄率下降， 消费的增加 图13 黄金率与动态无效 斜 率 为 n? ? DI ( )f k 复旦大学经济学院 9 5过渡动态过渡动态 资本增长率为： ( ) /()ksf kkn? 1-9 0 lim( ) / k sf kk ? ? ? ， lim

5、( ) /0 k sf kk ? ? ，且 () /sfkk 单调，因此与 n? 曲线有唯一的交 点。 图 14 反映了资本增长速度与稳态点的距离成正比。 一个较大的储蓄带来更多 的资本积累。 或者由 . ( )()()/( )()ksf kn kd kdksfkn? 来进行判别（袁志刚和宋铮，2001） 复旦大学经济学院 10 6相对收敛、绝对收敛相对收敛、绝对收敛 定义，对稳态的依赖（不同的储蓄率） 。由 18 得 * ()/()snkf k? .1-10 将 110 代入到 19 得： * ( ) / ()1 () / k f kk n f kk ? 1-11 因此依赖于目前的资本平均产

6、品与稳态中的情况，当 * kk? ， 0k? 图 14， 条件收敛（不同的稳态，来自于不同的储蓄率） 复旦大学经济学院 11 二、拉姆齐模型与最优经济增长 新古典经济增长模型的一个缺点就是储蓄是外 生的。在这一部分我们考虑消费和储蓄是由家 庭最优化行为决定的。我们考虑一个无限期的 家庭，在跨期预算约束下，选择消费和储蓄以 最大化他以及后代的效用函数。这归功于 Ramsey (1928) ， Cass （ 1965 ） 和 Koopmas （1965）。拉姆齐模型的最优条件消除了索罗 斯旺模型中的无效的过度储蓄问题。 注：本讲义参考了Blanchard和Fischer（1989），Barro和S

7、ala-I-Martin （2019），Zilibotti的讲义 复旦大学经济学院 12 1效用函数效用函数 拉姆齐问题解决的是一个国家应该储蓄多少，即资源的跨期最佳分配。 1. 假定劳动力 tL 增长率为 n ，初始数正规化为 1，因而有： n Le? .2-1 2. 假定 tC 是t期的总消费，因此人均消费为c(t)C(t)/L(t)?。 家庭效用函数为： (n)t 0t 0 Uu(c )edt ? ? ? ? ? .2-2 (其中? 为主观贴现率， u (0) ? ? ， u()0? 。并根据横截条件假定 n? ? ，以保证当 c 为 常数时， 0U 是有界的。因此每一代的权重决定于人口

8、数和贴现率。) 3. 假定存在两种资产，资本和债权，在没有风险、资本市场完全竞争情况下收益率都为tr。 同时存在竞争的劳动力市场， 工资为tw。 假定总资产为 tA ， 平均净资产为 aA / L? ， 资产收益为ttra。因此家庭的预算约束为：tttttawracna? .2-3 复旦大学经济学院 13 2非蓬齐对策条件（意义）非蓬齐对策条件（意义） t v 0 (rn)dv t t a e0 lim ? ? ? ? ? .2-4 这意味着，在长期，一个家庭的平均债务的增长速度不能大于trn?，因此总债 务的增长速度不能超过 tr 。我们定义 t tv 0 1 rr dv t ? ? ，因此

9、 24 又可被写为 tt(rn) t a (t)e0 lim ? ? ? ? 2-4 复旦大学经济学院 14 3汉密尔顿函数与一阶条件汉密尔顿函数与一阶条件 家庭的最优化行为可以看作是，在跨期预算约束条件下最大化0U。这个问题可以用动态 最优化的方法来解决，先写成现值汉米尔顿函数形式： (n) Hu(x)e w (rn)ac ? ? ? ? .2-5 其中?是资产的影子价格。一阶条件为： (n)t H 0u(c)e c ? ? ? ? ? ? ? .2-6 . H (rn) a ? ? ? ? ? ? ? ? .2-7 t t tlim a 0 ? ? 2-8 其中 27 是欧拉方程，或拉姆齐

10、凯恩斯最优储蓄规则。 28 是横截条件 复旦大学经济学院 15 现在我们来求出最优的消费变化。 26 两边对时间求导得： . (n)(n)t u(c)ce(n)u(c)e ? ? ? ? ? ? ? .2-9 由 26，知 (n)t e/u(c) ? ? ? ?，代入到 29 并将 27 代入 29，得： . u(c)c c r( ) u(c)c ? ? ? .2-10 其中 u(c)c u(c) ? 为边际效用弹性的值。 复旦大学经济学院 16 一个相关的概念是跨期替代弹性： stst 1 stst c /cdu(c )/u(c ) u(c )/u(c )d(c /c ) ? ? ? ? .

11、2-11 跨期替代弹性是 stc / c 比例变动造成无差异曲线斜率的相对变动比例的倒数。当s t? 时， ? ?u(c) cu(c) ? ，因此边际效用弹性是跨期替代弹性的负倒数。 跨期替代弹性实际上反映了跨期消费安排对边际效用变化的反应，因为简单的跨期消费 问题中存在 t t1 u(c )1r u(c)1? ? ? ? ? ，?是贴现率，r取决于资本存量，即这一期储蓄的影响。 当考虑不变跨期替代弹性的效用函数，这可以写为 1 t1 t c(1r) c(1) ? ? ? ? ? ， 1/? ? 。因此 跨期替代弹性越大，对利率的反应也越大。 复旦大学经济学院 17 考虑一个不变跨期替代弹性的

12、效用函数（CIES） 1 c1 u(c) 1 ? ? ? ? ? ，(0? ? )；.2-13 u(c)logc? ， ( 1? ? ) 显然?是边际效用弹性值，因此跨期替代弹性 1/? ? 。式 212 变为 . cr c ? ? ? ? 2-14 复旦大学经济学院 18 对 27 积分得： tt(rn) (t)(0)e ? ? ?，(0)0 ? .2-15 因此 28 变为 tt(rn) t t limae0 ? ? ? ? 2-16 即无限期生命在最后的终端，资产的现值不为正。或者用有限期生命来说，在死后留下 任何正的资产都是非理性的。当 ta0? （负债）， 一个无限期的家庭希望通过不

13、停的借债 但不偿还，来违反 216，因此24 就是为了确保这种链式融资的不发生。在均衡状态， 根据横截条件 216，一个家庭不愿持有超过或等于 tr n?的资产增长，否则横截条件就 违反了，也就是说没有人愿意接受增长速度超过 tr n?的债权，也就意味着没有人可以发 行增长速度超过trn?的债务。因此 24 是信贷市场均衡的结果。 复旦大学经济学院 19 4消费消费 由 . (r n)t(r n)t(r n)t dae/dtaea(rn)e ? ?，将 . tttta(rn)awc?两边同乘 (r n)t e? ? 得： TTT (rt n)t(rt n)t(rt n)t ttt 000 (d

14、ae/dt)dtwedtcedt ? ? ? ，也即： TT (rt n)T(rt n)t(rt n)t Ttt 00 a ecedtwedta(0) ? ? ? .2-17 当 T ? ? ，由 216，可得 (rt n)t(rt n)t tt 00 cedtwedta(0)w(0)a(0)W ? ? ? ?.2-18 由 214 可得 t(1/ )rt t0cc e ? ? 2-19 将 219 代入到 218 得； rt(1)/nt 0 c(0)W/(edt) ? ? ? ? ? .2-20 复旦大学经济学院 20 5厂商厂商 设生产函数为： ttttttYF(K ,A L )F(K ,

15、L )? (其中 t A(t)e ? ?， tttLAL?) 2-21 写成人均的形式为： tttttYL yL f(k )? (其中 ttttf(k )F(K /AL ,1)? )2-22 具有下列关系 (固定L，Y对K求导；固定K，Y对L求导)： t t Y f (k) K ? ? ? ， t t ttt t Y f (k )k f (k )e L ? ? ? ? 2-23 并满足 Inada 条件： f (0)0? ，f (0) ? ?，f ( ) 0? . 复旦大学经济学院 21 厂商的利润函数为： t tttttttLF(K,L )R kwe ? ? ? ?2-24 其中 tR 是厂

16、商向居民租赁资本的租金， ttRr? ? 。给定 tL，由利润最大化的一阶条件 得到： ttf (k)r? ? 2-25 为了维持零利润，将 225 代入 224，有 t ttttf(k )k f (k )ew ? ? 2-26 复旦大学经济学院 22 6均衡均衡 1. 定义 t cce?，因此 . . t tttt f (k) (c)/(c )c /c ? ? ? ? ? .2 -27 2. 在均衡中，代表性家庭没有净债务，人均平均资产等于平均资本，因此ttak?。 跨期预算约束可以写为 . tttttkwrkcnk?2 -28 因为 t ttkke?，所以 . t ttttkwe(rn)k

17、c ? ? ?2 -29 将225 和226代入 229，得 . ttttkf(k )(n)kc? ? ?2 -30 复旦大学经济学院 23 3. 利用 t tkke ? ?， ttf (k)r? ?，以及 216，TVC 条件变为 t v 0 (f (k )n)dv t limke0 ? ? ? ? ? .2-31 227 和 230 构成在 t(c,k ) 上的动态系统。 4. 在稳态中，有 . tt(c )/(c)0? ， . tt(k )/(k )0? ，因此 tf (k) ? ? ? ? ? ? .2-32 tttcf(k )(n)k? ? ? 2-33 复旦大学经济学院 24 0

18、c 0c 0 c 0k * k gold k * k . 0 k ? . 0 c ? c k 图 12 拉姆齐模型中的相位图 DD B 复旦大学经济学院 25 稳态中的消费、投资人均增长率等于?。232，233刻画的稳态需要满足 TVC，因此 231 中， * rf (k )n? ? ? ?，即稳态中的资本回报率大于增长率。从 232 可知 n(1)? ? ? ?.2-34 由 333 可知消费在 tf (k )n? ? ? 2-35 时达到最大。335被称为修正的黄金律。334保证了 *gold kk? ，即稳态的资本小于 黄金律水平，避免了资本积累过多。原因过多积累不是最优，因为减少可以多

19、消费；同 时小于黄金律是因为有效主观贴现? ? ?，消费者又不希望牺牲当前的消费。（ 分析 ? ， ? 降低的影响）。 复旦大学经济学院 26 ? ? 分析： gold k （储蓄不足，违反欧拉方程，从 232 可以看出路径变化）， * k （均衡路径）， 0c （储蓄过多，违反 TVC） ? ? 详细说明： 1. 考虑低于DD的路径，例如初始位置在 0c ，那么 k 会超过黄金律资本存量,此后真 实利 率 低 于 n? ? ， 从 而 tr t(n)t ee ? 上 升 ， 所 以 trt(n)t teek ? 发散 ， 因 此 trt(n)t t t limeek ? ? ? ? ? ，因

20、 此违反了横截条件。或 者根据 Blanchard 和 Fischer （1989） 第二章附录 2。 注意Blanchard 和 Fischer （1989）是利用当前值汉密尔顿函数来表 示的，对横截条件的说明经过简单的代换和现值是一样的 复旦大学经济学院 27 2. 当高于DD的路径，在这条路径上资本以递增的速度减少。 对 230， . ttttkf(k )(n)kc? ? ? ? 进行全微分得： . 2 t ttt 2 d k f (k )(n)kc0 dt ? ? ?，当 tf (k )(n)? ? ? 和 . tc0?， 因此 tk 会在有限的时间变为0（ B 点）， 因为在 B 点

21、， tk 为零， 经济必须移到原点， 因此 tc 由一个正值变为零，这种跳跃违背了（212） . c (r) c ? ? ?，因为当 tk0? ， r ? ? ，（ 212）左式为负，右边为无穷大，因此违反了欧拉方程的 条件（212）。 复旦大学经济学院 28 7鞍点路径的形状鞍点路径的形状 高?，跨期替代率低，更愿意进行消费平滑，趋于稳态的速度慢。 低?，跨期替代率高， 作为对当前高收益的反应，更愿意进行储蓄，减少消费，趋于 稳态的速度快。 k * lowk ? * khigh? low? high? 图 22 ? 对鞍点路径的影响 复旦大学经济学院 29 8储蓄储蓄 对于 CD 生产函数

22、f(k)Ak ? ?，均衡的储蓄率为 * s(n)/(x)? ? ? ? ? ? ? ? .2 -36 （证明，详细见 BarroSala-I-Martin 1995 ，P89, AppendixB） 两种效应：替代效应，消费平滑使得储蓄率在收入较低时较低，但是较大的跨期替代弹 性，更有助于储蓄。收入效应，有助于储蓄，因为当收入增加时，当前收入与持久性收 入的差距变小，意味着平滑消费的意愿更小，储蓄率上升） 当 * 1/s? ? ，固定储蓄率，如 SolowSwan 模型 当 * 1/s? ? ，跨期弹性较高，因此储蓄率一直在 * s 之上，并趋近，由于资本增加导致利 率下降，因为跨期弹性大所

23、以使得储蓄下降，其影响大于收入上升的影响。 当 * 1/s? ? ，跨期弹性较低，因此储蓄率一直在 * s 之下，并趋近（收入上升因素主导作 用） 。 复旦大学经济学院 30 9资本存量和产出的路径资本存量和产出的路径 由 227 和资本增加导致利率下降， . tt(c )/(c ) 单调下降。 类似， . tt(k )/(k )也单调下降。因此储蓄率在过渡路径上的的增加，并不能消除趋同 性。 通过线性化可知： . ttttttt(y )/(y ) kf (k )/f(k).(k )/(k )? 即资本的增长按照占生产中的份额对生产构成影响。 复旦大学经济学院 31 10.另一种机制（社会计划

24、者解）另一种机制（社会计划者解） 效用函数可写为 (n)ttt n(1)t 0tt 00 Uu(c )edtu(c )edt ? ? ? ? ? ? ? ? ，实际主观贴 现率为? ? ?。资本积累为 . ttttkf(k )(n)kc? ? ?。因此社会计划者问题为： 0max U s.j. . ttttkf(k )(n)kc? ? ? 这个节是与市场解相同的。原因，竞争性市场，没有外部性。我们会在下一讲，Romer （1986）和 Lucas（1988）看到社会计划者解和竞争性解的区别，因为存在外部性。 复旦大学经济学院 32 11收敛（convergence）和收敛的速 度 考 虑 生

25、产 函 数 为FAk ? ?， 0k给 定 。 效 用 函 数 为 1 c U 1 ? ? ? ? ， 资 本 积 累 为 . ttttkAk(n)kc ? ? ? 现值汉密尔顿函数为 1 t (n)t ttt c He Ak (n)kc 1 ? ? ? ? ? ? ? ? .2 -37 最优化的必要条件是 -(n)t Hc0c e ? ? ? ? 2-38 . 1 ktH Ak(n) ? ? ? ? ? ? ? ? .2 -39 TVC tt tlim k 0 ? ? .2 -40 复旦大学经济学院 33 将 238 微分，并用 . 1 t Ak(n) ? ? ? ? ? ? ? ? 代入得

26、到 . 1 tc( Ak) c ? ? ? ? ? ? ? .2-41 在稳态 . c 0 c ?， . k 0 k ?。由 241，稳态中 1 tAk0 ? ? ? ? ? ? ? ，因此 1 * 1 A k() ? ? ? ? ? ? .2-42 * . * k 0cA(k )(n)k k ? ? ? ? 2-43 同时如果满足横截条件，因此从 231，令 0? ?，有 *1 tA(k )(n) ? ? ? ? ? ，因此由 *1 tA(k )? ? ? ? ? 必须有n? ?。 （和 234 比较，就可以知道技术进步下 TVC 条件 的变化） 复旦大学经济学院 34 分析稳态附近的均衡，

27、简化分析 (Blanchard和 Fischer（1989）第二章附录B 也作了类似的分 析，这部分的处理来自 Zilibotti 的习题) 假定 n0? ， 0? ? 。那么在稳态有 tttkAkc ? ? ； 1 * 1 A k() ? ? ? ? .2-44 1 t( Ak)c c ? ? ? ? ? ? ? ? ； * 1 A cA() ? ? ? ? ? .2-45 在稳态附近进行一阶泰勒展开， Barro和 Sala-I-Martin（1995）书中使用了对数线性展开，方 法接近 ，有 * *1 . t * tt 2* t *. t t A(k )1 kkk (1)A(k )c c

28、c0 c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .2-46 在稳态时，有 *1 tA(k ) ? ? ? ? ? ，同时利用 244，245 有 . * tt 2 *. t t 1 kkk (1) cc0 c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2-47 复旦大学经济学院 35 这个方程的特征值满足 2 2 2 1 (1) det00 (1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2-48 这个二项式存在两个根 41 1 22 ? ? ? ? ? 2-49 其中1 41 10 22 ? ? ? ? ? ； 2 41 10 22 ? ? ? ? ? 因此 246 的解是 12tt*