2014计算方法复习

1、2014计算方法复习务必通过本提纲例子和书上例子掌握如下书本内容：1. 会高斯消去法；会矩阵三角分解法；会 Cholesky分解的平方根法求解方程组2. 会用插值基函数；会求 Lagra nge,会计算差商和 Newt on插值多项式和余项3. 会Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代和SOR的分量形式，迭代矩阵，谱半径，收敛性4. 会写非线性方程根的Newt on迭代格式；Steffe nse n加速迭代法；不动点迭代法及其收敛性5. 会用欧拉公式求解初值问题6. 会求最佳平方逼近多项式；会法方程；会最小二乘法多项式拟合7. 会计算求积公式的代数精度；复化梯形公式和复化辛普生公式求积

2、分8. 会矩阵范数9. 会幂法求特征值第一章、绪论（一）考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字； 误差的传播。（二）复习要求1了解数值分析的研究对象与特点。2. 了解误差来源与分类，会求有效数字；会简单误差估计。3. 了解误差的定性分析及避免误差危害。（三）例题例1.设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，贝U x有2位有效数字。例2.为了提高数值计算精度，当正数x充分大时，应将In（x-、.x2 -1）改写为-In（x 、x21）。例3.3 x*的相对误差约是x*的相对误差的1/3倍.第二章、插值法（一）考核知识点插值多项式，插值基函数，拉格

3、朗日插值多项式，差商及其性质，牛顿插值多 项式，差分与等距插值；分段线性插值；样条函数，三次样条插值函数。（二）复习要求1. 了解插值的概念。2. 掌握拉格朗日（Lagrange）插值法及其余项公式。3. 了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿插值法。4. 了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。5. 了解埃尔米特（Hermite）插值及其余项公式。6. 知道高次插值的病态性质，会分段线性插值和分段埃尔米特插值及其误差和收敛性。7. 会三次样条插值,知道其误差和收敛性。(三) 例题例 1. 设 f(x)=x 3+x2-3,则差商 f3,3 2,33,34=1.例2.设I(x),li(x),l2(

4、x),l3(x)是以x0,x i，x 2，x 3为互异节点的三次插值基函数,则3、Tj(x)(Xj -2)3 = (x-2)3j卫例3.给定数据表：i =1,2,345，Xi12467f (Xi)41011求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项 解：Xif (Xi)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商1421-3154026611172460111710612180由差商表可得4次牛顿插值多项式为:5 7N4(x) = 4 - 3(x -1) (x -1)(x - 2) (x -1)(x - 2)(x -4)6 60丄(x -1)(x -2)(x -4)(x -6)1805 7=4 -3(x -1)

5、 ：(x - 1)(x -2) -不(x - 1)(x - 2)(x - 4)6 601(x -1)(x -2)(x -4)(x -6) 180&(x)二三$5!插值余项为(x 1)(x 2)(x 4)(x 6)(x 7),匚三1,7 。x(x - )(x-)S4例4已知函数y=f(x)的观察数据为xk-2045yk51-31试构造f(x)的拉格朗日多项式Pn(x)，并计算f ( - 1) 解先构造基函数i(xr )“(-2-0)(-2-4)(2 5)I (x) (x J(x ：)(X 、)(X 二)(x ：)(XJ- 一(.-()(：)(.- .;) 一-i.Hx)=(x + 2)x(x-5

6、)=_x(x + 2)(x_5)亠 (4 + 2)(4 0)(4 5)24| (x) (x Jx(x-J(x- ：) (x 二)x(x-：)S)_ ( - JC：)一 ：所求三次多项式为3 yk(x)P3(x)= k 卫、x(x - )(x - j (x ：)(x_ ：)(x_、) =_. F +I(-3x(x 二)(x J(x 二)x(x - )24+35*一 -x :421421555 +24P3(- 1)= 一一 二-例5.已知一组观察数据为x012y123试用此组数据构造 Lagrange插值多项式L2 x ,并求L2 1.5。解：L2 x Ulo x yo li x yi 12 x

7、y2所以 l2 x = xT x-2- x-0 x-22 x-0 x-13(0-仃0-2)(1-0【1-2)(2-012-1)=1 x2 -3x 2 -2x2 -2x亠3 x2 -x =x 1,2 2L2 1.542.5。例 6. f(x) =x7x4 3x 1，求 f20,21 / ,27 , f20,21/ ,28.解:f20,21 ,27H f ()=7!=1 ,f20,21/ ,28 f ( )=07!7!8!8!第三章、函数逼近与曲线拟合(一) 考核知识点勒让德多项式；切比雪夫多项式；最佳平方逼近；曲线拟合；正交多项式曲线拟 合;最小二乘法，法方程组，线性拟合、二次拟合、多项式拟合。

8、(二) 复习要求1. 了解函数逼近的基本概念，了解范数和内积空间。2. 了解正交多项式的概念，了解切比雪夫多项式和勒让德多项式以及它们的性质 知道其他常用正交多项式。3. 理解最佳平方逼近的概念，掌握最佳平方逼近多项式的求法，了解用正交多项 式做最佳平方逼近的方法。4. 了解曲线拟合的最小二乘法并会计算，了解用正交多项式做最小二乘拟合。5. 了解最小二乘三角逼近与快速傅里叶变换。(三) 例题1. 定义内积(f ,g)二1 f (x)g(x)dx，试在 比=Spanxf中寻求对于f x = Inx 的最佳平方逼近多项式p x .解 fx i；=lnx，：o(x)三 1， t(x)三 x1.51.

9、50, o 二 1 1dx =0.5，1, 0 二 4 xdx = 0.6251.521.51, 1 x dx =0.7916667, 爲，f In xdx = 1.5ln1.5-0.5，1.5l, f J xlnxdx=1.125ln1.5-0.3125，法方程为0.50.625a0 _1.5l n1.5-0.50.625 0.791667 a1 一 1.125ln1.5-0.3125 解得a0 = -0.7810，a 0.7981。所求的最佳平方逼近多项式为p(x) =0.7981x -0.7810。2.设M 2二spar1,x2，试在M?中求f (x)二x在区间卜1，1上的最佳平方逼近元

10、。解：设0 x =1, x =x2, f(x)在M2中的最佳平方逼近元为P x i；=aoo x - ch -:i x 则直和a满足如下正规方程组1化，)件，W1)丿即?2/312/3 2/51/2一 解得印=15/16, a0 =3/16 所求最佳平方逼近元为 P(x)二3/16 15/16* x23 已知实验数据如下:均方误差。解：由题意门=span1,x2,0(x) = 1, ：(x)二 x2,5Jo 八 1=5 ,i=l50, 1 八 Xi2 =192 252 312 382 442i丝，= 361625 9611444 1936 =532751,1 八 Xi4 =194 254 31

11、4 384 444i=1=1303213906259235212085136 3748096 二 72776995d1 =0,y 八 yi =19.032.3 49.073.3 97.8 =271.4。im5 d2 二 1,y 八 m2 iT-19.0 19232.3 25249.0 31273.3 38297.8 442。-6859 20187.5 47089 105845.2 189340.8 =369321.5故法方程为j 5 5327 命口271.4 :占327 7277699土一 匕69321.5一解得丿a =0.972604b =0.05003515S(xJ - y(xj 2 =為

12、i 4= 0.016935均方误差为7i 44. 给定数据表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据解 y(x) = q c1x c2x2 c3x3-1-24-81-11-1A =10001111-1248-500101000 134AT A =100340-0340130_ATy 二(2.9,4.2,7,14.4)T法方程AT Ac = AT y的解为 c0 = 0.4086，5 =0.39167, c2 = 0.0857, s = 0.00833得到三次多项式y(x) =0.4086 0.39167x 0.0857x20.00833x3第四章

13、、数值积分与数值微分数（一）考核知识点代数精度；插值型求积公式，牛顿一柯特斯公式，复合求积公式，求积公式的误 差，步长的自动选择，龙贝格求积公式，高斯型求积公式。 （二点、三点）高斯一 勒让德求积公式。（二）复习要求1. 了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、 求积公式的收敛性和稳定性。2. 掌握牛顿-柯特斯公式及其性质和余项。3. 掌握复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。4. 了解龙贝格（Romberg）求积算法，知道外推法。5. 会高斯求积公式，了解高斯-勒让德求积公式。(三) 例题1.试确定参数A,B,C及a,使数值积分公式2二 f (x)dx ： Af

14、(: ) Bf(O) Cf(_:)有尽可能高的代数精度，并问代数精度是多少？它是否是解 令公式对f(x)=1,x,x2,x3,x4都精确成立,则有 4=A+B+C, 0=A a-Ca, 16/3=A H+Ca2, 0=A a3-Ca3 64/5=Aa4+Ca4,解得:A=C=10/9,B=16/9, a=(12/5) 1/2容易验证公式对f(x)=x 5仍精确成立，故其代数精度为5,是Gauss公式。12111232. 求积公式 f(x)dx - f(-f(-) -f(-)具有3次代数精度.b343 23413. 分别用抛物线公式和三点高斯公式计算积分匚x2 cosxdx，并比较它们的精度,

15、准确值为0.478267254解：设 f(x)=x2cosx,则 f (1)= f(-1) =0.540302305,f (0) =0由抛物线(辛普森)公式122x2 cos xdxf ( -1) 4f(0) - f(1)0.540302305J63= 0.360201537由三点高斯公式x2 cosxdxIfh5) 9f(0) 1f而 f (i=f(- ；) ： 0.428821915, f (0) = 0故 f x2 cosxdx 常 5 x 2汇 f (_?) = 0.476468795 9；5与准确值比较知：Simpson公式的计算结果无有效数字；三点高斯公式有两位有效数字。4. 用复

16、化梯形公式和复化辛普森公式计算下列积分:1 x0；严；n=8；解：價4 kT R8T8 諾戸心)2i f(xQ f(b) =4- 228k1256 k 54242401256、 J c“，c)0.111402817330551 1 7 (2、 16 4 k411 8 2(-16 42576526517h77一f (a) 4 f(x 1)2、 6k卫k 22k 1f(Xk)f(b)k=1162k +21 ,1(1 4-48 4 心1精确值为【-04+xl 16丿 16(2k 1)k8(k 1Il8丿8k2 +2瓦一 +1)茫 0.111571024 (2k 1)2心256 k25x ydx =1

17、|n(4 x2)|0 = 1|n ： 0.11157 。2224第五章、解线性方程组的直接方法（一）考核知识点高斯消去法，列主元消去法: 矩阵三角分解法；平方根法： 追赶法:（二）复习要求1. 了解矩阵基础知识，了解向量和矩阵的几种范数2. 掌握高斯消去法，掌握高斯列主元素消去法。4. 掌握直接三角分解法，了解平方根法，会追赶法，了解有关结论。5. 了解矩阵和方程组的性态，会求其条件数。（三）例题1.设矩阵1A=aaal0 ,当a取值时,A可以唯一分解为GG,其中G为下三角矩阵。1aa1 a=1 -a20,a10a 1a01-2a20解：令得-1a : a1a.2.分别用顺序Gauss消去法和

18、直接三角分解法（杜利脱尔分解）求解线性方程组 中 231xJ 一14X2252P1520 一解：1) Gauss消去法1 23142 52183 152018100231-4一5-4141-10-22314-4-10-24- 72x1=1回代 x3=3, x2=2,2)直接三角分解法(杜利脱尔分解)：123112301-40-242 13 -5 V=LU解 Ly =b，Ux=y 得 x=(1,2,3)T3.用平方根法（Cholesky分解）求解方程组:勺2 3f、X12 2 0X2=3Q 0 12 J解：由系数矩阵的对称正定性，可令A 二 LLT，其中L为下三角阵。V33012求解363-,6

19、2*3 633V3 -6y22 3363y13可得1求解2 33国63-,63X2込3Xi = 1可得X2 = 12 丿 1 “3第六章、解线性方程组的迭代法（一）考核知识点迭代法的基本概念，雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法，超松弛迭代法SOR， 迭代解数列收敛的条件。（二）复习要求1. 了解迭代法及其收敛性的概念。2. 掌握雅可比（Jacobi）迭代法、高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法和超松弛 （SOR）迭代法。（三）例题1. 讨论AX =b的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收敛性1-22其中，A= 11-1b = (1,1,0)T-2 -21 一1 、-d勺

20、2 -2解：Jacobi迭代法的迭代矩阵Bj =1(I _A) =1 0 1I22贝U 九I Bj =入3 =0n P(BJ =0c1-Jacobi迭代收敛Gauss-Seidel迭代矩阵Z1-402-2 q0 2-202-2、Bg=-1101=110102-1-2-2 b042 b01-Gauss-Seidel 迭代发散 2.已知方程组Ax =b，其中(1) 列出 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel(2) 讨论上述两种迭代法的收敛性。1迭代法的分量形式;解：(1) Jacobi迭代法:Jk 半)A1=(1 一 x2k) -x3k)/2(k) -x3k)/21(k) -x2k)/

21、2用(1 - x1 x3k (1 一 X1(Jacobi迭代矩阵:(B)二 1收敛性不能确定(2) Gauss-Seidel 迭代法: ” X1(k 制=(1_ x2k)-(k 制(1- x!H1)-x3k)/2-x3k)/ 2-x2k )/21G =(D - L) UGauss-Seidel 迭代矩阵:-5 一、7 i(B)二161214181 21218该迭代法收敛x3k 1)二(1 - x(k d)3.用SOR方法解方程组(分别取松弛因子=1.03 =1,川=1.1) 乂 + X2 + X3 = 1,X14X2X3 = 4,广 X2 + 4x3 = 一3.精确解X* =(1,1,-寸)丁

22、，要求当 x*-x(k)_：5 10上时迭代终止,并且对每一个 值 确定迭代次数解：将所给方程变形为X2X311=1 XiX3,443X24 4 2其SOR迭代法为= 1.03，初值X1k 1)k 1)=(1 - .)x2k).(i x2k) x3k),1(k 1)1(k) +时(1_：x；-x3)44G3-x2k1)441, 2,)(k = 0,X(0) = (0,0,0)T，迭代5次达到精度要求,X(0)X(1)(自行补充前4次迭代的值)X(5) = (0.5000043,0.1000001,-0.499999)丁取 =1，初值x(0) =(0,0,0)T，迭代6次达到精度要求,X(0)二

23、(自行补充前5次迭代的结果)X (6)二(0.5000038,0.1000002,-0.499995)丁取 =1.1，初值X(0) =(0,0,0)T，迭代6次达到精度要求,x(6) = (0.5000350.0999989,-0.5000003丁。x + 2x = 14.给定方程组丿12 ,用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法是否收敛?+x2 =21 2)解：由系数矩阵A= 可知，C 1丿(1) 雅可比迭代矩阵为Bo=D，(L+U)=卜，由、1 丿 1，因而雅可比迭代法发散。3扎(2) 高斯-塞德尔迭代矩阵为G =(D L)U 二1 0 |0 -2迢 1 e 0广1:130-2、2，由7.I G =2可知,2因而高斯-塞德尔迭代法收敛。第七章、非线性方程求根（一）考核知识点对分法；不动点迭代法及其收敛性；迭代收敛的加速方法；埃特金加速收敛方 法；Steffensen斯特芬森迭代法；牛顿法；弦截法与抛